1、2.4.2 圆的一般方程圆的一般方程 课标要求 素养要求 1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一 般方程. 2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求 圆的方程. 通过推导圆的一般方程，进一步提 升数学抽象及数学运算素养. 自主梳理 1.圆的一般方程的定义 将方程 x2y2DxEyF0 的左边配方，并把常数项移到右边，得 xD 2 2 yE 2 2 D 2E24F 4 . (1)当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 叫做圆的一般方程，其圆心 为 D 2， E 2 ，半径为 D2E24F 2 . (2)当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 表示点 D 2， E 2 .
2、 (3)当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 不表示任何图形. (1)当 D2E24F0 时，方程表示一个点 D 2， E 2 ；当 D2E24F0 时，此方程才表示圆的方程. (3)若方程 x2y22xEy10 表示圆，则 E0.() (4)方程 x2y2x10 表示圆.() 提示 因为 D2E24F140，即 4(15m)0， 解得 m0 来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意 x2及 y2的系数. 【训练 1】 (1)若方程 2x22y22ax2ay0(a0)表示圆，则圆心坐标和半径 分别为_； (2)点 M， N 在圆 x2y2kx2y40 上， 且点 M， N 关于直
3、线 xy10 对称， 则该圆的面积为_. 答案 (1) a 2， a 2 ， 2|a| 2 (2)9 解析 (1)方程 2x22y22ax2ay0(a0)， 可化为 xa 2 2 ya 2 2 a 2 2 ， 故圆心坐标为 a 2， a 2 ，半径为 2|a| 2 . (2)圆 x2y2kx2y40 的圆心坐标是 k 2，1 ， 由圆的性质知直线 xy10 经过圆心， k 2110，得 k4， 圆 x2y24x2y40 的半径为1 2 4222163， 该圆的面积为 9. 题型二 求圆的一般方程 【例 2】 已知 A(2，2)，B(5，3)，C(3，1)，求ABC 外接圆的方程. 解 设ABC
4、 外接圆的方程为：x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 由题意得 2D2EF80， 5D3EF340， 3DEF100， 解得 D8， E2， F12. 即ABC 外接圆的方程为 x2y28x2y120. 思维升华 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0). (2)根据已知条件，建立关于 D，E，F 的方程组. (3)解此方程组，求出 D，E，F 的值. (4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. 【训练 2】 已知圆经过点(4，2)和(2，6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为 2，求圆的方程. 解 设
5、圆的一般方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0). 圆经过点(4，2)和(2，6)， 4D2EF200， 2D6EF400. 设圆在 x 轴上的截距为 x1，x2，则它们是方程 x2DxF0 的两个根，故 x1x2 D. 设圆在 y 轴上的截距为 y1，y2，则它们是方程 y2EyF0 的两个根，故 y1y2 E. 由已知，得D(E)2，即 DE20. 联立，解得 D2，E4，F20. 所求圆的方程为 x2y22x4y200. 题型三 求动点的轨迹方程 角度 1 直接法求轨迹方程 【例 31】 求到点 O(0，0)的距离是到点 A(3，0)的距离的1 2的点 M 的轨迹方程. 解 设点
6、M 的坐标是(x，y)，则|MO| |MA| 1 2. x2y2 （x3）2y2 1 2. 化简，得 x2y22x30，即所求轨迹方程为(x1)2y24. 角度 2 代入法求轨迹方程 【例 32】 已知点 P 在圆 C：x2y28x6y210 上运动，求线段 OP 的中 点 M 的轨迹方程. 解 设点 M(x，y)，点 P(x0，y0)， 则 xx0 2， yy0 2， x 02x， y02y. 点 P(x0，y0)在圆 C：x2y28x6y210 上， x20y208x06y0210. (2x)2(2y)282x62y210， 即点 M 的轨迹方程为 x2y24x3y21 4 0. 角度 3
7、 定义法求轨迹方程 【例 33】 已知直角ABC 的斜边为 AB，且 A(1，0)，B(3，0)，求直角顶 点 C 的轨迹方程. 解 法一 设顶点 C(x，y)，因为 ACBC，且 A，B，C 三点不共线，所以 x3， 且 x1. 又因为 kAC y x1，kBC y x3，且 kAC kBC1， 所以 y x1 y x31，化简，得 x 2y22x30. 所以直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(x3，且 x1). 法二 同法一，得 x3，且 x1. 由勾股定理，得|AC|2|BC|2|AB|2， 即(x1)2y2(x3)2y216， 化简得 x2y22x30. 所以直角顶点 C 的
8、轨迹方程为 x2y22x30(x3，且 x1). 法三 设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式，得 D(1，0). 由直角三角形的性质，知|CD|1 2|AB|2. 由圆的定义，知动点 C 的轨迹是以 D(1，0)为圆心，以 2 为半径长的圆(因为 A， B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点). 设 C(x，y)，则直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(x3，且 x1). 思维升华 求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件， 然后化简、证明. (2)定义法： 当动点的运动轨迹符合圆的定义时， 可利用定义写出动点的轨迹方程
9、. (3)代入法：若动点 P(x，y)依赖于某圆上的一个动点 Q(x1，y1)而运动，把 x1，y1 用 x，y 表示，再将 Q 点的坐标代入到已知圆的方程中，得点 P 的轨迹方程. 特别提醒 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排 除不合适的点. 【训练 3】 已知ABC 的边 AB 长为 4，若 BC 边上的中线为定长 3，求顶点 C 的轨迹方程. 解 以直线 AB 为 x 轴， AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系(如 图)，则点 A(2，0)，B(2，0)，设 C(x，y)，BC 中点 D(x0，y0). 2x 2 x0， 0y 2 y0. |AD|3，(x02
10、)2y209. 将代入，整理得(x6)2y236. 点 C 不能在 x 轴上，y0. 综上，点 C 的轨迹是以(6，0)为圆心，6 为半径的圆，去掉(12，0)和(0，0) 两点. 轨迹方程为(x6)2y236(y0). 1.三个特征圆的一般方程具有的三个特征 (1)x2，y2项的系数相等且为 1. (2)没有 xy 项. (3)D2E24F0. 2.一个联系圆的一般方程与标准方程的联系 (1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素，即圆心坐标和半径. (2)圆的一般方程表现出明显的代数结构形式， 圆心和半径需要代数运算才能得出. (3)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程，将 圆的一般方程配方即得标准方程. 特别提醒 对于方程 x2y2DxEyF0 表示圆的一般方程时要特别注意 D2 E24F0 这一条件.