1、第十章第十章 概率概率 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.若“AB”发生(A，B 中至少有一个发生)的概率为 0.6，则A ，B 同时发生的概 率为( ) A.0.6 B.0.36 C.0.24 D.0.4 解析 “AB”发生指 A，B 中至少有一个发生，它的对立事件为 A，B 都不发 生，即A ，B 同时发生. 答案 D 2.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有多少种 ( ) A.3 B.4 C.6 D.12 解析 用 1，2，3 分别表示这三册小说，排序有(1，2，3)，(1
2、，3，2)，(2，1， 3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)共 6 种. 答案 C 3.一个骰子连续投 2 次，点数和为 i(i2，3，12)的概率记作 Pi，则 Pi的最大 值是( ) A. 1 12 B.1 6 C.1 4 D.1 3 解析 样本点是 (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)； (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)； (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)； (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)； (5，1)，(5，2)，(5，3
3、)，(5，4)，(5，5)，(5，6)； (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， 共有 36 个.其中两数之和等于 7 的有 6 个， 两数之和等于其余数字的都少于 6 个， 故 P7 6 36 1 6最大. 答案 B 4.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 解析 由互斥事件的定义可得“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件. 答案 A 5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付 的概率为
4、 0.15，则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析 设“只用现金支付”为事件 A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件 B，“不用现金支付”为事件 C，则 P(C)1P(A)P(B)10.450.150.4. 故选 B. 答案 B 6.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为2 3和 3 4，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.1 2 B. 5 12 C.1 4 D.1 6 解析 所求概率为 p2 3 1 4 1 3 3 4 5 12或 p1 2 3 3 4 1 3 1 4 5 12. 答案
5、 B 7.有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔 中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 5 解析 选取两支彩笔的方法有 10 种， 含有红色彩笔的选法为 4 种， 由古典概型公 式，满足题意的概率 p 4 10 2 5. 答案 C 8.从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. 1 10 B.1 5 C. 3 10 D.2 5 解析 如下表所示，表中的点横
6、坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取 到的数 1 2 3 4 5 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) 总计有 25 种情况，满足条件的有 10 种，所以所求概率为10 25 2 5. 答案 D 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部
7、选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.“今天北京的降雨概率是 80%，上海的降雨概率是 20%”，下列说法正确的是 ( ) A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B.上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C.上京和上海都可能没降雨 D.北京降雨的可能性比上海大 解析 概率表示某个随机事件发生的可能性大小，因此 BCD 正确，A 错误. 答案 BCD 10.有5件产品， 其中3件正品， 2件次品， 从中任取2件， 则互斥的两个事件是( ) A.至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 B.至少有 1 件次品与都是正品 C.至少有 1 件次品与至少有 1 件正品 D.恰
8、有 1 件次品与恰有 2 件正品 解析 对于 A，至少有 1 件次品与至多有 1 件正品，都包含着“一件正品，一件 次品”，所以不是互斥事件，故 A 不正确；对于 B，至少有 1 件次品包含着“一 件正品一件次品”“两件次品”，与“两件都是正品”是对立事件，故 B 正确； 对于 C，至少有 1 件次品与至少有 1 件正品都包含着“一件正品，一件次品”， 所以不是互斥事件，故 C 不正确；对于 D，恰有 1 件次品与恰有 2 件正品是互斥 而不对立事件，故 D 项正确. 答案 BD 11.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取 3 次，则 下列事件的概率不为8 9的是( )
9、 A.颜色相同 B.颜色不全同 C.颜色全不同 D.无红球 解析 有放回地取球 3 次，共 27 种可能结果，其中颜色相同的结果有 3 种，其概 率为 3 27 1 9；颜色不全同的结果有 24 种，其概率为 24 27 8 9；颜色全不同的结果有 3 种，其概率为 3 27 1 9；无红球的结果有 8 种，其概率为 8 27. 答案 ACD 12.甲、乙两位同学各拿出 6 张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上 的面的点数为奇数时甲得 1 分， 否则乙得 1 分， 先积得 3 分者获胜得所有 12 张游 戏牌， 并结束游戏.比赛开始后， 甲积 2 分， 乙积 1 分， 这时因意外事件
10、中断游戏， 以后他们不想再继续这场游戏，下面对这 12 张游戏牌的分配不合理的是( ) A.甲得 9 张，乙得 3 张 B.甲得 6 张，乙得 6 张 C.甲得 8 张，乙得 4 张 D.甲得 10 张，乙得 2 张 解析 由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为1 2，即甲、乙每局得分的概 率相等， 所以继续游戏甲获胜的概率是1 2 1 2 1 2 3 4， 乙获胜的概率是1 2 1 2 1 4. 所以甲得到的游戏牌为 123 49(张)，乙得到的游戏牌为 12 1 43(张)，故选 BCD. 答案 BCD 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.一枚硬币连掷三
11、次， 事件 A 为“三次反面向上”， 事件 B 为“恰有一次正面向 上”，事件 C 为“至少两次正面向上”，则 P(A)P(B)P(C)_. 解析 事件 A，B，C 之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，所以 P(A)P(B)P(C)1. 答案 1 14.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A两次都击中飞机，B两 次都没有击中飞机，C恰有一次击中飞机，D至少有一次击中飞机.其中 彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是_.（本题第一空 3 分，第 二空 2 分） 解析 事件“两次都击中飞机”发生，则 A 与 D 都发生. 事件“恰有一次击中飞机”发生，则 C 与 D 都发生. A
12、与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D 都不可能同时发生，B 与 D 中必有一个发生. 答案 A 与 B，A 与 C，C 与 B，B 与 D B 与 D 15.同学甲参加某科普知识竞赛， 需回答三个问题， 竞赛规则规定： 答对第一、 二、 三个问题分别得 100 分、100 分、200 分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对 第一、二、三个问题的概率分别为 0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有 影响，则同学甲得分不低于 300 分的概率是_. 解析 设“同学甲答对第 i 个题”为事件 Ai(i1，2，3)，则 P(A1)0.8，P(A2) 0.6，P(A3)0.5，且 A1，
13、A2，A3相互独立，同学甲得分不低于 300 分对应于事 件(A1A2A3)(A1A 2A3)(A 1A2A3)发生，故所求概率为 PP(A1A2A3)(A1A 2A3)(A 1A2A3) P(A1A2A3)P(A1A 2A3)P(A 1A2A3) P(A1)P(A2)P(A3)P(A1)P(A 2) P(A3)P(A 1)P(A2)P(A3) 0.80.60.50.80.40.50.20.60.5 0.46. 答案 0.46 16.将号码分别为 1，2，9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同， 其余完全相同，甲从袋中摸出一个球.其号码为 a，放回后，乙从此袋中再摸出一 个球，其号码为
14、 b，则使不等式 a2b100 成立的事件发生的概率等于 _. 解析 甲、 乙两人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果， 故样本点为(1， 1)， (1， 2)，(1，3)，(9，7)，(9，8)，(9，9)，共 81 个.由不等式 a2b100 得 2b a10，于是，当 b1，2，3，4，5 时，每种情形 a 可取 1，2，9 中每个 值，使不等式成立，则共有 45 种；当 b6 时，a 可取 3，4，9 中每个值， 有 7 种；当 b7 时，a 可取 5，6，7，8，9 中每个值，有 5 种；当 b8 时，a 可取 7，8，9 中每一个值，有 3 种；当 b9 时，a 只能取 9，有
15、1 种.于是，所求 事件的概率为457531 81 61 81. 答案 61 81 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租 车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费，超过两小时的部分每 小时收费标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)，有甲、乙两人相互独立 来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为1 4， 1 2，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 1 2， 1 4；两人租车时间都不会超过 四小时.求甲、乙
16、两人所付的租车费用相同的概率. 解 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为1 4， 1 4. 设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A， 则 P(A)1 4 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 5 16. 即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 5 16. 18.(12 分)某校在教师外出培训学习活动中，一个月内派出的培训人数及其概率如 下表所示： 派出人数 2 人及以下 3 4 5 6 人及以上 概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04 (1)求有 4 人或 5 人培训的概率； (2)求至少有 3 人培训的概率. 解 (1)设有 2 人及以下培训为事件 A，有
17、 3 人培训为事件 B，有 4 人培训为事件 C，有 5 人培训为事件 D，有 6 人及以上培训为事件 E，所以有 4 人或 5 人培训为 事件 C 或事件 D，A，B，C，D，E 为互斥事件，故 P(CD)P(C)P(D)0.3 0.10.4，即有 4 人或 5 人培训的概率为 0.4. (2)至少有 3 人培训的对立事件为有 2 人及以下培训，所以由对立事件的概率公式 可知 P(BCDE)1P(A)10.10.9，即至少有 3 人培训的概率为 0.9. 19.(12 分)若 5 张奖券中有 2 张是中奖的，先由甲抽 1 张，然后由乙抽 1 张，求： (1)甲中奖的概率 P(A)； (2)甲
18、、乙都中奖的概率 P(B)； (3)只有乙中奖的概率 P(C)； (4)乙中奖的概率 P(D). 解 将 5 张奖券编号为 1，2，3，4，5.其中 4，5 为中奖奖券，用(x，y)表示甲抽 到号码 x，乙抽到号码 y，则可能的结果为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2， 1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)， (4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共 20 种. (1)甲中奖包含 8 个样本点， P(A) 8 20 2 5. (2)甲、乙都中奖包含 2 个样本点， P
19、(B) 2 20 1 10. (3)只有乙中奖包含 6 个样本点， P(C) 6 20 3 10. (4)乙中奖包含 8 个样本点， P(D) 8 20 2 5. 20.(12 分)在一个盒中装有 6 支圆珠笔，其中 3 支黑色，2 支蓝色，1 支红色，从 中任取 3 支. (1)该试验的样本点共有多少个？若将 3 支黑圆珠笔编号为 A，B，C，2 支蓝色圆 珠笔编号为 d，e，1 支红色圆珠笔编号为 x，用(a，b，c)表示样本点，试列举出 该试验的所有样本点. (2)求恰有两支黑色的概率； (3)求至少 1 支蓝色的概率. 解 (1)该试验的所有样本点有(A，B，C)，(A，B，d)，(A
20、，B，e)，(A，B，x)， (A，C，d)，(A，C，e)，(A，C，x)，(A，d，e)，(A，d，x)，(A，e，x)，(B，C， d)，(B，C，e)，(B，C，x)，(B，d，e)，(B，d，x)，(B，e，x)，(C，d，e)，(C， d，x)，(C，e，x)，(d，e，x)，共 20 种. (2)事件“恰有两支黑色”包含的样本点有(A，B，d)，(A，B，e)，(A，B，x)，(A， C，d)，(A，C，e)，(A，C，x)，(B，C，d)，(B，C，e)，(B，C，x)，共 9 种，故 恰有两支黑色的概率 p 9 20. (3)事件“没有蓝色”包含的样本点有(A，B，C)，(A
21、，B，x)，(B，C，x)，(A，C， x)，共 4 个， 故至少有 1 支蓝色的概率 p1 4 20 4 5. 21.(12 分)某社区举办 “环保我参与”有奖问答比赛 活动.某场比赛中， 甲、 乙、 丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率 是3 4，甲、丙两个家庭都回答错的概率是 1 12，乙、丙两个家庭都回答对的概率是 1 4. 若各家庭回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两个家庭各自回答对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答对这道题的概率. 解 (1)记“甲答对这道题”、“乙答对这道题”、“丙答对这道题”分别为事件 A，B
22、，C，则 P(A)3 4，且有 P(A ) P(C ) 1 12， P(B) P(C)1 4， 即 1P(A) 1P(C) 1 12， P(B) P(C)1 4， 所以 P(B)3 8，P(C) 2 3. (2)有 0 个家庭回答对的概率为 p0P(A B C )P(A ) P(B ) P(C ) 1P(A)1P(B)1P(C) 1 4 5 8 1 3 5 96， 有 1 个家庭回答对的概率为 p1P(AB C A BC A B C)3 4 5 8 1 3 1 4 3 8 1 3 1 4 5 8 2 3 7 24， 所以不少于 2 个家庭回答对这道题的概率为 p1p0p11 5 96 7 24
23、 21 32. 22.(12 分)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念 性指数值，记交通指数为 T，其范围为0，10，分别有五个级别：T0，2)，畅 通；T2，4)，基本畅通；T4，6)，轻度拥堵；T6，8)，中度拥堵；T8， 10，严重拥堵.在晚高峰时段(T2)，从某市交通指挥中心选取了市区 20 个交通 路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图所示. (1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数； (2)用分层随机抽样的方法从轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取 6 个 路段，求依次抽取的三个级别路段的个数； (3)从(2)中抽取的 6 个路段
24、中任取 2 个，求至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率. 解 (1)由频率分布直方图得，这 20 个交通路段中， 轻度拥堵的路段有(0.10.2)1206(个)， 中度拥堵的路段有(0.250.2)1209(个)， 严重拥堵的路段有(0.10.05)1203(个). (2)由(1)知，拥堵路段共有 69318(个)，按分层随机抽样，从 18 个路段抽取 6 个，则抽取的三个级别路段的个数分别为 6 1862， 6 1893， 6 1831，即 从交通指数在4，6)，6，8)，8，10的路段中分别抽取的个数为 2，3，1. (3)记抽取的 2 个轻度拥堵路段为 A1，A2，抽取的 3 个中度拥堵路
25、段为 B1，B2， B3，抽取的 1 个严重拥堵路段为 C1，则从这 6 个路段中抽取 2 个路段的所有可能 情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)， (A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)， 共 15 种，其中至少有 1 个路段为轻度拥堵的情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1， B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共 9 种. 所以所抽取的 2 个路段中至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率为 9 15 3 5.