1、第七章第七章 复数复数 章末复习课章末复习课 一、复数的概念 1复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等有关复数的题 目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答 2掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养 例 1 已知 zlg(m22m2)(m23m2)i，试求实数 m 的取值，使(1)z 是纯虚数；(2)z 是 实数；(3)z 在复平面内对应的点位于第二象限 解 (1)由 lgm22m20， m23m20， 得 m3. 当 m3 时，z 是纯虚数 (2)由 m22m20， m23m20， 得 m1 或 m2. 当 m1 或 m2 时，z 是实数 (3)由 lgm22m20
2、， 得1m1 3或 1 3m3. 当1m1 3或 1 3m3 时，复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限 反思感悟 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是 abi(a，bR)的形式时，要通过变形化为 abi 的形式，以便确定其实部和 虚部 (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根 跟踪训练 1 (1)若复数 z1i(i 为虚数单位)，z 是 z 的共轭复数， 则 z2 z 2的虚部为( ) A0 B1 C1 D2 答案 A 解析 因为 z1i，所以 z 1i， 所以 z2 z 2(1i)2(1i)22i(2i)0. (2)已知 z1m23mm2i，z24(5m
3、6)i，其中 m 为实数，i 为虚数单位，若 z1z20， 则 m 的值为( ) A4 B1 C6 D1 或 6 答案 B 解析 由题意可得 z1z2， 即 m23mm2i4(5m6)i， 根据两个复数相等的充要条件可得 m23m4， m25m6， 解得 m1. 二、复数的几何意义 1 复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型， 解答此类问题的关键是利用复数 运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题 2通过复数几何意义的学习，培养直观想象素养 例 2 (1)已知复数 z11 2 3 2 i，z21 2 3 2 i，则 zz1 z2在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二
4、象限 C第三象限 D第四象限 答案 D 解析 因为 z11 2 3 2 i，z21 2 3 2 i， 所以 z 1 2 3 2 i 1 2 3 2 i 1 3i 1 3i 1 3i1 3i 1 3i1 3i 1 2 3 2 i， 所以复数 z 在复平面内对应的点为 1 2， 3 2 ， 在第四象限故选 D. (2)已知复数 z123i，z2abi，z314i，它们在复平面内所对应的点分别为 A，B，C. 若 O 为原点，且OC 2OA OB ，则 a_，b_. 答案 3 10 解析 OC 2OA OB ， 14i2(23i)(abi)， 即 14a， 46b， a3， b10. 反思感悟 在复
5、平面内确定复数对应的点的步骤 (1)由复数确定有序实数对，即 zabi(a，bR)确定有序实数对(a，b) (2)由有序实数对(a，b)确定复平面内的点 Z(a，b) 跟踪训练 2 复数 z 满足|z3 3i| 3，求|z|的最大值和最小值 解 |z3 3i| 3表示以3 3i 对应的点 P 为圆心，以 3为半径的圆，如图所示， 则|OP|3 3i| 122 3， 显然|z|max|OA|OP| 33 3， |z|min|OB|OP| 3 3. 三、复数的四则运算 1复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数 的乘法和除法运算为主 2借助复数运算的学习，提升
6、数学运算素养 例 3 计算： (1) 22i 1i2 2 1i 2 020； (2)(4i5)(62i7)(7i11)(43i) 解 (1) 22i 1i2 2 1i 2 02022i 2i 2 2i 1 010 i(1i) 1 i 1 0101i(i)1 010 1i12i. (2)原式(4i)(62i)(7i)(43i) 2214i2525i4739i. 反思感悟 进行复数代数运算的策略 (1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算 复数的加、减运算类似于实数中的多项式的加、减运算(合并同类项) 复数的乘、除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意 i 的幂的性质，区分(ab
7、i)2 a22abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同 乘分母的共轭复数)，此时要注意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)(ab)a2b2. (2)复数的四则运算中含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别 合并即可，但要注意把 i 的幂写成最简单的形式 (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化 跟踪训练 3 (1)复数 z 满足 z( z 1)1i，其中 i 是虚数单位，则 z 等于( ) A1i 或2i Bi 或 1i Ci 或1i D1i 或2i 答案 C 解析 设 zabi(a，bR)， 由 z( z 1
8、)1i，得 a2b2abi1i， 所以 b1，a2a11，所以 a0 或 a1. 故 zi 或 z1i. (2)已知 z1i 2 ，则 z100z501 的值为( ) Ai Bi C1i D1i 答案 B 解析 因为(1i)212ii22i， 所以 z100z501 1i 2 100 1i 2 501 1 2 100(1i)100 1 2 50(1i)501 1 250(2i) 501 225(2i) 251 i50i251i2i1i. 1(2020 新高考全国) 2i 12i等于( ) A1 B1 Ci Di 答案 D 解析 2i 12i 2i12i 12i12i 5i 5 i. 2(201
9、7 全国)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) Ai(1i)2 Bi2(1i) C(1i)2 Di(1i) 答案 C 解析 A 项，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是纯虚数； B 项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数； C 项，(1i)212ii22i，是纯虚数； D 项，i(1i)ii21i，不是纯虚数 3(2019 全国)设复数 z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则( ) A(x1)2y21 B(x1)2y21 Cx2(y1)21 Dx2(y1)21 答案 C 解析 z 在复平面内对应的点为(x，y)， zxyi(x，yR) |zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21. 4(2020 全国)若 z1i，则|z22z|等于( ) A0 B1 C. 2 D2 答案 D 解析 方法一 z22z(1i)22(1i)2， |z22z|2|2. 方法二 |z22z|(1i)22(1i)| |(1i)(1i)|1i| |1i|2. 5(2020 江苏)已知 i 是虚数单位，则复数 z(1i)(2i)的实部是_ 答案 3 解析 z(1i)(2i)2i2ii23i， 所以复数 z 的实部为 3.