1、3.3 抛物线抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 课标要求 素养要求 1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程. 2.明确抛物线方程中参数 p 的几何意义. 3.会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关 问题. 通过研究抛物线的定义、图形 及标准方程，进一步提升数学 抽象及数学运算素养. 自主梳理 1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线.点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线. (1)抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”；“一动”即一个动点，设 为 M；“二定”包括一个定点 F，即
2、抛物线的焦点，和一条定直线 l，即抛物线的 准线；一相等，即|MF|d(d 为 M 到准线 l 的距离). (2)定义中，要注意强调定点 F 不在定直线 l 上.当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是 过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线. 2.抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y22px(p0) p 2，0 xp 2 y22px(p0) p 2，0 xp 2 x22py(p0) 0，p 2 yp 2 x22py(p0) 0，p 2 yp 2 抛物线标准方程中参数 p 的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离，所以 p 的值 永远大于 0，当抛物线标准方程中一次项
3、的系数为负值时，不要出现 p0)的焦点与椭圆x 2 6 y 2 2 1 的右焦点重合，则 p 的值为 _. 答案 4 解析 椭圆x 2 6 y2 21 的右焦点为(2，0)，所以抛物线 y 22px(p0)的焦点为(2， 0)，则 p4. 题型一 抛物线的定义及应用 【例 1】 (1)已知抛物线 C： y2x 的焦点为 F， A(x0， y0)是 C 上一点，|AF|5 4x0， 则 x0等于( ) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)若点 P 到点 F(4，0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1，则 P 点的轨迹方 程是( ) A.y216x B.y232x C.y216x D.y23
4、2 答案 (1)A (2)C 解析 (1)由题意，知抛物线的准线方程为 x1 4. 因为|AF|5 4x0，根据抛物线的定义，得 x01 4|AF| 5 4x0，所以 x01，故选 A. (2)点 P 到点(4，0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1， 点 P 到直线 x4 的距离等于它到点(4，0)的距离. 根据抛物线的定义，可知 P 点的轨迹是以点(4，0)为焦点. 以直线 x4 为准线的抛物线. 设抛物线方程为 y22px(p0)，可得p 24，得 2p16， 抛物线的标准方程为 y216x， 即 P 点的轨迹方程为 y216x，故选 C. 思维升华 依据抛物线定义可以实现点线距离与
5、两点距离的转化. 【训练 1】 (1)抛物线 x24y 上的点 P 到焦点的距离是 10，则 P 点的坐标为 _. (2)已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点 A(0，2)的距离与 P 到该 抛物线的准线的距离之和的最小值为( ) A. 17 2 B.2 C. 5 D.9 2 答案 (1)(6，9)或(6，9) (2)A 解析 (1)设点 P(x0，y0)，由抛物线方程 x24y， 知焦点坐标为(0，1)，准线方程为 y1. 由抛物线的定义，得|PF|y0110， 所以 y09，代入抛物线方程得 x0 6. P 点坐标为( 6，9). (2)如图，由抛物线定义知|PA|
6、PQ|PA|PF|， 则所求距离之和的最小值转化为求|PA|PF|的最小值， 则当 A，P，F 三点共线且 P 在 A，F 中间时，|PA|PF|取得最 小值. 又 A(0，2)，F 1 2，0 ， (|PA|PF|)min|AF| 01 2 2 （20）2 17 2 . 题型二 求抛物线的标准方程 【例 2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(2，0)； (2)准线为 y1； (3)过点 A(2，3)； (4)焦点到准线的距离为5 2. 解 (1)由于焦点在 x 轴的负半轴上，且p 22， p4， 抛物线的标准方程为 y28x. (2)焦点在 y 轴正半轴上，且p 21，
7、 p2， 抛物线的标准方程为 x24y. (3)由题意，抛物线方程可设为 y2mx(m0)或 x2ny(n0)， 将点 A(2，3)的坐标代入，得 32m 2 或 22n 3， m9 2或 n 4 3. 所求抛物线的标准方程为 y29 2x 或 x 24 3y. (4)由焦点到准线的距离为5 2，可知 p 5 2. 所求抛物线的标准方程为 y25x 或 y25x 或 x25y 或 x25y. 思维升华 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则 可设出抛物线的标准方程，求出 p 值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情 况讨论.焦点在 x 轴上的抛物线方程可设为 y2ax(
8、a0)，焦点在 y 轴上的抛物线 方程可设为 x2ay(a0). 【训练 2】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3，4)； (2)焦点在直线 x3y150 上. 解 (1)法一 点(3，4)在第四象限， 设抛物线的标准方程为 y22px (p0)或 x22p1y (p10). 把点(3，4)的坐标分别代入 y22px 和 x22p1y， 得(4)22p 3，322p1 (4)， 即 2p16 3 ，2p19 4. 所求抛物线的标准方程为 y216 3 x 或 x29 4y. 法二 抛物线的方程可设为 y2ax (a0)或 x2by (b0). 把点(3，4)分别代入，可得
9、a16 3 ，b9 4. 所求抛物线的标准方程为 y216 3 x 或 x29 4y. (2)令 x0 得 y5；令 y0 得 x15. 抛物线的焦点为(0，5)或(15，0). 所求抛物线的标准方程为 x220y 或 y260 x. 题型三 抛物线的实际应用问题 【例 3】 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一 小船宽 4 m，高 2 m，载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，问：水面上涨到与 抛物线拱桥拱顶相距多少 m 时，小船开始不能通航？ 解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直 线为x轴， 建立平面直角坐标系.设抛物线方程为 x22
10、py(p0)， 由题意可知，点 B(4，5)在抛物线上，故 p8 5，得 x 216 5 y. 当船面两侧和抛物线接触时， 船不能通航， 设此时船面宽为 AA， 则 A(2， yA)， 由 2216 5 yA， 得 yA5 4.又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m， 所以 h|yA|0.752(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距 2 m 时，小船 开始不能通航. 思维升华 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛 物线的标准方程进行求解. 【训练 3】 如图所示，一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为 抛物线形的隧道，已知拱口 AB 宽恰好是拱高 C
11、D 的 4 倍，若拱口 宽为 a m，求能使卡车通过的 a 的最小整数值. 解 以拱顶为原点，拱高所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面 直角坐标系. 则点 B 的坐标为 a 2， a 4 . 设抛物线方程为 x22py(p0)， 点 B 在抛物线上， a 2 2 2p a 4 ，解得 pa 2， 抛物线方程为 x2ay. 将点 E(0.8，y)代入抛物线方程，得 y0.64 a . 点 E 到拱底 AB 的距离为a 4|y| a 4 0.64 a 3. 当 a12 时， a 4 0.64 a 3， 且a 4 0.64 a 随 a 的增大而增大， a 的最小整数值为 13. 1.一个注意 抛物线的定义中不要忽略条件：点 F 不在直线 l 上. 2.四种标准方程 确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数 p，但由于标准方程有四 种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有 时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可 设为 y2mx (m0)，焦点在 y 轴上的抛物线标准方程可设为 x2my (m0).