1、思维特训(十五) 以数轴为载体的方程问题方法点津 1如图 15S1，数轴上点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，则 A，B 两点之间的距离可以表示为 AB|ab |，或用右边的数减去左边的数为 ABba.图 15S12通常利用数轴上距离(路程 )之间的数量关系，列出一元一次方程，解决相遇与追及问题相遇问题的基本相等关系是“两点初始距离等于两点所走的路程和” ；追及问题的基本相等关系是“两点的路程差等于两点的初始距离” 典题精练 类型一 相遇问题1如图 15S2，已知数轴上有 A，B，C 三点，分别表示有理数26，10，10，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度向终点 C
2、 移动，设点 P 移动的时间为 t 秒(1)用含 t 的式子表示点 P 对应的数：_；用含 t 的式子表示点 P 和点 C 的距离：PC_(2)当点 P 运动到点 B 时，点 Q 从点 A 出发，以每秒 3 个单位的速度向点 C 运动，点Q 到达点 C 后，再立即以同样的速度返回点 A，探究点 P，Q 同时运动的过程中能否相遇，若相遇，请求出相遇时 t 的值图 15S22已知数轴上有 A，B，C 三点，分别表示 12，5，5，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A，C 两点同时出发，甲的速度是每秒 2 个单位，乙的速度是每秒 3 个单位(1)若甲、乙相向而行，则甲、乙在数轴上的哪个点相遇？(2)若甲、乙
3、相向而行，则多少秒后甲到 A，B ，C 三点的距离之和为 20 个单位？(3)在(2)的条件下，当甲到 A，B，C 三点的距离之和为 20 个单位时，甲调头返回，则甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由3甲、乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶，为了确定汽车的位置，我们用数轴表示这条公路，并规定向右为正方向，原点 O 为 0 km 路标，并作如下约定：位置为正，表示汽车位于 0 km 右侧；位置为负，表示汽车位于 0 km 左侧，位置为 0，表示汽车位于 0 km处(1)根据题意，填写下列表格：时间(h) 0 3 5 x甲车位置( km) 150 30乙车位置( km) 70
4、 150(2)甲、乙两车能否相遇？如能相遇，求出相遇时间及相遇时的位置；如不能相遇，请说明理由(3)甲、乙两车能否相距 120 km？若能，求出两车相距 120 km 时的时间；若不能，请说明理由4数学问题：如图 15S3，在数轴上点 A 表示的数为20，点 B 表示的数为 40，动点 P 从点 A 出发以每秒 5 个单位的速度沿正方向运动，动点 Q 从原点出发以每秒 4 个单位的速度沿正方向运动，动点 N 从点 B 出发以每秒 8 个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点 N 回到点 B 时，三点停止运动图 15S3(1)三个动点运动 t(0t5)秒时，P，Q
5、 ，N 三点在数轴上所表示的数分别为_，_，_(2)当 QN10 个单位时，求此时点 P 在数轴上所表示的数(3)尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题：码头 C 位于 A，B 两码头之间，且知 AC20 海里，AB60 海里，甲船从 A 码头顺流驶向 B 码头，乙船从 C 码头顺流驶向 B 码头，丙船从 B 码头开往 C 码头后立即调头返回 B 码头已知甲船在静水中的航速为 5 海里/ 时，乙船在静水中的航速为 4 海里/时，丙船在静水中的航速为 8 海里/ 时，水流速度为 2 海里/ 时，三船同时出发，每艘船都行驶到B 码头停止在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘
6、船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离 B 码头的距离；若不存在，请说明理由类型二 追及问题5动点 A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点 B 也从原点出发向数轴正方向运动，3 秒后，两点相距 15 个单位已知动点 A，B 的速度比是 14.(速度单位：单位/秒)(1)求出两个动点运动的速度，并在如图 15S4 所示的数轴上标出 A，B 两点从原点出发运动 3 秒时的位置；(2)若 A，B 两点从 (1)中的位置同时向数轴负方向运动，则几秒后原点恰好处在两个动点正中间？(3)在(2)中 A，B 两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点 C 同时从 B 点
7、位置出发向 A 点运动，当遇到 A 后，立即返回向 B 点运动，遇到 B 点后立即返回向 A 点运动，如此往返，直到 B 追上 A 时，点 C 立即停止运动若点 C 一直以 20 单位/秒的速度匀速运动，则点 C 从开始到停止运动，运动的路程是多少单位？图 15S4详解详析1解：(1)26t 36t(2)点 Q 返回前相遇： 3(t 16)t，解得 t24；点 Q 返回后相遇：3(t16)t 362.解得 t30.综上所述，点 P，Q 同时运动的过程中能相遇，相遇时 t 的值是 24 或 30.2解：(1)设甲、乙行驶 x 秒时相遇根据题意，得 2x3x17，解得 x3.4，23.46.8，1
8、26.85.2.答：甲、乙在数轴上表示5.2 的点处相遇(2)设 y 秒后甲到 A，B ，C 三点的距离之和为 20 个单位，点 B 距 A，C 两点的距离之和为 7101720，点 A 距 B，C 两点的距离之和为7172420，点 C 距 A，B 两点的距离之和为 1710 2720，故甲应位于 A，B 或B，C 之间当甲位于 A，B 之间时，得 2y(72y) (72y10)20，解得 y2；当甲位于 B，C 之间时，得 2y(2y 7)(172y) 20 ，解得 y5.答：若甲、乙相向而行，2 秒或 5 秒后甲到 A，B，C 三点的距离之和为 20 个单位(3)能甲从点 A 向右运动
9、2 秒时返回，设 a 秒后与乙相遇此时甲、乙在数轴上对应同一点，所表示的数相同甲表示的数为12222a；乙表示的数为 5323a，依据题意，得12222a5323a，解得 a7，相遇点表示的数为12222a22；甲从点 A 向右运动 5 秒时返回，设 b 秒后与乙相遇此时甲表示的数为12252b；乙表示的数为 5353b，依据题意，得12252b5353b，解得 b8(不合题意，舍去 )即甲从点 A 向右运动 2 秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为22.3解：(1)填表如下：时间(h) 0 3 5 x甲车位置( km) 150 30 150 15060x乙车位置( km) 50 7
10、0 150 5040x(2)能相遇由题意，得 15060x5040x，解得 x2，15060230.答：相遇时间为 2 h，且位于 0 km 路标右侧 30 km 处(3)能15060x1205040x，解得 x3.2；15060x1205040x，解得 x0.8.答：两车相距 120 km 时的时间为 0.8 h 或 3.2 h.4解：(1)205t 4t 408t(2)点 Q，N 相遇的时间为 秒，点 Q 到点 B 的时间为 10 秒，点 N 到点 O 的时间为 5103秒，点 N 从出发到返回到点 B 的时间为 10 秒点 N 到点 O 前，点 P 所表示的数为205t；点 Q 所表示的
11、数为 4t；点 N 所表示的数为 408t.点 Q，N 相遇前，如图(a)：408t4t 10，解得 t2.5，此时点 P 所表示的数为2052.57.5；点 Q，N 相遇后，点 N 到达点 O 前，如图(b) ，4t (408t)10，解得 t ，256此时点 P 所表示的数为205 ；256 56点 Q，N 相遇后，点 N 到达点 O 后，如图(c)，点 P 所表示的数为205t ；点 Q 所表示的数为 4t；点 N 所表示的数为 8(t5)，4t8(t5) 10，解得 t7.5，此时点 P 所表示的数为2057.517.5.(3)存在由数学问题的解题经验可建立如图( d)所示的数轴，点
12、A 所表示的数为20，点 C 所表示的数为 0，点 B 所表示的数为 40.甲从点 A 出发以每秒 7 个单位的速度向点 B 运动，乙从点 C 出发以每秒 6 个单位的速度向点 B 运动，丙从点 B 出发以每秒 6个单位的速度向点 C 运动，到达点 C 后立即以每秒 10 个单位速度返回，甲、乙、丙同时出发，当甲、乙、丙都运动到点 B 时，运动停止甲到 C 的时间为 秒，甲到 B 的时间为207秒，乙到 B 的时间为 秒，丙到 C 的时间为 秒，丙从出发到返回到 B 的时间为 秒，607 203 203 323甲遇丙的时间为 秒，乙遇丙的时间为 秒，甲追上乙的时间为 20 秒(舍) ，丙追上甲
13、的时6013 103间为 秒( 舍)丙到达 C 前，甲所表示的数为 207t；乙所表示的数为 6t；丙所表示的1409数为 406t.乙、丙相遇前：6t(207t)406t6t ，解得 t ，所以甲船离 B 码头的距离2011为 40( 207 ) (海里) ；2011 52011甲、丙相遇前：406t(207t)6t(40 6t)，解得 t4，所以甲船离 B 码头的距离为 40(2074)32(海里) ；甲、丙相遇后，丙到达 C 前： 6t( 207t) 207t(406t)，解得 t ，所407以甲船离 B 码头的距离为 40( 207 )20( 海里)；407甲、丙相遇后，丙到达 C 后
14、：甲所表示的数为 207t；乙所表示的数为 6t；丙所表示的数为 10(t ).6t( 207t)207t10(t )，解得 t (舍)203 203 403 323综上所述，在整个运动过程中，分别在 小时、4 小时、 小时时，这三艘船中的一2011 407艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离 B 码头的距离分别为 海里、5201132 海里、20 海里5解：(1)设点 A 的运动速度为 x 单位/ 秒，则点 B 的运动速度为 4x 单位/秒由题意得 3x34x15，解得 x1.所以点 A 的运动速度是 1 单位 /秒，点 B 的运动速度是 4 单位/ 秒；A，B 两点所在位置如图：(2)设 y 秒后，原点恰好处在 A，B 两点的正中间由题意得 y3124y，解得 y .95答：经过 秒后，原点恰好处在 A，B 两点的正中间95(3)设 B 追上 A 需 z 秒，则4z1z2( 3)，解得 z ，95 16520 64.165答：C 点运动的路程是 64 单位