1、思维特训(四) 绝对值与分类讨论方法点津 1由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论用符号表示这一过程为： |a| a（a0），0（a 0）， a（a0)，则 xa.|x|3分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：分类；讨论；归纳典题精练 类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论1已知点 A 在数轴上对应的数是 a，点 B 在数轴上对应的数是 b，且|a4|(b1)20.现将点 A，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB| |ab|.(1)|AB|_ ；(2)设点 P 在数轴上对应的数是 x，当|PA
2、| |PB|2 时，求 x 的值2我们知道：点 A，B 在数轴上分别表示有理数 a，b，A，B 两点之间的距离表示为AB，在数轴上 A，B 两点之间的距离 AB|a b| ，所以式子 |x3|的几何意义是数轴上表示有理数 3 的点与表示有理数 x 的点之间的距离根据上述材料，回答下列问题：(1)|5(2)| 的值为_ ；(2)若|x 3| 1，则 x 的值为_ ；(3)若|x 3| |x 1|，求 x 的值；(4)若|x 3| |x 1|7，求 x 的值类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题3在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，
3、请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数 a，b，c 满足 abc0，求 的值|a|a |b|b |c|c【解决问题】解：由题意，得 a，b，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数当 a，b，c 都是正数，即 a0，b0，c0 时，则 111 |a|a |b|b |c|c aa bb cc3；当 a， b，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设 a0，b0，c0，则 |a|a |b|b 1111.|c|c aa bb cc所以 的值为 3 或 1.|a|a |b|b |c|c【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数 a，b，c 满足 abc0，求 的
4、值；|a|a |b|b |c|c(2)已知|a|3，|b| 1，且 ab，求 ab 的值4在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉例如：|6 7| 67； |67|76； |76|76；|67| 6 7.(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：|7 21|_ ；| 0.8| _；12 _|717 718|(2)用合理的方法计算：| | | | .15 12018 12018 12 12 110095探索研究：(1)比较下列各式的大小(填“ ” “”或“”)：| 2| |3|_|23|；| | | |_| |；12 13 12 13|6|3|_|6 3|；|0|8|_
5、|0 8|.(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当 a，b 为有理数时，|a|b| 与|a b|的大小关系( 直接写出结论即可)(3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x| |2018|x2018|时，求 x 的取值范围详解详析1解：(1)因为| a4|(b1) 20，所以 a4，b1，所以 |AB| ab|5.(2)当点 P 在点 A 左侧时，|PA |PB| (|PB|PA |)| AB|52，不符合题意；当点 P 在点 B 右侧时，|PA|PB |AB| 52，不符合题意当点 P 在点 A，B 之间时，| PA|x ( 4)|x4，| PB|x1|1x.因为|PA| PB|2，所
6、以 x4(1x) 2，解得 x .122解：(1)7(2)因为|x3| 1，所以 x31，解得 x2 或 4.故 x 的值为 2 或 4.(3)根据绝对值的几何意义可知，x 必在1 与 3 之间，故 x30，x10，所以原式可化为 3xx 1，所以 x1.(4)在数轴上表示 3 和1 的两点之间的距离为 4，则满足方程的 x 的对应点在1 的对应点的左边或 3 的对应点的右边若 x 的对应点在1 的对应点的左边，则原式可化为 3xx17，解得 x2.5；若 x 的对应点在 3 的对应点的右边，则原式可化为 x3x17，解得 x4.5.综上可得，x 的值为2.5 或 4.5.3解：(1)因为 a
7、bc0，所以 a，b，c 都为负数或其中一个为负数，另两个为正数当 a，b，c 都为负数，即 a0，b0，c0 时，则 1113；|a|a |b|b |c|c aa bb cc当 a，b，c 中有一个为负数，另两个为正数时，设 a0，b0，c0，则 1111.|a|a |b|b |c|c aa bb cc综上所述， 的值为 3 或 1.|a|a |b|b |c|c(2)因为|a| 3，| b|1，且 ab，所以 a3，b1 或1，则 ab2 或4.4解：(1)217 0.8 12 717 718(2)原式 .15 12018 12 12018 12 11009 155解：(1)因为| 2|3|5，|23| 1，所以|2| |3|23|.因为| | | ，| | ，所以| | | |.12 13 56 12 13 56 12 13 12 13因为|6| |3|639， |63|3，所以|6| |3| |63|.因为|0| |8|8，|0 8|8，所以|0| |8| |08|.(2)当 a，b 异号时，| a| b|ab| ；当 a，b 同号或 a，b 中有一个为 0 或两个同时为0 时，| a| b| |ab|，所以|a| |b| ab|.(3)由(2)中得出的结论可知，x 与2018 同号或 x 为 0，所以当|x| |2018| x2018|时，x 的取值范围是 x0.