1、思维特训(二十一) 角的运动问题方法点津 角的运动主要包括角的旋转、折叠以及三角尺的旋转解决策略：在某一时刻，利用角的位置(大小) ，建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解典题精练 类型一 角的折叠1(1)如图 21S1，OC 是AOB 内的一条射线将 OB，OA 向AOB 内部翻折，使射线 OA，OB 都与射线 OC 重合，折痕分别为 OE，OF，EOF25，求AOB的度数；(2)如图，MON 20，OC 是MON 内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：第一步：将 OC 沿 OM 向MON 外部翻折，得到 OM1，第二步：将 OC 沿 ON 向MON外部翻折
2、，得到 ON1；第二次操作也分为两个步骤：第一步：将 OC 沿 OM1 向MON 外部翻折，得到 OM2；第二步：将 OC 沿 ON1 向MON 外部翻折，得到 ON2；依此类推，在第_次操作的第_步恰好第一次形成一个周角，并求MOC 的度数图 21S1类型二 射线的旋转2如图 21S2，已知AOB90 ，射线 OC 绕点 O 从 OA 位置开始，以每秒 4的速度按顺时针方向旋转；同时，射线 OD 绕点 O 从 OB 位置开始，以每秒 1的速度按逆时针方向旋转当 OC 与 OA 成 180角时，OC 与 OD 同时停止旋转(1)当 OC 旋转 10 秒时，COD_；(2)当 OC 与 OD 的
3、夹角是 30时，求旋转的时间；(3)当 OB 平分 COD 时，求旋转的时间图 21S23如图 21S3，已知AOB20 ，AOE 100 ，OB 平分AOC，OD 平分AOE.(1)求COD 的度数；(2)若以 O 为观察中心， OA 为正东方向，则射线 OD 的方向角是 _；(3)若AOE 的两边 OA，OE 分别以每秒 5、每秒 3的速度，同时绕点 O 逆时针方向旋转，当 OA 回到原处时，OA，OE 停止运动，则经过几秒， AOE 42？图 21S3类型三 角的旋转4如图 21S4，射线 OC，OD 在AOB 的内部，且 AOB150，COD 30，射线 OM，ON 分别平分AOD，B
4、OC.(1)求MON 的度数；(2)如图，若AOC 15，将COD 绕点 O 以每秒 x的速度逆时针旋转 10 秒，此时AOM BON，如图 所示，求 x 的值711图 21S4类型四 三角尺的旋转5将一副三角尺如图 21S5所示摆放在直线 AD 上 (三角尺 OBC 和三角尺MON， OBC 90，BOC45，MON90，MNO 30)，保持三角尺 OBC 不动，将三角尺 MON 绕点 O 以每秒 10的速度顺时针旋转，旋转时间为 t 秒(1)当 t_时，OM 平分 AOC，如图，此时NOCAOM_；(2)继续旋转三角尺 MON，如图，使得 OM，ON 同时在直线 OC 的右侧，猜想NOC
5、与AOM 有怎样的数量关系，并说明理由；(3)若在三角尺 MON 开始旋转的同时，另一个三角尺 OBC 也绕点 O 以每秒 5的速度顺时针旋转，当 OM 旋转至射线 OD 上时同时停止(自行画图分析)当 t_时，OM 平分AOC?请直接写出在旋转过程中，NOC 与AOM 的数量关系图 21S56O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使BOC 65，将一块三角尺的直角顶点放在点 O 处(1)如图 21S6，将三角尺 MON 的一边 ON 与射线 OB 重合时，则MOC_；(2)如图，将三角尺 MON 绕点 O 逆时针旋转一定角度，此时 OC 是MOB 的平分线，求BON 和CON 的
6、度数；(3)将三角尺 MON 绕点 O 逆时针旋转至图的位置时，NOCAOM ，求NOB的度数图 21S6详解详析1解：(1)因为将 OB，OA 向AOB 内部翻折，使射线 OA，OB 都与射线 OC 重合，折痕分别为 OE，OF，EOF 25 ，所以AOB2COE2COF2(EOCCOF) 50.(2)在第五次操作的第一步恰好第一次形成一个周角设 MOCx，则 162016x360，解得 x2.5，所以MOC2.5.2解：(1)因为射线 OC 绕点 O 从 OA 位置开始，以每秒 4的速度按顺时针方向旋转，射线 OD 绕点 O 从 OB 位置开始，以每秒 1的速度按逆时针方向旋转，所以当 O
7、C 旋转 10 秒时，COD90 41011040，故答案为：40.(2)设旋转 t 秒时，OC 与 OD 的夹角是 30.如图，则 4tt9030，解得 t12；如图，则 4tt9030，解得 t24.综上所述，旋转的时间是 12 秒或 24 秒(3)如图，设旋转 m 秒时，OB 平分COD ，则 4m90m，解得 m30，故旋转的时间是 30 秒3解：(1)因为AOB 20，AOE 100，所以EOBAOEAOB80.又因为 OB 平分AOC，OD 平分AOE，所以AOC2AOB40 ，AOD AOE50，12所以CODAODAOC5040 10.(2)由(1)知AOD50，所以射线 OD
8、 的方向角为北偏东 40.(3)设经过 x 秒，AOE42，则3x5x10042 或 5x(3x100) 42，解得 x29 或 x71.即经过 29 秒或 71 秒，AOE42.4解：(1)因为AOB 150 ，COD30，OM ，ON 分别平分AOD ，BOC，所以MONMODNOCCOD (AODBOC)COD12(AOBCOD)COD60.12(2)由题意，得BOD 10510x，AOC15 10x ，所以BOC13510x，AOD 4510x.又因为AOM BON，且 OM，ON 分别平分AOD，BOC，711所以AOD BOC，711即 45 10x (13510x) ，解得 x2
9、.5.7115解：(1)因为AOC 45，OM 平分AOC，所以AOM AOC22.5，12所以 t2.25.因为MON90，MOC22.5，所以NOCAOMMONMOCAOM45.故答案为 2.25，45.(2)NOC AOM45.理由：因为AON90(10t)，所以NOC90(10t)4545(10t).因为AOM(10t)，所以NOCAOM45.(3)如图，因为AOB (5t)，所以AOC45(5t).因为 OM 平分AOC，所以AOM AOC，12而AOM(10t)，所以 10t (455t)，12解得 t3.NOC AOM45.12理由：因为AOB(5t)，AOM(10t) ，MON
10、90， BOC45，所以AON90AOM90 (10t) ，AOCAOBBOC 45(5t)，所以NOCAONAOC90(10t)45(5t)(5t)45，所以NOCError!AOM45.6解：(1)因为MON 90，BOC65，所以MOCMON BOC90 6525.(2)因为BOC65，OC 是MOB 的平分线，所以MOB2BOC 130.所以BONMOBMON13090 40.所以CONBOCBON 654025.(3)因为BOC65，所以AOCAOBBOC18065115.因为MON90，所以AOMNOCAOCMON1159025.又因为NOCAOM，所以 2NOC25.所以NOC12.5.所以NOBNOCBOC77.5.