1、思维特训(十二) 古代问题方法点津 1 九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中的一种该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就2 算法统宗全称新编直指算法统宗 ，是中国古代数学名著，程大位著它是一部应用数学书，是以珠算为主要的计算工具，列有 595 个应用题的数字计算，都不用筹算方法，而是用珠算演算3 算学启蒙分上、中、下三卷，元大德己亥(1299 年) 朱世杰撰，共 20 门，凡 259问4 孙子算经是中国古代重要的数学著作约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，作者生平和编写年份不详典题精练 类型一 九章算术1 九章算术中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六
2、，不足十六问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有 x 个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程正确的是( )A9x116x16 B9x116x16C. D. x 119 x 166 x 119 x 166类型二 算法统宗2在明朝程大位算法统宗中，有这样的一首诗：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，则该塔塔顶灯的个数是( )A1 B2 C3 D73唐代大诗
3、人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说 算法统宗中记载了一个“李白沽酒”的故事诗云：今携一壶酒，游春郊外走逢朋加一倍，入店饮半斗相逢三处店，饮尽壶中酒试问能算士，如何知原有注：古代一斗是 10 升大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的 5 升酒按照这样的约定，在第 3 个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒(1)列方程求壶中原有多少升酒(2)设壶中原有 a0 升酒，在第 n 个店饮酒后壶中余 an 升酒，如第一次饮酒后所余酒为a1(2a 05) 升，第二次饮酒后所余酒为 a22a 152 2a0(2 21)5升，用含 an1 的式子
4、表示 an_，再用含 a0 和 n 的式子表示 an_；按照这个约定，如果在第 4 个店喝光了壶中酒，请借助中的结论求壶中原有多少升酒类型三 算学启蒙4我国元朝朱世杰所著的算学启蒙(1299 年) 一书中，有一道题目是： “今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里驽马先行一十二日，问良马几何日追及之 ”译文是：跑得快的马每天走 240 里，跑得慢的马每天走 150 里慢马先走 12 天，快马几天可以追上慢马？类型四 孙子算经5 孙子算经是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣其内容为：“今有妇人河上荡杯津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客 津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三
5、人共羹，四人共肉，凡用杯六十五 不知客几何？”译文：“2 人同吃一碗饭，3 人同吃一碗羹，4 人同吃一碗肉，共用 65 个碗，问有多少客人？”类型五 其他古代问题6甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁参透？(注：小半为四分之一的意思)诗的意思是：甲赶着一群羊在前面走，乙牵着一只羊跟在后面乙问甲说：“你这群羊有一百只吗？”甲回答：“我如果再得这么一群羊，再得这么一群羊的一半，又得这群羊的四分之一，把你牵的羊也给我，我恰好有一百只 ”请问这群羊有多少只？7我问开店李三公，多少客人在店中，一房七客多七客，一房九
6、客一房空请你仔细算一算，多少房间多少客？诗的意思是：我问开店的李三公：“有多少客人来住店？”李三公回答说：“一个房间内若住 7 个客人，则余下 7 人没处住；一个房间内若住满 9 人，则又空出一个房间 ”求共有多少客房，多少客人？8有一次，古希腊数学家毕达哥拉斯正在课堂上讲课，突然有旁人问：“先生，您能告诉我有多少人在听课吗？”毕达哥拉斯没有直接说出人数，而是十分风趣地答道：“在下面听课的学生当中，有一半是搞数学研究的， 是从事音乐工作的， 是具体职业不清楚14 17的，另外还有 3 名女性 ”从毕达哥拉斯的回答中，你能算出一共有多少学生正在听课吗？9牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创
7、立了微积分(另一个创立者是莱布尼茨) 、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献，牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血，写成的光辉著作自然哲学的数学原理 ，照亮了人类科学文明的大道，牛顿在他的普遍的算术一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日常语言转化为代数语言就行了 ”(1)下表是由牛顿给出的 1 个例子改写、简化而成的，请填写下表(不必化简)：日常语言 代数语言(1)一个商人有一笔钱 x(2)第一年他花去了 100 镑 x100(3)补进去余额的13 (x100) (x100)13(4)第二年他又花去了 100 镑(5)又补进去余额的
8、13(6)结果他的钱数正好是原来的钱数(2)你能求出商人原来有多少钱吗？详解详析1B解析 利用鸡的价钱相等建立一元一次方程，如果每人出九钱，那么多了十一钱，所以鸡的价钱可以表示为 9x11；如果每人出六钱，那么少了十六钱，所以鸡的价钱还可以表示为 6x16，所以有 9x116x16.2C解析 设塔顶有 x 盏灯依题意，得 x2x4x8x16x32x64x381，解得x3.3解：(1)设壶中原有 x 升酒根据题意，得 22(2x5)55，解得 x .358答：壶中原有 升酒358(2)a 12a 05，a 22a 152 2a0(2 21) 5，a 32a 252 3a0(2 31) 5，所以
9、an2a n1 52 na0(2 n1)5.由题意，得 a42 4a0(2 41)516a 0750，解得 a0 .7516答：如果在第 4 个店喝光了壶中酒，那么壶中原有 升酒75164解：设快马 x 天可以追上慢马由题意，得 240x150x15012，解得 x20.答：快马 20 天可以追上慢马5解：设共有客人 x 名根据题意，得x x x65，解得 x60.12 13 14答：共有客人 60 名6解：设这群羊有 x 只根据题意，得 xx x x1100，12 14解得 x36.答：这群羊有 36 只7解：设有 x 间客房由题意，得 7x79(x1)，解得 x8.则客人为 78763(人)即有 8 间客房、63 名客人8解：设有 x 名学生正在听课由题意，得 x x x3x，12 14 17解得 x28.答：一共有 28 名学生正在听课9解：(1)表中从上到下依次填：(x 100) (x100) 100，(x100) (x100)13 13100 (x 100) (x100) 100 ，(x100) (x100)100 (x100) (x100)13 13 13 13 13100 x.(2)由(1)得(x100) (x100)100 (x100) (x100)100 x，13 13 13解得 x400.答：商人原来有 400 镑钱