1、3.2.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 第一课时第一课时 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 课标要求 素养要求 1.了解双曲线的简单几何性质. 2.能用双曲线的简单几何性质解决一些 简单问题. 通过研究双曲线的几何性质，提升数学 抽象及数学运算素养. 自主梳理 1.双曲线的几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 性 质 范围 xa 或 xa，yR ya 或 ya，xR 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标 A1(a，0)，A2(a，0) A1(0，a)，A2(0，a) 实轴和虚轴 线段 A1A2
2、叫做双曲线的实轴，实轴长2a；线段 B1B2叫做 双曲线的虚轴，虚轴长2b 焦点 ( a2b2，0) (0， a2b2) 焦距 |F1F2|2c 渐近线 y b ax y a bx 离心率 ec a，e(1，) (1)如果双曲线的方程确定，那么其渐近线的方程是唯一的，但如果双曲线的渐近 线确定， 那么其对应的双曲线有无数条， 具有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2 a2 y2 b2(0)，当 0 时，对应的双曲线焦点在 x 轴上，当 0，b0)的形状相同.() (2)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关.() 提示 等轴双曲线的渐近线方程是固定的，都是 y x.故错误. (3)离心率是 2的
3、双曲线为等轴双曲线.() (4)双曲线x 2 4 y2 91 的渐近线方程是 3x 2y0.() 2.双曲线 x2 16 y2 91 的离心率为( ) A.5 3 B.5 4 C.3 5 D.4 5 答案 B 解析 由双曲线方程，知 a4，b3，c a2b25，ec a 5 4. 3.中心在坐标原点，离心率为5 3的双曲线的焦点在 y 轴上，则它的渐近线方程为 ( ) A.y 5 4x B.y 4 5x C.y 4 3x D.y 3 4x 答案 D 解析 由题意知c a 5 3，设 c5t(t0)，则 a3t，b4t，故所求渐近线方程为 y a bx，即 y 3 4x. 4.双曲线x 2 4y
4、 21 的实轴长为_. 答案 4 解析 由双曲线方程，知 a2，故实轴长 2a4. 题型一 双曲线的几何性质 【例 1】 求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、 离心率和渐近线方程. 解 双曲线的方程化为标准方程是x 2 9 y2 41， a29，b24，a3，b2，c 13. 又双曲线的焦点在 x 轴上， 顶点坐标为(3，0)，(3，0)， 焦点坐标为( 13，0)，( 13，0)， 实轴长 2a6，虚轴长 2b4, 离心率 ec a 13 3 ， 渐近线方程为 y 2 3x. 【迁移】 求双曲线 nx2my2mn(m0， n0)的实半轴长、 虚半轴长、 焦点坐标
5、、 离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解 把方程 nx2my2mn(m0，n0)化为标准方程为x 2 m y2 n1(m0，n0)，由此 可知，实半轴长 a m， 虚半轴长 b n，c mn， 焦点坐标为( mn，0)，( mn，0)， 离心率 ec a mn m 1 n m， 顶点坐标为( m，0)，( m，0)， 渐近线方程为 y n mx，即 y mn m x. 思维升华 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值. (3)由 c2a2b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质. 【训练 1】
6、求双曲线 9y216x2144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心 率、渐近线方程. 解 把方程9y216x2144化为标准方程为y 2 42 x2 321.由此可知， 实半轴长a4， 虚半轴长 b3； c a2b2 42325，焦点坐标是(0，5)，(0，5)； 离心率 ec a 5 4；渐近线方程为 y 4 3x. 题型二 根据双曲线的几何性质求方程 【例 2】 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为13 5 ； (2)渐近线方程为 y 1 2x，且经过点 A(2，3). 解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13， 又c a 1
7、3 5 ，a5，b c2a212， 故其标准方程为 y2 25 x2 1441. (2)法一 双曲线的渐近线方程为 y 1 2x， 若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)，则 b a 1 2. A(2，3)在双曲线上， 4 a2 9 b21. 联立，无解. 若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0)，则 a b 1 2. A(2，3)在双曲线上， 9 a2 4 b21. 联立，解得 a28，b232. 所求双曲线的标准方程为y 2 8 x2 321. 法二 由双曲线的渐近线方程为 y 1 2x， 可设双曲线
8、方程为x 2 22y 2(0)， A(2，3)在双曲线上， 2 2 22(3) 2，即 8. 所求双曲线的标准方程为y 2 8 x2 321. 思维升华 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位 置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨 论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成 mx2ny21(mn0，4k0)， 双曲线过点(3 2，2)， （3 2） 2 16k 4 4k1， 解得 k4 或 k14(舍去). 所求双曲线的标准方程为 x2 12 y2 81. 题型三 求双曲线的离心率 【例 3】 (1)如果双曲线x 2 a2 y2 b21 右
9、支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相 等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是_. (2)设 F1， F2是双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的两个焦点， P 是 C 上一点， 若|PF1| |PF2|6a，且PF1F2的最小内角为 30 ，则双曲线 C 的离心率为_. 答案 (1)(2，) (2) 3 解析 (1)如图，因为|AO|AF|，F(c，0)， 所以 xAc 2. 又因为 A 在右支上且不在顶点处， 所以c 2a，所以 e c a2. 故双曲线离心率的取值范围为(2，). (2)不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，
10、所以|PF1|4a，|PF2|2a，又|F1F2|2c，则在PF1F2中，PF1F230 ， 由余弦定理得(2a)2(4a)2(2c)224a 2c cos 30 ， 整理得(e 3)20，所以 e 3. 思维升华 求双曲线离心率的三种方法： (1)若可求得 a，c，则直接利用 ec a求解. (2)若已知 a，b，可直接利用 e1 b a 2 求解. (3)若得到的是关于 a， c 的齐次方程 pc2q acr a20(p， q， r 为常数， 且 p0)， 则转化为关于 e 的方程 pe2q er0 求解. 【训练 3】 点 P 是双曲线 C1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)和圆
11、 C2：x 2y2a2b2 的 一个交点，且有 2PF1F2PF2F1，其中 F1，F2分别是双曲线 C1的左、右两个 焦点，求双曲线 C1的离心率. 解 圆的半径 r a2b2c， 圆过双曲线 C1的焦点，即 F1F2为圆的直径， F1PF290 . 又2PF1F2PF2F1， PF1F230 ，PF2F160 . 在 RtF1PF2中，|F1F2|2c，故|PF1| 3c，|PF2|c. 又点 P 在双曲线上，且在双曲线右支上， |PF1|PF2| 3cc2a， ec a 2 31 31. 1.一类特殊的直线双曲线的渐近线 渐近线是双曲线特有的性质；两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2 a2 y2 b21 (a0，b0)右边的常数 1 换为 0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程 ax by0 变 为 a2x2b2y2(0)，再结合其他条件求得 ，可得双曲线方程. 2.一类特殊的双曲线等轴双曲线 (1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线， 等轴双曲线的一般方程为x 2 a2 y2 a21 或y 2 a2 x2 a21(a0). (2)等轴双曲线的渐近线方程为 y x，离心率 e 2.