1、2021 年河北省唐山市路北区中考数学一模试卷年河北省唐山市路北区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 16 个小题：个小题：1-10 小题，每题小题，每题 3 分：分：11-16 小题，每题小题，每题 2 分，共分，共 42 分在每小题给出分在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1如图，能表示点 P 到直线 m 的距离的是（ ）的长度 A线段 PA B线段 PB C线段 PC D线段 AC 2如图，能用AOB，O，1 三种方法表示同一个角的图形是（ ） A B C D 3如图，在ABCD 中，已知 AC4cm，若
2、ACD 的周长为 13cm，则ABCD 的周长为（ ） A26cm B24cm C20cm D18cm 4如图，直线 c 与直线 a 相交于点 A，与直线 b 相交于点 B，1130，260，若要使直线 ab， 则将直线 a 绕点 A 按如图所示的方向至少旋转（ ） A10 B20 C60 D130 5如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体移动到小正方体的正上方， 下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是（ ） A左视图发生改变 B俯视图发生改变 C主视图发生改变 D左视图、俯视图、主视图都发生改变 6在 a24a4 的空格中，任意填上“+”或“”，在所有得到的代数式中
3、，能构成完全平方式的概率 是 （ ） A1 B C D 7这是嘉琪同学的小测试卷，他应该得到的分数是（ ） A40 B60 C80 D100 8甲，乙两位同学用尺规作“过直线 l 外一点 C 作直线 l 的垂线”时，第一步两位同学都以 C 为圆心，适 当长度为半径画弧，交直线 l 于 D，E 两点（如图）；第二步甲同学作DCE 的平分线所在的直线，乙 同学作 DE 的中垂线则下列说法正确的是（ ） A只有甲的画法正确 B只有乙的画法正确 C甲，乙的画法都正确 D甲，乙的画法都不正确 9如图，直线 abc，ABBC，若 DF9，则 EF 的长度为（ ） A9 B5 C4 D3 10如图，已知动点
4、 A，B 分别在 x 轴，y 轴正半轴上，动点 P 在反比例函数 y（x0）图象上，PAx 轴，PAB 是以 PA 为底边的等腰三角形当点 A 的横坐标逐渐增大时，PAB 的面积将会（ ） A越来越小 B越来越大 C不变 D先变大后变小 11如图所示，将ABC 的三边分别扩大一倍得到A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以 P 点为位似 中心的位似图形，则 P 点的坐标是（ ） A（4，3） B（3，3） C（4，4） D（3，4） 12a14不等于下列各式中的（ ） A（a7）7 Ba2 a 3 a 4 a 5 C（a3）3 a 5 D（a2）3（a4）2 13如图，已知点 A、B、C、D
5、 在O 上，圆心 O 在D 内部，四边形 ABCO 为平行四边形，则DAO 与 DCO 的度数和是（ ） A60 B45 C35 D30 14小芳说：“我的矩形面积为 6”小丽说：“我的矩形周长为 6”则下面说法不正确的是（ ） A小芳：我的矩形一组邻边满足反比例函数关系，你的矩形一组邻边满足一次函数关系 B小丽：你的矩形周长不可能是 6，我的矩形面积也不可能是 6 C同学小文：你们的矩形都可能是正方形 D同学小华：小丽的矩形面积没有最大值 15已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现有下列结论：b24ac0；a0；b0； c0；9a+3b+c0，则其中结论正确的个数是（ ）
6、 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 16四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为 P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ） APRSQ BQSPR CSPQR DSPRQ 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 3 个小题：个小题：17-18 题题 3 分，分，19 题每空题每空 2 分，共分，共 10 分把答案写在题中横线上）分把答案写在题中横线上） 17化简： 18如图，点 A 的坐标为（1，3），点 B 在 x 轴上，把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD，若四边形 ABDC 的面积为 9，则点 C 的坐标为 19如图，边长为 1 的正方形 ABCD 在等边长的正六边形外
7、部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位置时停 止第一次滚动时正方形旋转了 ，点 A 在滚动过程中到出发点的最大距离是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题：共个小题：共 68 分）分） 20如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点 A，B，C 把数轴分成四部分，点 A，B，C 对应 的数分别是 a，b，c，已知 bc0 （1）请说明原点在第几部分； （2）若 AC5，BC3，b1，求 a； （3）若点 B 到表示 1 的点的距离与点 C 到表示 1 的点的距离相等，且 abc3，求a+3b（b 2c）的值 21已知两个整式 Ax2+2x，Bx+2，其中系数被污染 （1）若是2，化简
8、 x2+2x+（2x+2）； （2）若 x2 时，A+B 的值为 18 说明原题中是几？ 若再添加一个常数 a，使 A，B，a 的和不为负数，求 a 的最小值 22 一辆汽车行驶时的耗油量为 0.1 升/千米， 如图是油箱剩余油量 y （升） 关于加满油后已行驶的路程 x （千 米）的函数图象 （1）根据图象，直接写出汽车行驶 400 千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量； （2）求 y 关于 x 的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量 5 升时，已行驶的路程 23如图，在ABC 中，ABCB10，ABC90，点 D 为直线 BC 上一点，点 E 为 AB 延长线上一点， 且 BE
9、BD，连接 AD，EC （1）求证：ABDCBE； （2）当CAD20时，求E 的度数 （3）点 P 是CAD 的外心，当点 D 在直线 BC 上运动，且点 P 恰好在ABC 内部或边上时，直接写出 点 P 运动的路径的长 24某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品经过一段时间分别 单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取 50 天，统计每日的销售数量，得到如下的频数 分布条形图甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为 90 元，另外每销售 一件提成 1 元；乙公司给超市每天的基本费用为 130 元，每日销售数量不超过 83 件没
10、有提成，超过 83 件的部分每件提成 10 元 （1）求乙公司给超市的日利润 y（单位：元）与日销售数量 n 的函数关系； （2）若将频率视为概率，回答下列问题： 求甲公司产品销售数量不超过 87 件的概率； 如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品 进行销售？并说明理由 25如图，抛物线 L：y（xt）2+t+2，直线 l：x2t 与抛物线、x 轴分别相交于 Q、P 两点 （1）t1 时，Q 点的坐标为 ； （2）当 P、Q 两点重合时，求 t 的值； （3）当 Q 点达到最高时，求抛物线解析式； （4）在抛物线 L 与 x 轴所围成的封闭图形
11、的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出 1t2 时“可点”的个数 26如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，点 O 为对角线 BD 的中点，点 P 从点 A 出发，沿折线 AD DOOC 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 C 运动， 当点 P 与点 A 不重合时， 过点 P 作 PQAB 于点 Q， 以 PQ 为边向右作正方形 PQMN，设正方形 PQMN 与ABD 重叠部分图形的面积为 S（平方单位），点 P 运动的时间为 t（秒） （1）求点 N 落在 BD 上时 t 的值； （2）直接写出点 O 在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围； （3）当点 P 在折线
12、 ADDO 上运动时，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）直接写出直线 DN 平分BCD 面积时 t 的值 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 16 个小题：个小题：1-10 小题，每题小题，每题 3 分：分：11-16 小题，每题小题，每题 2 分，共分，共 42 分在每小题给出分在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1如图，能表示点 P 到直线 m 的距离的是（ ）的长度 A线段 PA B线段 PB C线段 PC D线段 AC 【分析】根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行
13、判断，即可解答 解：PBm， 能表示点 P 到直线 m 的距离的是线段 PB 的长度 故选：B 2如图，能用AOB，O，1 三种方法表示同一个角的图形是（ ） A B C D 【分析】根据角的四种表示方法和具体要求回答即可 解：A、以 O 为顶点的角不止一个，不能用O 表示，故 A 选项错误； B、以 O 为顶点的角不止一个，不能用O 表示，故 B 选项错误； C、以 O 为顶点的角不止一个，不能用O 表示，故 C 选项错误； D、能用1，AOB，O 三种方法表示同一个角，故 D 选项正确 故选：D 3如图，在ABCD 中，已知 AC4cm，若ACD 的周长为 13cm，则ABCD 的周长为（
14、 ） A26cm B24cm C20cm D18cm 【分析】根据三角形周长的定义得到 AD+DC9cm然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边 形的周长 解：AC4cm，若ADC 的周长为 13cm， AD+DC1349（cm） 又四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC， 平行四边形的周长为 2（AB+BC）18cm 故选：D 4如图，直线 c 与直线 a 相交于点 A，与直线 b 相交于点 B，1130，260，若要使直线 ab， 则将直线 a 绕点 A 按如图所示的方向至少旋转（ ） A10 B20 C60 D130 【分析】根据平行线的判定可得，当 c 与 a 的夹角
15、为 60时，存在 ba，由此得到直线 a 绕点 A 顺时针 旋转 605010 解：260， 若要使直线 ab，则3 应该为 60， 又1130， 350， 直线 a 绕点 A 按顺时针方向至少旋转：605010， 故选：A 5如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体移动到小正方体的正上方， 下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是（ ） A左视图发生改变 B俯视图发生改变 C主视图发生改变 D左视图、俯视图、主视图都发生改变 【分析】根据三视图的定义求解即可 解：主视图发生变化，上层的小正方体由原来位于左边变为右边； 俯视图和左视图都没有发生变化， 故选：C 6在 a2
16、4a4 的空格中，任意填上“+”或“”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率 是 （ ） A1 B C D 【分析】此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式 解：能够凑成完全平方公式，则 4a 前可是“”，也可以是“+”，但 4 前面的符号一定是：“+”， 此题总共有（，）、（+，+）、（+，）、（，+）四种情况，能构成完全平方公式的有 2 种， 所以概率是 故选：B 7这是嘉琪同学的小测试卷，他应该得到的分数是（ ） A40 B60 C80 D100 【分析】（1）根据相反数的表示方法解决此题 （2）根据积的乘方与幂的乘方解决此题 （3）根据去括号法则解决此题 （
17、4）根据算术平方根的定义解决此题 （5）根据补角的性质解决此题 解：（1）根据相反数的表示方法，3 的相反数是3，那么嘉琪同学做得正确，故此题得 20 分 （2）根据积的乘方与幂的乘方，得（2x2）38x6，那么嘉琪同学做得不正确，故此题不得分 （3）根据去括号法则，得（a2b2）a2b2，那么嘉琪同学做得不正确，故此题不得分 （4）根据算术平方根，得，那么嘉琪同学做得正确，故此题得 20 分 （5） 根据补角的性质， 65的补角等于 18065115， 那么嘉琪同学做得正确， 故此题得 20 分 综上：正确的有（1）（4）（5），共 60 分 故选：B 8甲，乙两位同学用尺规作“过直线 l
18、外一点 C 作直线 l 的垂线”时，第一步两位同学都以 C 为圆心，适 当长度为半径画弧，交直线 l 于 D，E 两点（如图）；第二步甲同学作DCE 的平分线所在的直线，乙 同学作 DE 的中垂线则下列说法正确的是（ ） A只有甲的画法正确 B只有乙的画法正确 C甲，乙的画法都正确 D甲，乙的画法都不正确 【分析】利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确 解：CDCE， DCE 的平分线垂直 DE，DE 的垂直平分线过点 C， 甲，乙的画法都正确 故选：C 9如图，直线 abc，ABBC，若 DF9，则 EF 的长度为（ ） A9 B5 C4 D3 【分析】由直线 abc，利用平行线分线
19、段成比例可得出 DEEF，结合 DFDE+EF9，即可求 出 EF 的长 解：直线 abc， ， DEEFEF DFDE+EFEF+EF9， EF5 故选：B 10如图，已知动点 A，B 分别在 x 轴，y 轴正半轴上，动点 P 在反比例函数 y（x0）图象上，PAx 轴，PAB 是以 PA 为底边的等腰三角形当点 A 的横坐标逐渐增大时，PAB 的面积将会（ ） A越来越小 B越来越大 C不变 D先变大后变小 【分析】设点 P（x， ），作 BCPA 可得 BCOAx，根据 SPABPABCx3 可得答案 解：如图，过点 B 作 BCPA 于点 C， 则 BCOA， 设点 P（x，）， 则
20、SPABPABC x3， 当点 A 的横坐标逐渐增大时，PAB 的面积将会不变，始终等于 3， 故选：C 11如图所示，将ABC 的三边分别扩大一倍得到A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以 P 点为位似 中心的位似图形，则 P 点的坐标是（ ） A（4，3） B（3，3） C（4，4） D（3，4） 【分析】作直线 AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心 解：由图中可知，点 P 的坐标为（4，3），故选 A 12a14不等于下列各式中的（ ） A（a7）7 Ba2 a 3 a 4 a 5 C（a3）3 a 5 D（a2）3（a4）2 【分析】A，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算
21、； B，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算； C，先根据幂的乘方，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算； D，先根据幂的乘方，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算； 解：A：原式a49，符合题意； B：原式a14，不合题意； C：原式a14，不合题意； D：原式a14，不合题意； 故选：A 13如图，已知点 A、B、C、D 在O 上，圆心 O 在D 内部，四边形 ABCO 为平行四边形，则DAO 与 DCO 的度数和是（ ） A60 B45 C35 D30 【分析】连接 OD，根据圆内接四边形的性质得到B+ADC180，根据圆周角定理得到ADC AOC，计算即可 解：连接 O
22、D， 四边形 ABCO 为平行四边形， BAOC， 点 A、B、C、D 在O 上， B+ADC180， 由圆周角定理得，ADCAOC， ADC+2ADC180， 解得，ADC60， OAOD，ODOC， DAOODA，ODCDCO， DAO+DCO60， 故选：A 14小芳说：“我的矩形面积为 6”小丽说：“我的矩形周长为 6”则下面说法不正确的是（ ） A小芳：我的矩形一组邻边满足反比例函数关系，你的矩形一组邻边满足一次函数关系 B小丽：你的矩形周长不可能是 6，我的矩形面积也不可能是 6 C同学小文：你们的矩形都可能是正方形 D同学小华：小丽的矩形面积没有最大值 【分析】画出图形，根据选项
23、依次判断即可 解：如图所设： A 选项：由题意，可知 ab6，2（x+y）6， b，yx+3， 故 A 正确； B 选项：2（a+）6，a+3， a23a+60， 9460， 此方程无解， 故小芳的矩形周长不可能等于 6， Sx（3x）， a26， x23x+60， 此方程无解， 故小丽的矩形面积不可能等于 6， 故 B 正确； C 选项：a， a26， a（a不合题意，舍去）， xx+3， 2x3， x， 这两个矩形都可能是正方形， 故 C 正确； D 选项：Sx（3x），当 x时，S 有最大值， 故 D 错误， 故选：D 15已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现有下列
24、结论：b24ac0；a0；b0； c0；9a+3b+c0，则其中结论正确的个数是（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 抛物线与 x 轴交点及 x1 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断 解：根据图示知，二次函数与 x 轴有两个交点，所以b24ac0；故正确； 根据图示知，该函数图象的开口向上， a0； 故正确； 又对称轴 x1， 0， b0； 故本选项错误； 该函数图象交于 y 轴的负半轴， c0； 故本选项错误； 根据抛物线的对称轴方程可知：（1，0）关于
25、对称轴的对称点是（3，0）； 当 x1 时，y0，所以当 x3 时，也有 y0，即 9a+3b+c0；故正确 所以三项正确 故选：B 16四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为 P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ） APRSQ BQSPR CSPQR DSPRQ 【分析】 由三个图分别可以得到， 由式可得 Q+SQ+P， 代入式得到 P+RQ+P， 所以 RQ所以它们的大小关系为 SPRQ 解：观察前两幅图易发现 SPR，再观察第一幅和第三幅图可以发现 RQ， 所以 SPRQ 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 3 个小题：个小题：17-18 题题 3 分，分，
26、19 题每空题每空 2 分，共分，共 10 分把答案写在题中横线上）分把答案写在题中横线上） 17化简： 【分析】此题先把二次根式化简，再进行合并即可求出答案 解：2 故填： 18如图，点 A 的坐标为（1，3），点 B 在 x 轴上，把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD，若四边形 ABDC 的面积为 9，则点 C 的坐标为 （4，3） 【分析】根据平移的性质得出四边形 ABDC 是平行四边形，从而得 A 和 C 的纵坐标相同，根据四边形 ABDC 的面积求得 AC 的长，即可求得 C 的坐标 解：把OAB 沿 x 轴向右平移到ECD， 四边形 ABDC 是平行四边形， ACBD，A 和 C
27、的纵坐标相同， 四边形 ABDC 的面积为 9，点 A 的坐标为（1，3）， 3AC9， AC3， C（4，3）， 故答案为（4，3） 19如图，边长为 1 的正方形 ABCD 在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位置时停 止第一次滚动时正方形旋转了 150 ，点 A 在滚动过程中到出发点的最大距离是 + 【分析】如图，点 A 的运动轨迹是图中红线延长 AE 交红线于 H，线段 AH 的长，即为点 A 在滚动过 程中到出发点的最大距离 解：第一次滚动正方形旋转了 24090150 如图，点 A 的运动轨迹是图中红线延长 AE 交红线于 H，线段 AH 的长，即为点 A 在滚动过
28、程中到出 发点的最大距离 易知 EHEA2， 在AEF 中，AFEF1，AFE120， AE， AHAE+EH+ 点 A 在滚动过程中到出发点的最大距离为+ 故答案为：150，+ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题：共个小题：共 68 分）分） 20如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点 A，B，C 把数轴分成四部分，点 A，B，C 对应 的数分别是 a，b，c，已知 bc0 （1）请说明原点在第几部分； （2）若 AC5，BC3，b1，求 a； （3）若点 B 到表示 1 的点的距离与点 C 到表示 1 的点的距离相等，且 abc3，求a+3b（b 2c）的值 【分析】（
29、1）根据 bc0 可得原点在 B 与 C 之间； （2）根据数轴上的点的距离求解即可； （3）设点 B 到表示 1 的点的距离为 m（m0），分别用 m 的代数式表示出 b 与 c，进而得出 b+c 与 a 的值，再代入所求式子计算即可 解：（1）bc0， b，c 异号， 原点在第部分； （2）若 AC5，BC3，则 AB532， ab2123； （3）设点 B 到表示 1 的点的距离为 m（m0），则 b1m，c1+m， b+c2， abc3，即 a（b+c）3， a1， a+3b（b2c） a+3bb+2c a+2b+2c a+2（b+c） （1）+22 1+4 5 21已知两个整式 Ax
30、2+2x，Bx+2，其中系数被污染 （1）若是2，化简 x2+2x+（2x+2）； （2）若 x2 时，A+B 的值为 18 说明原题中是几？ 若再添加一个常数 a，使 A，B，a 的和不为负数，求 a 的最小值 【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则计算； （2）把 x 的值代入计算即可； 根据 A+B 的值为 18 得到 A+B+a0解不等式得到答案 解：（1）x2+2x+（2x+2）x2+2x2x+2x2+2； （2）设m， 依题意得，22+22+2m+218， 解得，m4； A+B18， A、B、a 的和不为负数时，有 A+B+a0 即 18+a0， 解得，a18，所以 a 的最小值
31、为18 22 一辆汽车行驶时的耗油量为 0.1 升/千米， 如图是油箱剩余油量 y （升） 关于加满油后已行驶的路程 x （千 米）的函数图象 （1）根据图象，直接写出汽车行驶 400 千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量； （2）求 y 关于 x 的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量 5 升时，已行驶的路程 【分析】（1）由图象可知：汽车行驶 400 千米，剩余油量 30 升，行驶时的耗油量为 0.1 升/千米，则汽 车行驶 400 千米，耗油 4000.140（升），故加满油时油箱的油量是 40+3070 升 （2）设 ykx+b（k0），把（0，70），（400，300）坐
32、标代入可得：k0.1，b70，求出解析式， 当 y5 时，可得 x650 解：（1）由图象可知：汽车行驶 400 千米，剩余油量 30 升， 行驶时的耗油量为 0.1 升/千米，则汽车行驶 400 千米，耗油 4000.140（升） 加满油时油箱的油量是 40+3070 升 （2）设 ykx+b（k0）， 把（0，70），（400，30）坐标代入可得：k0.1，b70 y0.1x+70， 当 y5 时，x650 即已行驶的路程的为 650 千米 23如图，在ABC 中，ABCB10，ABC90，点 D 为直线 BC 上一点，点 E 为 AB 延长线上一点， 且 BEBD，连接 AD，EC （1
33、）求证：ABDCBE； （2）当CAD20时，求E 的度数 （3）点 P 是CAD 的外心，当点 D 在直线 BC 上运动，且点 P 恰好在ABC 内部或边上时，直接写出 点 P 运动的路径的长 【分析】（1）根据边角边即可证明ABDCBE； （2）分两种情况：点 D 在线段 BC 上时，点 D 在 BC 延长线上时，分别画出图形，根据CAD20， 即可求E 的度数； （3）根据点 P 是CAD 的外心，可得点 P 在线段 AC 的垂直平分线上，过点 B 作 BFAC 于点 F，可 知 B、F 均在线段 AC 的垂直平分线上，根据点 P 恰好在ABC 的内部或边上，即得 BF 即为所求的点 P
34、 的运动路径，从而求得 BFAC 得到答案 【解答】（1）证明：ABC90， ABDCBE90， 在ABD 和CBE 中， ， ABDCBE（SAS）； （2）解：若点 D 在线段 BC 上时，如图： ABCB，ABC90， CABACB45， BADCABCAD25， 由（1）知ABDCBE， ECBBAD25， E90ECB65， 若点 D 在 BC 延长线上时，如图： ABDCBE， BECADBACBCAD452025， 综上所述：BEC 的度数为 65或 25； （3）解：过 B 作 BFAC 于 F，如图： 点 P 是CAD 的外心， 点 P 在线段 AC 的垂直平分线上， 由 A
35、BCB，ABC90知ABC 是等腰直角三角形， B、F 均在线段 AC 的垂直平分线上， 当点 P 恰好在ABC 的内部或边上时，P 运动的路径即为 BF， ABCB10，ABC90， AC10， ABCB，ABC90，BFAC， BFAC5， 即点 P 运动的路径的长为 5 24某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品经过一段时间分别 单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取 50 天，统计每日的销售数量，得到如下的频数 分布条形图甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为 90 元，另外每销售 一件提成 1 元；乙公司给超市每天的
36、基本费用为 130 元，每日销售数量不超过 83 件没有提成，超过 83 件的部分每件提成 10 元 （1）求乙公司给超市的日利润 y（单位：元）与日销售数量 n 的函数关系； （2）若将频率视为概率，回答下列问题： 求甲公司产品销售数量不超过 87 件的概率； 如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品 进行销售？并说明理由 【分析】（1）由题意得到，当 0n83 时，y130 元，当 n130+（n83）1010n700，由此 能出乙公司给超市的日利润 y 与销售数量 n 的函数关系； （2）根据概率公式即可得到结论； 求出甲公司给超市的日利润
37、的平均数和乙公司给超市的日利润的平均数，由此能求出代理销售乙公司 的产品较为合适 解：（1）由题意得到，当 0n83 时，y130 元，当 n83 时，y130+（n83）1010n700， 乙公司给超市的日利润 y（单位：元）与日销售数量 n 的函数关系为：y； （2）甲公司产品销售数量不超过 87 件的概率为：； 设甲公司的给超市的日利润为 x 元， 则 x 的所有可能的值为：171，174，177，180，183， （1715+17410+1775+18020+18310）178.2（元）， 设乙公司的给超市的日利润为 y 元， 则 y 的所有可能的值为：130，140，170，200，
38、230， （13050+05+105+4010+7015+10015）190（元）， ， 超市应代理销售乙公司的产品较为合适 25如图，抛物线 L：y（xt）2+t+2，直线 l：x2t 与抛物线、x 轴分别相交于 Q、P 两点 （1）t1 时，Q 点的坐标为 （2，2） ； （2）当 P、Q 两点重合时，求 t 的值； （3）当 Q 点达到最高时，求抛物线解析式； （4）在抛物线 L 与 x 轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出 1t2 时“可点”的个数 【分析】（1）把 t1 代入 x2t 即可求出直线 l 的解析式，把 x2，t1 代入抛物线 L 的解
39、析式得 y 2，即可求出 Q 点的坐标； （2）由 P、Q 两点重合，可知直线与抛物线交于 x 轴，即交点的纵坐标为 0，代入抛物线解析式，即可 求得 t 的值； （3）由题意可知，直线与抛物线交于抛物线顶点，即可得到关于 t 的方程，求解方程得出 t 的值，代入 y（xt）2+t+2，即可得出抛物线解析式； （4）根据“可点”的定义，分 t1，t2，1t2 三种情况讨论，即可得出“可点”的个数 解：（1）当 t1 时，x2， 直线 l 的解析式为：x2， 把 x2，t1 代入抛物线 L 的解析式得：y（21）2+1+22， Q 点的坐标为（2，2）， 故答案为：（2，2）； （2）P、Q 两
40、点重合， 直线与抛物线交于 x 轴， 交点为（2t，0）， （2tt）2+t+20， 解得：t2 或 t1； （3）抛物线 L：y（xt）2+t+2， 抛物线顶点坐标为（t，t+2）， 当 Q 点达到最高时，则直线与抛物线交于顶点， 2tt， 解得：t0， 抛物线解析式为：yx2+2； （4）1t2 时， 分三种情况讨论， 当 t1 时，抛物线解析式为：y（x1）2+3， 令 y0，则（x1）2+30， 解得：x1， “可点”在 x 轴上有 3 个，抛物线上有 3 个，共有 6 个， 当 t2 时，抛物线解析式为：y（x2）2+4， 令 y0，则（x2）2+40， 解得：x0 或 4， “可点
41、”在 x 轴上有 5 个，抛物线上有 3 个，共有 8 个， 当 1t2 时，抛物线与 x 轴的交点在 1和 4 之间， 当 L 过（3，0）时，“可点”在 x 轴上有 4 个，抛物线上有 3 个，共有 7 个， 综上所述，“可点”为 6 或 7 或 8 26如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，点 O 为对角线 BD 的中点，点 P 从点 A 出发，沿折线 AD DOOC 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 C 运动， 当点 P 与点 A 不重合时， 过点 P 作 PQAB 于点 Q， 以 PQ 为边向右作正方形 PQMN，设正方形 PQMN 与ABD 重叠部分图形的面积为 S（平方单
42、位），点 P 运动的时间为 t（秒） （1）求点 N 落在 BD 上时 t 的值； （2）直接写出点 O 在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围； （3）当点 P 在折线 ADDO 上运动时，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）直接写出直线 DN 平分BCD 面积时 t 的值 【分析】（1）可证DPNDQB，从而有，即可求出 t 的值 （2）只需考虑两个临界位置（MN 经过点 O，点 P 与点 O 重合）下 t 的值，就可得到点 O 在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围 （3）根据正方形 PQMN 与ABD 重叠部分图形形状不同分成三类，如图 4、图 5、图 6，然后运用三角
43、形相似、锐角三角函数等知识就可求出 S 与 t 之间的函数关系式 （4）由于点 P 在折线 ADDOOC 运动，可分点 P 在 AD 上，点 P 在 DO 上，点 P 在 OC 上三种情况 进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线 DN 平分BCD 面积时 t 的值 解：（1）当点 N 落在 BD 上时，如图 1 四边形 PQMN 是正方形， PNQM，PNPQt DPNDQB PNPQPAt，DP3t，QBAB4， t 当 t时，点 N 落在 BD 上 （2）如图 2， 则有 QMQPt，MB4t 四边形 PQMN 是正方形， MNDQ 点 O 是 DB 的中点， QMBM t4t t
44、2 如图 3， 四边形 ABCD 是矩形， A90 AB4，AD3， DB5 点 O 是 DB 的中点， DO 1tAD+DO3+ t 当点 O 在正方形 PQMN 内部时，t 的范围是 2t （3）当 0t时，如图 4 SS正方形PQMNPQ2PA2t2 当t3 时，如图 5， tanADB， PG4t GNPNPGt（4t）4 tanNFGtanADB， NFGN（4）t3 SS正方形PQMNSGNF t2（ 4）（t3） t2+7t6 当 3t时，如图 6， 四边形 PQMN 是正方形，四边形 ABCD 是矩形 PQMDAB90 PQAD BQPBAD BP8t，BD5，BA4，AD3，
45、 BQ，PQ QMPQ BMBQQM tanABD， FMBM SS梯形PQMF（PQ+FM）QM + （8t）2 t2t+ 综上所述：当 0t时，St2 当t3 时，St2+7t6 当 3t时，St2t+ （4）设直线 DN 与 BC 交于点 E， 直线 DN 平分BCD 面积， BECE 点 P 在 AD 上，过点 E 作 EHPN 交 AD 于点 H，如图 7， 则有DPNDHE PNPAt，DP3t，DHCE，EHAB4， 解得 t 点 P 在 DO 上，连接 OE，如图 8， 则有 OE2，OEDCABPN DPNDOE DPt3，DO，OE2， PN（t3） PQ（8t），PNPQ， （t3）（8t） 解得：t 点 P 在 OC 上，设 DE 与 OC 交于点 S，连接 OE，交 PQ 于点 R，如图 9， 则有 OE2，OEDC DSCESO SC2SO OC， SO PNABDCOE， SPNSOE SP3+t，SO ，OE2， PN PRMNBC， ORPOEC OPt，OC，EC， PR QRBE， PQPR+QR PNPQ， 解得：t 综上所述：当直线 DN 平分BCD 面积时，t 的值为、