1、第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 章末复习课章末复习课 一、向量的线性运算 1向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以及平面向量的基本 定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性运算求参问题 2通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养 例 1 (1)已知向量 a(2,1)，b(3,4)，则 2ab 等于( ) A(7，2) B(1，2) C(1，3) D(7,2) 答案 A 解析 a(2,1)，b(3,4)， 2ab2(2,1)(3,4)(4,2)(3,4) (43,24)(7，2) (2)如图所示，已知六边形 ABCDEF 是一正六边形，O 是
2、它的中心，其中OA a，OB b，OC c，则EF 等于( ) Aab Bba Ccb Dbc 答案 D 解析 EF OA CB OB OC bc. 反思感悟 向量线性运算的基本原则 向量的加法、 减法和数乘运算统称为向量的线性运算， 向量的线性运算的结果仍是一个向量， 因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 跟踪训练 1 如图所示，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，若AC AM BD ，则 等于( ) A.4 3 B.5 3 C.15 8 D2 答案 B 解析 因为AC AM BD (AB BM )(BA AD ) AB 1 2AD (AB A
3、D ) ()AB 2 AD ， 且AC ABAD ，所以 1， 1 21， 解得 4 3， 1 3， 所以 5 3，故选 B. 二、向量的数量积运算 1平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的数量积判断两向 量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等 2通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养 例 2 (1)(多选)已知 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，(0，)，且 ab，则下列结 论正确的是( ) A B 2 C(ab)(ab) D|ab|ab| 答案 CD 解析 ab，a bcos cos sin sin0， 即 cos()0， ，(
4、0, )， 2，故 A，B 错误 又(ab) (ab)|a|2|b|2110， (ab)(ab)，故 C 正确 (ab)2a22a bb2a2b22， (ab)2a22a bb2a2b22，故 D 正确 (2)设四边形 ABCD 为平行四边形， |AB |6， |AD |4， 若点 M， N 满足BM 3MC ， DN 2NC ， 则AM NM _. 答案 9 解析 因为AM AB BM AB 3 4AD ， NM CM CN 1 4AD 1 3AB ， 所以AM NM 1 4(4AB 3AD ) 1 12(4AB 3AD ) 1 48(16AB 29AD2)1 48(166 2942)9.
5、反思感悟 (1)向量数量积的两种计算方法 当已知向量的模和夹角 时，可利用定义法求解，即 a b|a|b|cos ； 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a bx1x2 y1y2. (2)利用向量数量积可以解决以下问题 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)， abx1y2x2y10， abx1x2y1y20(a，b 均为非零向量)； 求向量的夹角和模的问题 设 a(x1，y1)，则|a|x21y21. 两向量夹角的余弦值(0，a，b 为非零向量) cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22 . 跟踪训练2 已知向量
6、AB 与AC的夹角为120 ， 且|AB|3， |AC|2.若APABAC， 且APBC， 则实数 的值为_ 答案 7 12 解析 由AP BC，知AP BC0， 即AP BC(ABAC) (ACAB) (1)AB ACAB2AC2 (1)32 1 2 940， 解得 7 12. 三、余弦定理、正弦定理 1主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判断三角形的形状、求三角形的面积，以及 余弦定理、正弦定理简单的综合应用 2借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算素养 例 3 在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，2b2(b2c2a2)(1tan A) (1)求角 C； (2)若
7、c2 10，D 为 BC 的中点，在下列两个条件中任选一个，求 AD 的长度 条件：ABC 的面积 S4 且 BA； 条件：cos B2 5 5 . 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分 解 (1)由题意及余弦定理，得 2b22bccos A (1tan A) bc(cos Asin A)， 由正弦定理可得 sin Bsin C(cos Asin A)， sin(AC)sin Ccos Asin Csin A， sin Acos Csin Csin A， 又 sin A0， tan C1，又 0C， 解得 C3 4 . (2)选择条件，cos B2 5 5 ， sin B 5 5 .
8、 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 10 10 ， 由正弦定理可得 acsin A sin C 2 2. 在ABD 中，由余弦定理可得 AD2AB2BD22ABBDcos B， 解得 AD 26. 答案不唯一 反思感悟 (1)通过正弦定理和余弦定理， 化边为角(如a2Rsin A， a2b2c22abcos C等)， 利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断此时注意一些常见的三角等式所体现 的内角关系，如在ABC 中，sin Asin BAB；sin(AB)0AB；sin 2Asin 2BA B 或 AB 2等 (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如 s
9、in A a 2R，cos A b2c2a2 2bc 等，通过代数变换 跟踪训练 3 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a2 3，A 3. (1)若 B 4，求 b； (2)求ABC 面积的最大值 解 (1)B 4，a2 3，A 3， 由正弦定理 a sin A b sin B， 可得 basin B sin A 2 3 2 2 3 2 2 2. (2)a2 3，A 3， 由余弦定理知 a2b2c22bccos Ab2c2bc2bcbcbc， bca212，当且仅当 bc 时取“”， ABC 面积的最大值为1 2bcsin A 1 212 3 2 3 3. 四、余
10、弦、正弦定理在实际问题中的应用 1余弦定理和正弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、 角度以及平面图形的面积等很多方面解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题 抽象为三角形的模型，然后利用定理求解注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行 检验 2将生活中的实际问题转化为三角形模型，提升逻辑推理和数学建模素养 例 4 为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向在 A，B 两点进行测量A，B，M， N 在同一个铅垂平面内(如图)飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离请设计一个方 案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写
11、出计算 M，N 间的距离的步骤 解 需要测量的数据有：A 观测 M，N 的俯角 1，1，B 观测 M，N 的俯角 2，2；A，B 间的距离 d(如图所示) 方法一 第一步：计算 AM.在ABM 中，由正弦定理得，AM dsin 2 sin12； 第二步：计算 AN.在ABN 中，由正弦定理得， AN dsin 2 sin21； 第三步：计算 MN.在AMN 中，由余弦定理得， MN AM2AN22AMANcos11. 方法二 第一步：计算 BM.在ABM 中，由正弦定理得， BM dsin 1 sin12； 第二步：计算 BN.在ABN 中，由正弦定理得， BN dsin 1 sin21； 第
12、三步：计算 MN.在BMN 中，由余弦定理得， MN BM2BN22BMBNcos22. 反思感悟 正弦、余弦定理在实际应用中应注意的问题 (1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图 (2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等 (3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与 未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形 (4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误 差的积累 跟踪训练 4 已知海岛 A 周围 8 海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛 A 在北偏东 75
13、 方向，航行 20 2海里后，见此岛在北偏东 30 方向，若货轮不改变航向继续前进，有无 触礁危险？ 解 如图所示，在ABC 中， 依题意得 BC20 2(海里)， ABC90 75 15 ， BAC60 ABC45 . 由正弦定理，得 AC sin 15 BC sin 45 ， 所以 AC20 2sin 15 sin 45 10( 6 2)(海里) 过点 A 作 ADBC 于点 D. 故 A 到航线的距离为 ADACsin 60 10( 6 2) 3 2 (15 25 6)(海里) 因为 15 25 68， 所以货轮无触礁危险 1(2020 新高考全国)若 D 为ABC 的边 AB 的中点，
14、则CB 等于( ) A2CD CA B2CA CD C2CD CA D2CA CD 答案 A 解析 如图所示， D 为ABC 的边 AB 的中点， CA CB2CD ， CB 2CD CA . 2(2019 全国)已知AB (2,3)，AC(3，t)，|BC|1，则AB BC等于( ) A3 B2 C2 D3 答案 C 解析 因为BC ACAB(1， t3)， 所以|BC| 1t321， 解得 t3， 所以BC(1,0)， 所以AB BC21302，故选 C. 3 (2018 全国)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若ABC 的面积为a 2b2c2 4 ， 则 C
15、等于( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 答案 C 解析 S1 2absin C a2b2c2 4 2abcos C 4 1 2abcos C， sin Ccos C，即 tan C1. 又C(0，)，C 4. 4(2020 全国)设 a，b 为单位向量，且|ab|1，则|ab|_. 答案 3 解析 将|ab|1 两边平方，得 a22a bb21. a2b21， 12a b11，即 2a b1. |ab| ab2 a22a bb2 111 3. 5(2019 全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，B 3，则 ABC 的面积为_ 答案 6 3 解析 方法一 因为 a2c， b6， B 3， 所以由余弦定理 b 2a2c22accos B， 得 62(2c)2 c222cccos 3， 解得 c2 3， 所以 a4 3， 所以ABC 的面积为 S 1 2acsin B 1 24 3 2 3sin 36 3. 方法二 因为 a2c，b6，B 3，所以由余弦定理 b 2a2c22accos B，得 62(2c)2c2 22cccos 3，解得 c2 3，所以 a4 3，所以 a 2b2c2，所以 A 2，所以ABC 的 面积为 S1 22 366 3.