1、第十章第十章 概率概率 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.若“AB”发生(A，B 中至少有一个发生)的概率为 0.6，则A ，B 同时发生的概率为( ) A.0.6 B.0.36 C.0.24 D.0.4 解析 “AB”发生指 A，B 中至少有一个发生，它的对立事件为 A，B 都不发生，即A ，B 同 时发生. 答案 D 2.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有多少种( ) A.3 B.4 C.6 D.12 解析 用 1，2，3 分别表示
2、这三册小说，排序有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)， (3，1，2)，(3，2，1)共 6 种. 答案 C 3.一个骰子连续投 2 次，点数和为 i(i2，3，12)的概率记作 Pi，则 Pi的最大值是( ) A. 1 12 B.1 6 C.1 4 D.1 3 解析 样本点是 (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)； (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)； (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)； (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)
3、； (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)； (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， 共有 36 个.其中两数之和等于 7 的有 6 个，两数之和等于其余数字的都少于 6 个，故 P7 6 36 1 6最大. 答案 B 4.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 解析 由互斥事件的定义可得“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件. 答案 A 5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45， 既用
4、现金支付也用非现金支付的概率为0.15， 则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析 设“只用现金支付”为事件 A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件 B，“不用现 金支付”为事件 C，则 P(C)1P(A)P(B)10.450.150.4.故选 B. 答案 B 6.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为2 3和 3 4，两个零件是否加工为一等 品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.1 2 B. 5 12 C.1 4 D.1 6 解析 所求概率为 p2 3 1 4 1 3 3 4 5 12或 p1 2 3 3 4 1
5、 3 1 4 5 12. 答案 B 7.有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2 支不 同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D.1 5 解析 选取两支彩笔的方法有 10 种，含有红色彩笔的选法为 4 种，由古典概型公式，满足题 意的概率 p 4 10 2 5. 答案 C 8.从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的 第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. 1 10 B. 1 5 C. 3 10 D. 2
6、5 解析 如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数 1 2 3 4 5 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) 总计有 25 种情况，满足条件的有 10 种，所以所求概率为10 25 2 5. 答案 D 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项
7、中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.“今天北京的降雨概率是 80%，上海的降雨概率是 20%”，下列说法正确的是( ) A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B.上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C.上京和上海都可能没降雨 D.北京降雨的可能性比上海大 解析 概率表示某个随机事件发生的可能性大小，因此 BCD 正确，A 错误. 答案 BCD 10.有 5 件产品，其中 3 件正品，2 件次品，从中任取 2 件，则互斥的两个事件是( ) A.至少有 1 件次品与至多有 1 件正品 B.至少有 1 件次品与都是正品 C.至少有 1
8、件次品与至少有 1 件正品 D.恰有 1 件次品与恰有 2 件正品 解析 对于 A，至少有 1 件次品与至多有 1 件正品，都包含着“一件正品，一件次品”，所以 不是互斥事件，故 A 不正确；对于 B，至少有 1 件次品包含着“一件正品一件次品”“两件 次品”，与“两件都是正品”是对立事件，故 B 正确；对于 C，至少有 1 件次品与至少有 1 件正品都包含着“一件正品，一件次品”，所以不是互斥事件，故 C 不正确；对于 D，恰有 1 件次品与恰有 2 件正品是互斥而不对立事件，故 D 项正确. 答案 BD 11.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取 3 次，则下列事件
9、的 概率不为8 9的是( ) A.颜色相同 B.颜色不全同 C.颜色全不同 D.无红球 解析 有放回地取球 3 次，共 27 种可能结果，其中颜色相同的结果有 3 种，其概率为 3 27 1 9； 颜色不全同的结果有 24 种，其概率为24 27 8 9；颜色全不同的结果有 6 种，其概率为 6 27 2 9；无 红球的结果有 8 种，其概率为 8 27. 答案 ACD 12.甲、乙两位同学各拿出 6 张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数 为奇数时甲得 1 分，否则乙得 1 分，先积得 3 分者获胜得所有 12 张游戏牌，并结束游戏.比赛 开始后，甲积 2 分，乙积 1 分
10、，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下 面对这 12 张游戏牌的分配不合理的是( ) A.甲得 9 张，乙得 3 张 B.甲得 6 张，乙得 6 张 C.甲得 8 张，乙得 4 张 D.甲得 10 张，乙得 2 张 解析 由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为1 2，即甲、乙每局得分的概率相等，所 以继续游戏甲获胜的概率是1 2 1 2 1 2 3 4，乙获胜的概率是 1 2 1 2 1 4.所以甲得到的游戏牌为 123 49(张)，乙得到的游戏牌为 12 1 43(张)，故选 BCD. 答案 BCD 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在
11、题中横线上) 13.一枚硬币连掷三次，事件 A 为“三次反面向上”，事件 B 为“恰有一次正面向上”，事件 C 为“至少两次正面向上”，则 P(A)P(B)P(C)_. 解析 事件 A，B，C 之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，所以 P(A)P(B) P(C)1. 答案 1 14.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A两次都击中飞机，B两次都没有击 中飞机，C恰有一次击中飞机，D至少有一次击中飞机.其中彼此互斥的事件是 _，互为对立事件的是_(本题第一空 3 分，第二空 2 分). 解析 事件“两次都击中飞机”发生，则 A 与 D 都发生. 事件“恰有一次击中飞机”发生，则
12、 C 与 D 都发生. A 与 B，A 与 C，B 与 C，B 与 D 都不可能同时发生，B 与 D 中必有一个发生. 答案 A 与 B，A 与 C，C 与 B，B 与 D B 与 D 15.同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题 分别得 100 分、100 分、200 分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的 概率分别为 0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于 300 分的 概率是_. 解析 设“同学甲答对第 i 个题”为事件 Ai(i1，2，3)，则 P(A1)0.8，P(A2)0.6，P(A3)
13、 0.5， 且 A1， A2， A3相互独立， 同学甲得分不低于 300 分对应于事件(A1A2A3)(A1A 2A3)(A 1A2A3) 发生，故所求概率为 PP(A1A2A3)(A1A 2A3)(A 1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A 2A3)P(A 1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A 2)P(A3)P(A 1)P(A2)P(A3)0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46. 答案 0.46 16.将号码分别为 1，2，9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相 同，甲从袋中摸出一个球.其号码为 a，放回后，乙从此袋中再摸
14、出一个球，其号码为 b，则使 不等式 a2b100 成立的事件发生的概率等于_. 解析 甲、乙两人每人摸出一个小球都有 9 种不同的结果，故样本点为(1，1)，(1，2)，(1， 3)，(9，7)，(9，8)，(9，9)，共 81 个.由不等式 a2b100 得 2ba10，于是，当 b 1，2，3，4，5 时，每种情形 a 可取 1，2，9 中每个值，使不等式成立，则共有 45 种； 当 b6 时，a 可取 3，4，9 中每个值，有 7 种；当 b7 时，a 可取 5，6，7，8，9 中每 个值，有 5 种；当 b8 时，a 可取 7，8，9 中每一个值，有 3 种；当 b9 时，a 只能取
15、 9， 有 1 种.于是，所求事件的概率为457531 81 61 81. 答案 61 81 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费 标准是每车每次租车时间不超过两小时的免费，超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元(不 足 1 小时的部分按 1 小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次). 设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为1 4， 1 2，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 1 2， 1 4；两人租车时间都不会超过四小时.
16、求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率. 解 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为1 4， 1 4. 设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件 A，则 P(A)1 4 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 5 16. 即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 5 16. 18.(12 分)随意安排甲、乙、丙 3 人在 3 天假期中值班，每人值班 1 天，则甲排在乙之前的概 率是多少？ 解 3 人值班所有可能的情况有： 甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共 6 个样本点. 记“甲排在乙之前”为事件 A， 则事件 A 包含的样本点有：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙，共 3 个
17、， 所以 P(A)3 6 1 2，即甲排在乙之前的概率为 1 2. 19.(12 分)若 5 张奖券中有 2 张是中奖的，先由甲抽 1 张，然后由乙抽 1 张，求： (1)甲中奖的概率 P(A)； (2)甲、乙都中奖的概率 P(B)； (3)只有乙中奖的概率 P(C)； (4)乙中奖的概率 P(D). 解 将 5 张奖券编号为 1，2，3，4，5，其中 4，5 为中奖奖券，用(x，y)表示甲抽到号码 x， 乙抽到号码 y，则可能的结果为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2， 5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(
18、4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5， 3)，(5，4)，共 20 种. (1)甲中奖包含 8 个样本点，P(A) 8 20 2 5. (2)甲、乙都中奖包含 2 个样本点，P(B) 2 20 1 10. (3)只有乙中奖包含 6 个样本点，P(C) 6 20 3 10. (4)乙中奖包含 8 个样本点，P(D) 8 20 2 5. 20.(12 分)在一个盒中装有 6 支圆珠笔，其中 3 支黑色，2 支蓝色，1 支红色，从中任取 3 支. (1)该试验的样本点共有多少个？若将 3 支黑色圆珠笔编号为 A，B，C，2 支蓝色圆珠笔编号为 d，e，1 支红色圆珠笔编号为
19、 x，用(a，b，c)表示样本点，试列举出该试验的所有样本点； (2)求恰有两支黑色的概率； (3)求至少 1 支蓝色的概率. 解 (1)该试验的所有样本点有(A，B，C)，(A，B，d)，(A，B，e)，(A，B，x)，(A，C，d)，(A， C，e)，(A，C，x)，(A，d，e)，(A，d，x)，(A，e，x)，(B，C，d)，(B，C，e)，(B，C，x)， (B，d，e)，(B，d，x)，(B，e，x)，(C，d，e)，(C，d，x)，(C，e，x)，(d，e，x)，共 20 种. (2)事件“恰有两支黑色”包含的样本点有(A，B，d)，(A，B，e)，(A，B，x)，(A，C，d)
20、，(A， C，e)，(A，C，x)，(B，C，d)，(B，C，e)，(B，C，x)，共 9 种，故恰有两支黑色的概率 p 9 20. (3)事件“没有蓝色”包含的样本点有(A，B，C)，(A，B，x)，(B，C，x)，(A，C，x)，共 4 个， 故至少有 1 支蓝色的概率 p1 4 20 4 5. 21.(12 分)某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家 庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是3 4，甲、丙两个家庭 都回答错的概率是 1 12，乙、丙两个家庭都回答对的概率是 1 4.若各家庭回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两个家
21、庭各自回答对这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答对这道题的概率. 解 (1)记“甲家庭答对这道题”、“乙家庭答对这道题”、“丙家庭答对这道题”分别为事 件 A，B，C，则 P(A)3 4，且有 即 1P（A） 1P（C） 1 12， P（B） P（C）1 4， 所以 P(B)3 8，P(C) 2 3. (2)有 0 个家庭回答对的概率为 p0P(A B C )P(A ) P(B ) P(C )1P(A)1P(B)1P(C)1 4 5 8 1 3 5 96， 有 1 个家庭回答对的概率为 p1P(AB C A BC A B C)3 4 5 8 1 3 1 4 3 8
22、 1 3 1 4 5 8 2 3 7 24， 所以不少于 2 个家庭回答对这道题的概率为 p1p0p11 5 96 7 24 21 32. 22.(12 分)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值， 记交通指数为 T，其范围为0，10，分别有五个级别：T0，2)，畅通；T2，4)，基本畅 通；T4，6)，轻度拥堵；T6，8)，中度拥堵；T8，10，严重拥堵.在晚高峰时段(T2)， 从某市交通指挥中心选取了市区 20 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图 如图所示. (1)求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段的个数； (2)用分层随机抽样的方法从轻
23、度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路段中共抽取 6 个路段，求依 次抽取的三个级别路段的个数； (3)从(2)中抽取的 6 个路段中任取 2 个，求至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率. 解 (1)由频率分布直方图得，这 20 个交通路段中， 轻度拥堵的路段有(0.10.2)1206(个)， 中度拥堵的路段有(0.250.2)1209(个)， 严重拥堵的路段有(0.10.05)1203(个). (2)由(1)知，拥堵路段共有 69318(个)，按分层随机抽样，从 18 个路段抽取 6 个，则抽 取的三个级别路段的个数分别为 6 1862， 6 1893， 6 1831，即从交通指数在4，6)，6， 8
24、)，8，10的路段中分别抽取的个数为 2，3，1. (3)记抽取的 2 个轻度拥堵路段为 A1，A2，抽取的 3 个中度拥堵路段为 B1，B2，B3，抽取的 1 个严重拥堵路段为 C1，则从这 6 个路段中抽取 2 个路段的所有可能情况为：(A1，A2)，(A1， B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1， B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共 15 种，其中至少有 1 个路段为轻度拥堵的 情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)， (A2，C1)，共 9 种. 所以所抽取的 2 个路段中至少有 1 个路段为轻度拥堵的概率为 9 15 3 5.