1、第十章第十章 概率概率 章末复习课章末复习课 一、随机事件的概率 1通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性了解概率的意义及频率与 概率的区别 2掌握随机事件概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养 例 1 随机抽取一个年份，对某市今年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1
2、)在 4 月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率； (2)该市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天的运动会，估计运动会期间不下雨的 概率 解 (1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份任选一天，该 市不下雨的概率为 P26 30 13 15. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如， 1 日与 2 日， 2 日与 3 日等)， 这样， 在 4 月份中， 前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨 的频率为7 8， 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为7 8. 反思感悟 (1)频率是概率的
3、近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 (2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在实验前已经确定，与试验无关，可以用频率估 计概率 跟踪训练 1 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (
4、3)电影公司为增加投资回报， 拟改变投资策略， 这将导致不同类型电影的好评率发生变化 假 设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化， 那么哪类电影的好评率增加 0.1， 哪类电影的 好评率减少 0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写 出结论)? 解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是 140503002008005102 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.2550. 故所求概率为 50 2 0000.025. (2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是 1400.4500.23000.152000.258000.25100.1 5610
5、455016051 372. 故所求概率估计为 1 372 2 0000.814. (3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率 二、互斥事件、对立事件与相互独立事件 1互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要 求二者必须有一个发生因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对 立事件是互斥事件的特殊情况 2若事件 A，B 满足 P(AB)P(A)P(B)，则事件 A，B 相互独立，且当 A 与 B 相互独立时，A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也相互独立 3掌握互斥事件和对立事件的概率公式、相互独立事件的判断方法及应用，提升逻
6、辑推理和 数学运算素养 例 2 (1)把标有 1,2 的两张卡片随机地分给甲、 乙， 把标有 3,4 的两张卡片随机地分给丙、 丁， 每人一张，事件“甲得 1 号纸片”与“丙得 4 号纸片”是( ) A互斥但非对立事件 B对立事件 C相互独立事件 D以上答案都不对 答案 C 解析 相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因此它们不可能互斥 (2)从 1,2,3，7 这 7 个数中任取两个数，其中： 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是偶数； 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中，是对立事件的是( ) A B C D 答案
7、 C 解析 中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从 17 中任取两个数， 根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶 数”， 故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件， 易知其余都不是对立事件 反思感悟 事件间的关系的判断方法 (1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从 而断定所给事件间的关系 (2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事 件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对 立事件的基本方法判断互斥事件、对
8、立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验 而言的，不能在多次试验中判断 (3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：直接法；看 P(AB)与 P(A) P(B)是否相等，若 相等，则 A，B 相互独立，否则不相互独立 跟踪训练 2 (1)若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A“甲站排头”与“乙站排头” B“甲站排头”与“乙不站排尾” C“甲站排头”与“乙站排尾” D“甲不站排头”与“乙不站排尾” 答案 A 解析 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件 (2)下列各对事件中为相互独立事件的有_(填序号) 甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生今
9、从甲、乙两组中各选一名同学参加 游园活动，“从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”； 一盒内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意取出一个，取出的是白球” 与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”； 一筐中有 6 个苹果和 3 个梨，“从中任意取出一个，取出的是苹果”与“把苹果再放回筐 中，再从筐中任意取出 1 个，取出的是梨” 答案 解析 判断两个事件 A，B 是否相互独立，可以看事件 A 的发生对事件 B 发生的概率是否有 影响，也可以用定义 P(AB)P(A)P(B)来判断 三、古典概型 1古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其
10、他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典 概型的两个基本特征，即有限性和等可能性在应用公式 P(A)m n时，关键在于正确理解试 验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数 n 和事件 A 的样本点个数 m. 2掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养 例 3 袋中装有除颜色外其他均相同的 6 个球，其中 4 个白球、2 个红球，从袋中任取两球， 求下列事件的概率 (1)A：取出的两球都是白球； (2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球 解 设 4 个白球的编号为 1,2,3,4,2 个红球的编号为 5,6.从袋中的 6 个球中任取 2 个球，样本 空间 (1,2)
11、，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)， (3,6)，(4,5)， (4,6)，(5,6)，共 15 个样本点，且每个样本点出现的可能性相同 (1)“从袋中的 6 个球中任取 2 球， 所取的 2 球全是白球”为事件 A， 则 A(1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,3)，(2,4)，(3,4)，共含有 6 个样本点所以 P(A) 6 15 2 5. (2)“从袋中的 6 个球中任取 2 球， 其中一个是白球， 另一个是红球”为事件 B， 则 B(1,5)， (1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5
12、)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共含有 8 个样本点，所以 P(B) 8 15. 反思感悟 在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟 练运用图表和树状图，把样本点一一列出而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于 我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目 跟踪训练3 某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况， 数据如下表： (单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参
13、加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1未 被选中的概率 解 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人， 故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)， 所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P15 45 1 3. (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结果组成的样本空间 A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B
14、3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2， A5B3，共含 15 个样本点 根据题意这些样本点出现的可能性相等 事件“A1被选中且 B1未被选中”所包含的样本点有 A1B2，A1B3，共 2 个 所以其概率为 P 2 15. 四、相互独立事件概率的计算 1 相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查， 这类问题具有一个明显的特 征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相 互独立)，再选择相应的公式计算求解 2掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养 例 4 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答
15、问题者进入下一轮，否则被 淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为4 5， 3 5， 2 5，且各轮问题能否 正确回答互不影响 (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第二轮考核的概率 解 记“该选手正确回答第 i 轮问题”为事件 Ai(i1,2,3)，则 P(A1)4 5，P(A2) 3 5，P(A3) 2 5. (1)该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P( A3)4 5 3 5 12 5 36 125. (2)该选手至多进入第二轮考核的概率为 P( A1A1A2)P( A1)P(A1)P( A2) 14 5 4
16、5 13 5 13 25. 反思感悟 解此类题的步骤如下 (1)标记事件 (2)判断事件的独立性 (3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立) (4)套用公式 跟踪训练 4 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内， 甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率 为 0.125. (1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率； (2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率 解 记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件 A，B，C，则 A，B，C 两两 相互独立 (1)由题意得 P(AB)P(
17、A)P(B)0.05， P(AC)P(A)P(C)0.1， P(BC)P(B)P(C)0.125， P(A)0.2，P(B)0.25，P(C)0.5， 甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为 0.2,0.25,0.5. (2)A，B，C 两两相互独立， A ， B ， C 两两相互独立， 甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不需要照顾的概率为 P( A B C )P( A )P( B )P( C )0.80.750.50.3， 这一小时内至少有一台需要照顾的概率为 P1P( A B C )10.30.7. 1(2020 全国)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成
18、1 200 份 订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加 配货工作已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1 600 份的概 率为 0.05.志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的 配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者( ) A10 名 B18 名 C24 名 D32 名 答案 B 解析 由题意得，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，即第二天确保 完成新订单 1 600 份， 减去超市每天能完成的 1 200 份， 加上积压的 500 份， 共有 1 6001 2
19、00 500900(份)，故至少需要志愿者 900 5018(名) 2(2019 全国)我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 答案 0.98 解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为100.97200.98100.99 102010 0.98. 3(2019 全国)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队 获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客
20、主客主”设甲 队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_ 答案 0.18 解析 记事件 M 为甲队以 41 获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队 胜三场负一场，所以 P(M)0.6(0.620.5220.60.40.522)0.18. 4 (2020 全国)甲、 乙、 丙三位同学进行羽毛球比赛， 约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰； 比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛， 负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一 人被淘汰，另一人最
21、终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双 方获胜的概率都为1 2. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率 解 (1)甲连胜四场的概率为 1 16. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为 1 16；乙连胜四场的概率为 1 16； 丙上场后连胜三场的概率为1 8. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1 1 16 1 16 1 8 3 4. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1 8； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种 情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 1 16， 1 8， 1 8. 因此丙最终获胜的概率为1 8 1 16 1 8 1 8 7 16.