1、20212021 年广东暨南大学年广东暨南大学数学分析考研真题数学分析考研真题 招生专业与代码：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、 统计学 考试科目名称及代码：709709 数学分析数学分析 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 一、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 1. 极限 0 202020212 lim xx x x = . 2. 已知 2 ( )sinf x dxxC ，其中C为任意常数，则( )xfx dx = . 3. 当常数满足 时瑕积分 1 0 11 sindx xx 条件收敛. 4. 参数曲线 c
2、ossin sincos xttt yttt 上任一点的法线到原点的距离为 . 5. 二重积分 1 0 sin y y x dydx x = . 6. 设S为球面 222 3xyz，则第一型曲面积分 22 S xy dS = . 二、计算题（共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 1. 求极限 222222 lim 12 n nnn nnnn . 2. 求积分 222 0 1 (1)(1) dx xa x ，其中| 1a . 3. 已知函数( )f x为非负连续函数，且满足( ) ()1f x fx，求积分 2 2 cos 1( ) x dx f x . 4. 设L为单位球面 222 1
3、xyz与圆柱面 22 xyx在区域 3 ( , , )| ,0 x y zRy z 的那部分曲线段，且L的正向选择如下：当在L上运行经过点0,0,1时，L的切方向恰好 指向y轴正半轴. 求第二型曲线积分 L xdxydyzdz . 5. 设S是三角形 3 ( , , )| , ,0,1x y zRx y zxyz，法向量与1,1,1同方向. 求第 二型曲面积分 2 S y dydzxydzdxxzdxdy . 三、计算题（共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 1. 求函数 1 ( ) 1sin f x x 的麦克劳林公式中 3 x和 4 x项前的系数. 2. 求幂级数 2( 1)!
4、n n n x n 的和函数. 3. 已知方程 23 cos0 xyzy在(0,0,1)附近唯一确定了隐函数( , )zf x y，求 ( ,)f x y在(0,0)点处的带佩亚诺余项的直到二阶的泰勒公式. 四、讨论分析题（共 1 小题，每小题 10 分，共 10 分） 1. 判别级数 1 arctan ( 1)n n n n n n 的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛. 五、证明题（共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分） 1. 设f为0,)上的可导函数，且对任何0 x 有 ( ) ( )arctan f x f x ex，证明：对任何 0 x ，函数( )f x有一个上界是 2 . 2. 设数列 n a满足 1 2(1) 2 n n n a a a ，1,2,n L, 且 1 0a . 证明：数列 n a收敛且 lim2 n n a . 3. 设函数( )f x在0, 上连续， 且 0 ( )0f x dx ， 0 ( )cos0f xxdx . 证明： 在(0, ) 内至少存在两个不同的点，使得( )( )0ff. 4. 把函数 ,0 4 ( ) ,0 4 x f x x 展开成傅里叶级数并由此证明： 311111 1 657111317 L.