1、第二课时第二课时 抛物线的方程及性质的应用抛物线的方程及性质的应用 课标要求 素养要求 1.了解抛物线的简单应用. 2.运用抛物线的方程及简单几何性质， 解决与抛物线有关的问题. 通过本节课进一步提升逻辑推理及数学 运算素养. 自主梳理 1.直线与抛物线的位置关系 直线 ykxb 与抛物线 y22px(p0)的交点个数决定于关于 x 的方程组 ykxb， y22px 解的个数，即二次方程 k2x22(kbp)xb20 解的个数. 当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有两个不同的公共点，此时直线与抛物线相 交；若 0，则直线与抛物线有一个公共点，此时直线与抛物线相切；若 0)的焦点 F 的直线交
2、抛物线于 A，B 两点，则称 AB 为抛 物线的焦点弦.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有： |AB|x1x2p，|AF|x1p 2. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切.() 提示 结合图象可知当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个公共点，此时 不相切. (2)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.() (3)由抛物线 y22px(p0)的图象可知，其上任意一点的横坐标的取值范围是 x0.() (4)抛物线的方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.() 2.已知直线 ykxk 及抛物线 y22px(p
3、0)，则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 答案 C 解析 因为直线 ykxkk(x1)，所以直线过点(1，0).又点(1，0)在抛物线 y2 2px 的内部.所以当 k0 时，直线与抛物线有一个公共点；当 k0，直线与抛 物线有两个公共点.故选 C. 3.过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若 x1x2 10，则弦 AB 的长度为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案 C 解析 设抛物线的焦点为 F(1，0)，则|AB|AF|BF|
4、x11x21x1x22 10212. 4.设 AB 为过抛物线 y22px (p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为_. 答案 2p 解析 当 AB 垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时 AB 为抛物线的通径，长度等 于 2p. 题型一 抛物线的焦点弦问题 【例 1】 已知抛物线方程为 y22px(p0)， 过此抛物线的焦点的直线与抛物线交 于 A，B 两点，且|AB|5 2p，求 AB 所在直线的方程. 解 由题意知焦点 F p 2，0 ，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若 ABx 轴，则|AB|2p0. 由根与系数的关系得 x1x2p2p k2. 所以|AB|x1p 2x2 p
5、 2x1x2p2p 2p k2 5 2p，解得 k 2. 所以 AB 所在直线的方程为 y2 xp 2 或 y2 xp 2 ， 即 2xyp0 或 2xyp0. 思维升华 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通 过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求 解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论. 【训练 1】 已知直线 l 经过抛物线 y26x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两 点. (1)若直线 l 的倾斜角为 60 ，求|AB|的值； (2)若|AB|9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离. 解 (1)
6、因为直线 l 的倾斜角为 60 ， 所以其斜率 ktan 60 3， 又 F 3 2，0 .所以直线 l 的方程为 y 3 x3 2 . 联立 y26x， y 3 x3 2 ， 消去 y 得 x25x9 40. 若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x25， 而|AB|AF|BF|x1p 2x2 p 2 x1x2p，|AB|538. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知 |AB|AF|BF|x1p 2x2 p 2 x1x2px1x239， 所以 x1x26，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3， 又准线方程是 x3 2， 所以中点 M 到准线的距离等于
7、 33 2 9 2. 题型二 与抛物线弦的中点有关的问题 【例 2】 过点 P(4，1)作抛物线 y28x 的弦 AB，弦 AB 恰被点 P 平分，求 AB 所在直线的方程及弦 AB 的长度. 解 法一 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 y218x1，y228x2， 两式相减，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2). P 是 AB 的中点，x1x28，y1y22， 则 ky 2y1 x2x1 8 y1y24， 所求直线 AB 的方程为 y14(x4)， 即 4xy150. 由 4xy150， y28x 消 x 整理得 y22y300， 则 y1y22，y1y230. 由弦长公式
8、得|AB|1 1 k2|y1y2| 1 1 k2 （y1y2） 24y1y2 527 2 . 法二 由题意知 AB 所在直线的斜率存在且不为 0. 设 AB 所在直线的方程为 yk(x4)1(k0)， 由 yk（x4）1， y28x 消 x 整理得 ky28y32k80. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y28 k， P 是 AB 的中点，y 1y2 2 1，8 k2，k4. 所求直线 AB 的方程为 4xy150. 由 4xy150， y28x 消 y 整理得 y22y300， 则 y1y22，y1y230， 由弦长公式得|AB|1 1 k2|y1y2| 1 1 k2 （y1
9、y2） 24y1y2 527 2 . 思维升华 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的 关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.注意：涉及弦的中点、斜率时一般用 “点差法”求解. 【训练 2】 (1)已知直线 l 与抛物线 y28x 交于 A，B 两点，且 l 经过抛物线的焦 点 F，A 点的坐标为(8，8)，则线段 AB 的中点到准线的距离是( ) A.25 4 B.25 2 C.25 8 D.25 (2)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点， 焦点为 F(1， 0).直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点，若 AB 的中点为(2，2)，则抛物线的方程为_，直线 l
10、 的方程为 _. 答案 (1)A (2)y24x xy0 解析 (1)由题意知，抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线 l 过焦点 F， 所以 kl80 82 4 3，所以直线 l 的方程为 y 4 3(x2). 由 y4 3（x2）， y28x 得 B 点的坐标为 1 2，2 . 所以|AB|AF|BF|2821 2 25 2 . 所以 AB 的中点到准线的距离为25 4 . (2)由题意知抛物线的方程为 y24x， 设直线 l 与抛物线 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 y 2 14x1， y224x2，且 x1x2， 两式相减得，y21y224(x1x2)， 因为 A
11、B 的中点为(2，2)，所以 y1y24，所以y 1y2 x1x2 4 y1y21， 所以直线 l 的方程为 y2x2，即 xy0. 题型三 抛物线中的综合问题 【例 3】 已知过点 A(4，0)的动直线 l 与抛物线 G：x22py(p0)相交于 B，C 两点.当直线 l 的斜率是1 2时，AC 4AB. (1)求抛物线 G 的方程； (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围. 解 (1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)， 由题意知直线 l 的方程为 x2y4. 由 x 22py， x2y4 得 2y2(8p)y80， y 1y24， y1y28p 2
12、， 又AC 4AB，(x 24，y2)4(x14，y1)， y24y1. 由，及 p0， 得：y11，y24，p2， 则抛物线 G 的方程为 x24y. (2)由题意设 l：yk(x4)(k0)，BC 的中点坐标为(x0，y0)， 由 x 24y， yk（x4）得 x 24kx16k0, x0 x CxB 2 2k，y0k(x04)2k24k. 线段 BC 的中垂线方程为 y2k24k1 k(x2k)， 线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b2k24k22(k1)2. 对于方程， 由 16k264k0 得：k0 或 k4. b(2，). 思维升华 1.求解范围问题的方法 求范围问题的关键
13、是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域 确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围. 2.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 【训练 3】 如图，过抛物线 y2x 上一点 A(4，2)作倾斜角互补的两条直线 AB， AC 交抛物线于 B，C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值. 证明 设 kABk(k0)， 直线 AB，AC 的倾斜角互补， kACk(k0)， 直线 AB 的方程是 yk(x4)2. 由方程组 yk（x4）2， y2x 消去 y 后，整理得 k2x
14、2(8k24k1)x16k216k40. A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解， 4 xB16k 216k4 k2 ，即 xB4k 24k1 k2 . 以k 代换 xB中的 k，得 xC4k 24k1 k2 ， kBCy ByC xBxC k（xB4）2k（xC4）2 xBxC k（x BxC8） xBxC k 8k22 k2 8 8k k2 1 4. 所以直线 BC 的斜率为定值. 1.相交弦的两类问题 直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦. 解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直 线方程与抛物线方程联立，转化为关于 x 或 y 的一元二次方程，然后利用根与系 数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用. 2.两种思路三类题型 解决有关抛物线的最值问题时，一种思路是合理转化，数形结合求解；另一种思 路是代数法，转化为求二次函数的最值.常见的题型有： (1)曲线上的点到直线的距离的最值问题； (2)过定点的弦长的最值问题； (3)三角形 面积的最值问题.