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2018年秋人教版七年级数学上思维特训(十二)含答案:古代问题

1、思维特训(十二) 古代问题方法点津 1 九章算术是中国古代第一部数学专著,是算经十书中的一种该书内容十分丰富,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就2 算法统宗全称新编直指算法统宗 ,是中国古代数学名著,程大位著它是一部应用数学书,是以珠算为主要的计算工具,列有 595 个应用题的数字计算,都不用筹算方法,而是用珠算演算3 算学启蒙分上、中、下三卷,元大德己亥(1299 年) 朱世杰撰,共 20 门,凡 259问4 孙子算经是中国古代重要的数学著作约成书于四、五世纪,也就是大约一千五百年前,作者生平和编写年份不详典题精练 类型一 九章算术1 九章算术中记载:“今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六

2、,不足十六问人数、鸡价各几何?”译文:“假设有几个人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱问:有几个人共同出钱买鸡?鸡的价钱是多少?”设有 x 个人共同买鸡,根据题意列一元一次方程正确的是( )A9x116x16 B9x116x16C. D. x 119 x 166 x 119 x 166类型二 算法统宗2在明朝程大位算法统宗中,有这样的一首诗:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”这首诗描述的这个宝塔,其古称浮屠,本题说它一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍,则该塔塔顶灯的个数是( )A1 B2 C3 D73唐代大诗

3、人李白喜好饮酒作诗,民间有“李白斗酒诗百篇”之说 算法统宗中记载了一个“李白沽酒”的故事诗云:今携一壶酒,游春郊外走逢朋加一倍,入店饮半斗相逢三处店,饮尽壶中酒试问能算士,如何知原有注:古代一斗是 10 升大意是:李白在郊外春游时,做出这样一条约定:遇见朋友,先到酒店里将壶里的酒增加一倍,再喝掉其中的 5 升酒按照这样的约定,在第 3 个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒(1)列方程求壶中原有多少升酒(2)设壶中原有 a0 升酒,在第 n 个店饮酒后壶中余 an 升酒,如第一次饮酒后所余酒为a1(2a 05) 升,第二次饮酒后所余酒为 a22a 152 2a0(2 21)5升,用含 an1 的式子

4、表示 an_,再用含 a0 和 n 的式子表示 an_;按照这个约定,如果在第 4 个店喝光了壶中酒,请借助中的结论求壶中原有多少升酒类型三 算学启蒙4我国元朝朱世杰所著的算学启蒙(1299 年) 一书中,有一道题目是: “今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里驽马先行一十二日,问良马几何日追及之 ”译文是:跑得快的马每天走 240 里,跑得慢的马每天走 150 里慢马先走 12 天,快马几天可以追上慢马?类型四 孙子算经5 孙子算经是中国传统数学的重要著作之一,其中记载的“荡杯问题”很有趣其内容为:“今有妇人河上荡杯津吏问曰:杯何以多?妇人曰:家有客 津吏曰:客几何?妇人曰:二人共饭,三

5、人共羹,四人共肉,凡用杯六十五 不知客几何?”译文:“2 人同吃一碗饭,3 人同吃一碗羹,4 人同吃一碗肉,共用 65 个碗,问有多少客人?”类型五 其他古代问题6甲赶群羊逐草茂,乙拽肥羊一只随其后,戏问甲及一百否?甲云所说无差谬,若得这般一群凑,再添半群小半群,得你一只来方凑,玄机奥妙谁参透?(注:小半为四分之一的意思)诗的意思是:甲赶着一群羊在前面走,乙牵着一只羊跟在后面乙问甲说:“你这群羊有一百只吗?”甲回答:“我如果再得这么一群羊,再得这么一群羊的一半,又得这群羊的四分之一,把你牵的羊也给我,我恰好有一百只 ”请问这群羊有多少只?7我问开店李三公,多少客人在店中,一房七客多七客,一房九

6、客一房空请你仔细算一算,多少房间多少客?诗的意思是:我问开店的李三公:“有多少客人来住店?”李三公回答说:“一个房间内若住 7 个客人,则余下 7 人没处住;一个房间内若住满 9 人,则又空出一个房间 ”求共有多少客房,多少客人?8有一次,古希腊数学家毕达哥拉斯正在课堂上讲课,突然有旁人问:“先生,您能告诉我有多少人在听课吗?”毕达哥拉斯没有直接说出人数,而是十分风趣地答道:“在下面听课的学生当中,有一半是搞数学研究的, 是从事音乐工作的, 是具体职业不清楚14 17的,另外还有 3 名女性 ”从毕达哥拉斯的回答中,你能算出一共有多少学生正在听课吗?9牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家,他创

7、立了微积分(另一个创立者是莱布尼茨) 、经典力学,在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献,牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律,他呕心沥血,写成的光辉著作自然哲学的数学原理 ,照亮了人类科学文明的大道,牛顿在他的普遍的算术一书中写道:“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题,只要把题目由日常语言转化为代数语言就行了 ”(1)下表是由牛顿给出的 1 个例子改写、简化而成的,请填写下表(不必化简):日常语言 代数语言(1)一个商人有一笔钱 x(2)第一年他花去了 100 镑 x100(3)补进去余额的13 (x100) (x100)13(4)第二年他又花去了 100 镑(5)又补进去余额的

8、13(6)结果他的钱数正好是原来的钱数(2)你能求出商人原来有多少钱吗?详解详析1B解析 利用鸡的价钱相等建立一元一次方程,如果每人出九钱,那么多了十一钱,所以鸡的价钱可以表示为 9x11;如果每人出六钱,那么少了十六钱,所以鸡的价钱还可以表示为 6x16,所以有 9x116x16.2C解析 设塔顶有 x 盏灯依题意,得 x2x4x8x16x32x64x381,解得x3.3解:(1)设壶中原有 x 升酒根据题意,得 22(2x5)55,解得 x .358答:壶中原有 升酒358(2)a 12a 05,a 22a 152 2a0(2 21) 5,a 32a 252 3a0(2 31) 5,所以

9、an2a n1 52 na0(2 n1)5.由题意,得 a42 4a0(2 41)516a 0750,解得 a0 .7516答:如果在第 4 个店喝光了壶中酒,那么壶中原有 升酒75164解:设快马 x 天可以追上慢马由题意,得 240x150x15012,解得 x20.答:快马 20 天可以追上慢马5解:设共有客人 x 名根据题意,得x x x65,解得 x60.12 13 14答:共有客人 60 名6解:设这群羊有 x 只根据题意,得 xx x x1100,12 14解得 x36.答:这群羊有 36 只7解:设有 x 间客房由题意,得 7x79(x1),解得 x8.则客人为 78763(人)即有 8 间客房、63 名客人8解:设有 x 名学生正在听课由题意,得 x x x3x,12 14 17解得 x28.答:一共有 28 名学生正在听课9解:(1)表中从上到下依次填:(x 100) (x100) 100,(x100) (x100)13 13100 (x 100) (x100) 100 ,(x100) (x100)100 (x100) (x100)13 13 13 13 13100 x.(2)由(1)得(x100) (x100)100 (x100) (x100)100 x,13 13 13解得 x400.答:商人原来有 400 镑钱