1、第九章第九章 统计统计 章末复习课章末复习课 一、抽样方法的选取及应用 1抽样方法的适用范围：当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法；当总体容量 较大，样本容量较小时，可采用随机数法；当总体中个体差异较显著时，可采用分层随机抽 样 2掌握抽样方法，提升数据分析素养 例 1 (1)一个单位有职工 800 人，其中具有高级职称的 160 人，具有中级职称的 320 人，具 有初级职称的 200 人，其他人员 120 人为了解职工收入情况，决定采用分层随机抽样的方 法，从中抽取容量为 40 的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是( ) A12,24,15,9 B9,12,12,7 C8,1
2、5,12,5 D8,16,10,6 (2)某企业三月中旬生产 A，B，C 三种产品共 3 000 件，根据分层随机抽样的结果，企业统计 员制作了如下的表格： 产品类别 A B C 产品数量(件) 1 300 样本数量(件) 130 由于不小心，表格中 A，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A 产品的样本数 量比 C 产品的样本数量多 10，根据以上信息，可得 C 产品的数量是_ 答案 (1)D (2)800 解析 (1)由题意知， 各种职称的人数比为 1603202001204853， 所以抽取的具 有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为 40 4 208,40 8 20
3、16,40 5 20 10,40 3 206. (2)设C产品的样本数量为n， 则A产品的样本数量为n10， 由题意知nn10130 3 000 130 1 300， 解得 n80. 故 C 产品的数量为 80 130 1 300800. 反思感悟 分层随机抽样的特点是“按比例分配”，即每层中抽取的个体数 该层的个体数 样本容量 总体容量. 跟踪训练 1 (1)以下抽样方法是简单随机抽样的是( ) A在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号 码的后四位为 2709 的为三等奖 B某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其
4、重量是否 合格 C某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解对学校机构改革 的意见 D用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 (2)某校为了了解学生学习的情况， 采用分层随机抽样的方法从高一 1 000 人， 高二 1 200 人， 高三 n 人中抽取 81 人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为 30，那么 n 等于( ) A860 B720 C1 020 D1 040 答案 (1)D (2)D 解析 (1)选项 A，B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项 C 不是简 单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项 D 是简单随机抽
5、样 (2)分层随机抽样是按比例抽样的， 所以 81 1 200 1 0001 200n30，解得 n1 040. 二、用样本的取值规律估计总体的取值规律 1根据样本容量的大小，我们可以选择利用样本的频率分布表、频率分布直方图对总体情况 作出估计 2掌握频率分布直方图的绘制及应用，提升数据分析和数学运算素养 例 2 为了解高一年级学生的智力水平，某校按 110 的比例对 700 名高一学生按性别分别 进行“智力评分”抽样检查，测得“智力评分”的频数分布表如表 1、表 2. 表 1：男生“智力评分”频数分布表 智力评分(分) 160,165) 165,170) 170,175) 频数 2 5 14
6、 智力评分(分) 175,180) 180,185) 185,190 频数 13 4 2 表 2：女生“智力评分”频数分布表 智力评分(分) 150,155) 155,160) 160,165) 频数 1 7 12 智力评分(分) 165,170) 170,175) 175,180 频数 6 3 1 (1)求高一年级的男生人数，并完成下面男生“智力评分”的频率分布直方图； (2)估计该校高一年级学生“智力评分”在165,175)内的人数 解 (1)样本中男生人数是 40，由抽样比例是 110 可得高一年级男生人数是 400， 男生“智力评分”的频率分布直方图如图所示 (2)样本中“智力评分”在
7、165,175)内的频数为 28， 所以估计该校高一年级学生“智力评分” 在165,175)内的学生人数为 2810280. 反思感悟 (1)绘制频率分布直方图时需注意的两点 制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正确 频率分布直方图的纵坐标是频率 组距，而不是频率 (2)与频率分布直方图计算有关的两个关系式 频率 组距组距频率 频数 样本容量频率，此关系式的变形为 频数 频率样本容量，样本容量频率频数 跟踪训练 2 某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2018 年度的消费情况进行统计， 发现消 费金额(单位：万元)都在区间0.3,0.9内，其频率分布直
8、方图如图所示 (1)直方图中的 a_； (2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为_ 答案 (1)3 (2)6 000 解析 (1)由 0.11.50.12.50.1a0.12.00.10.80.10.21，解得 a3. (2)消费金额在区间0.3,0.5)内的频率为0.1 1.50.1 2.50.4， 故在0.5,0.9内的频率为10.4 0.6. 因此，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为 0.610 0006 000. 三、样本的百分位数 1一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p%的数据小 于或等于这个值，且至少有(
9、100p)%的数据大于或等于这个值 2掌握百分位数的计算及应用，重点提升数据分析与数学运算的核心素养 例 3 欧洲联盟委员会和荷兰环境评估署公布了 2013 年全球主要 20 个国家和地区的二氧化 碳排放总量及人均二氧化碳排放量，结果如下表： 国家和 地区 排放总量 /千吨 人均排放量 /吨 国家和地区 排放总量 /千吨 人均排放量 /吨 中国 10 330 000 7.4 沙特阿拉伯 490 000 16.6 美国 5 300 000 16.6 巴西 480 000 2.0 欧盟 3 740 000 7.3 英国 480 000 7.5 印度 2 070 000 1.7 墨西哥 470 00
10、0 3.9 俄罗斯 1 800 000 12.6 伊朗 410 000 5.3 日本 1 360 000 10.7 澳大利亚 390 000 16.9 德国 840 000 10.2 意大利 390 000 6.4 韩国 630 000 12.7 法国 370 000 5.7 加拿大 550 000 15.7 南非 330 000 6.2 印度尼 西亚 510 000 2.6 波兰 320 000 8.5 则这些国家和地区人均二氧化碳排放量的四分位数是多少 解 把这 20 个国家和地区的人均二氧化碳排放量按从小到大的顺序排列 17,2.0,2.6,3.9,5.3,5.7,6.2,6.4,7.3
11、,7.4,7.5,8.5,10.2,10.7,12.6,12.7,15.7,16.6,16.6,16.9. 所以这 20 个数的 25%分位数为5.35.7 2 5.5. 所以 50%分位数为7.47.5 2 7.45. 所以 75%分位数为12.612.7 2 12.65. 所以这 20 个国家和地区的人均二氧化碳排放量的四分位数为 25%分位数 50%分位数 75%分位数 5.5 吨 7.45 吨 12.65 吨 反思感悟 计算一组 n 个数据的第 p 百分位数的一般步骤如下： 第 1 步，按从小到大排列原始数据 第 2 步，计算 inp%. 第 3 步，若 i 不是整数，而大于 i 的比
12、邻整数为 j，则第 p 百分位数为第 j 项数据；若 i 是整 数，则第 p 百分位数为第 i 项与第(i1)项数据的平均数 跟踪训练 3 某产品售后服务中心随机选取了 10 个工作日， 分别记录了每个工作日接到的客 户服务电话的数量(单位：次)： 63 38 25 42 56 48 53 39 28 47 则上述数据的 50%分位数为_ 答案 44.5 解析 把这组数据从小到大排序：25,28,38,39,42,47,48,53,56,63,1050%5. 所以 50%分位数为4247 2 89 2 44.5. 四、用样本的集中趋势、离散程度估计总体 1为了从整体上更好地把握总体规律，我们还
13、可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估 计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度 2 掌握样本数据的众数、 中位数、 平均数及方差的计算方法， 提升数据分析和数学运算素养 例 4 某工厂 36 名工人的年龄数据如下表： 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 01 40 10 36 19 27 28 34 02 44 11 31 20 43 29 39 03 40 12 38 21 41 30 43 04 41 13 39 22 37 31 38 05 33 14 43 23 24 32 42 06 40 15 45 24 42 33 53 07
14、 45 16 39 25 37 34 37 08 42 17 38 26 44 35 49 09 43 18 36 27 42 36 39 利用随机抽样法抽取容量为 9 的样本，其年龄数据为 44,40,36,43,36,37,44,43,37. (1)计算样本的平均数 x 和方差 s2； (2)36 名工人中年龄在 x s 与 x s 之间有多少人？所占的百分比是多少？(精确到 0.01%) 解 (1)由平均数公式知， x 444037 9 40， 由方差公式知，s21 9(4440) 2(4040)2(3740)2100 9 . (2)因为 s2100 9 ，s10 3 ， 所以 36 名
15、工人中年龄在 x s 和 x s 之间的人数等于年龄在区间37,43上的人数， 即 40,40,41，39，共 23 人 所以 36 名工人中年龄在 x s 和 x s 之间的人数所占的百分比为23 36100%63.89%. 反思感悟 通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准 差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计 (1)一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较 好的估计因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较 好地避免了极端情况 (2)若两组数据的平均数差别很大， 也可
16、以只比较平均数， 估计总体的平均水平， 从而作出判断 跟踪训练 4 某汽车租赁公司为了调查 A 型汽车与 B 型汽车的出租情况，现随机抽取这两种 车各 50 辆，分别统计每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表： A 型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 3 30 5 7 5 B 型汽车 出租天数 3 4 5 6 7 车辆数 10 10 15 10 5 (1)试根据上面的统计数据， 判断这两种车在某个星期内的出租天数的方差的大小关系(只需写 出结果)； (2)如果 A 型汽车与 B 型汽车每辆车每天出租获得的利润相同， 该公司需要购买一辆汽车， 请 你根据所学的统计知识，给出建议应
17、该购买哪一种车，并说明你的理由 解 (1)由数据的离散程度，可以看出 B 型汽车在某个星期内出租天数的方差较大 (2)50 辆 A 型汽车出租天数的平均数为 xA33430556775 50 4.62， 50 辆 B 型汽车出租天数的平均数为 xB31041051561075 50 4.8， 答案一：一辆 A 型汽车在某个星期内出租天数的平均值为 4.62，B 型汽车在某个星期内出租 天数的平均值为 4.8，选择 B 型汽车的出租车的利润较大，应该购买 B 型汽车 答案二：一辆 A 型汽车在某个星期内出租天数的平均值为 4.62，B 型汽车在某个星期内出租 天数的平均值为 4.8，而 B 型汽
18、车出租天数的方差较大，所以应该购买 A 型汽车 1(2019 全国)演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时， 从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原 始评分相比，不变的数字特征是( ) A中位数 B平均数 C方差 D极差 答案 A 解析 记 9 个原始评分分别为 a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知 e 为 7 个有效评分与 9 个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选 A. 2(2020 天津)从一批零件中抽取 80 个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为
19、 9 组： 5.31,5.33)，5.33,5.35)，5.45,5.47)，5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则 在被抽取的零件中，直径落在区间5.43,5.47内的个数为( ) A10 B18 C20 D36 答案 B 解析 因为直径落在区间5.43,5.47内的频率为 0.02(6.255.00)0.225， 所以个数为 0.2258018. 3(2019 全国)西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称 为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学
20、生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅读过西游记 的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( ) A0.5 B0.6 C0.7 D0.8 答案 C 解析 根据题意阅读过红楼梦 西游记的人数用韦恩图表示如下： 所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 70 1000.7. 4(2018 全国)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番为 更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入 构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是( ) A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收
21、入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 答案 A 解析 设新农村建设前，农村的经济收入为 a，则新农村建设后，农村的经济收入为 2a.新农 村建设前后，各项收入的对比如下表： 新农村建设前 新农村建设后 新农村建设后 变化情况 结论 种植收入 60%a 37%2a74%a 增加 A 错 其他收入 4%a 5%2a10%a 增加了一倍以上 B 对 养殖收入 30%a 30%2a60%a 增加了一倍 C 对 养殖收入 第三产业收入 (30%6%)a 36%a (30%28%)2a 116%a 超过经济收入 2a 的一半 D 对 故选 A. 5(2017 江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验， 则应从丙种型号的产品中抽取_件 答案 18 解析 样本容量 总体个数 60 200400300100 3 50. 应从丙种型号的产品中抽取 3 5030018(件)