1、3.2 双曲线双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 课标要求 素养要求 1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程. 2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运 用标准方程解决相关问题. 通过推导双曲线方程的过程，提升 逻辑推理素养；通过求解双曲线的 方程，提升数学运算素养. 自主梳理 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的 轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做双曲线的焦 距. (1)若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉，则点 M 的轨迹为双曲线的一支， 具体是哪一支，取决于|MF
2、1|与|MF2|的大小. (2)双曲线定义中的常数必须要大于 0 且小于|F1F2|. 若定义中的常数等于|F1F2|，此时动点轨迹是分别以 F1和 F2为端点的两条方向 相反的射线(包括端点). 若定义中的常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在. 若定义中的常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 焦点 F1(c，0)，F2(c，0) F1(0，c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|2c a，b，c 的关系 c2a2b2 (1)
3、双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指 双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴. (2)两种双曲线x 2 a2 y2 b21， y2 a2 x2 b21(a0，b0)的相同点是：它们的形状、大小都 相同，都有 a0，b0，a2b2c2；不同点是：两种双曲线的位置不同，它们的 焦点坐标也不同. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲 线.() 提示 必须是距离的差的绝对值才表示双曲线. (2)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.() 提示 平面内到点
4、F1(0，4)，F2(0，4)的距离之差等于 6 的点的轨迹为双曲线的 一支. (3)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)的距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双 曲线.() 提示 因为|PF1|PF2|8|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线. (4)若焦点在 x 轴上的双曲线方程为x 2 a2 y2 b21，则 a 2b2.() 提示 焦点跟着正项走，若焦点在 x 轴上，只要 x2的系数为正即可. 2.已知 F1(3，3)，F2(3，3)，动点 P 满足|PF1|PF2|4，则 P 点的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 答案 B 解析 因为|PF1
5、|PF2|4，且 4|F1F2|， 由双曲线定义知，P 点的轨迹是双曲线的一支. 3.已知双曲线的焦点为 F1(4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点 P 满足|PF1|PF2| 2，则双曲线的标准方程是( ) A. x2 15y 21 B.x2 y2 151 C.x2y 2 161 D. x2 16y 21 答案 B 解析 由题知 c4，a1，故 b215，所以双曲线的标准方程为 x2 y2 151. 4.已知双曲线x2y2m与椭圆2x23y272有相同的焦点， 则m的值为_. 答案 6 解析 椭圆方程为 x2 36 y2 241，c 2a2b2362412， 焦点 F1(2 3，0)，F2
6、(2 3，0). 双曲线x 2 m y2 m1 与椭圆有相同焦点， 2m12，m6. 题型一 双曲线定义的应用 【例 1】 (1)若双曲线 E：x 2 9 y2 161 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲 线 E 上，且|PF1|3，则|PF2|等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3 (2)设 F1， F2分别是双曲线 x2 y2 241 的左、 右焦点， P 是双曲线上的一点， 且 3|PF1| 4|PF2|，则PF1F2的面积等于( ) A.4 2 B.8 3 C.24 D.48 答案 (1)B (2)C 解析 (1)由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6， 即|3|
7、PF2|6，解得|PF2|9(负值舍去)，故选 B. (2)由题意，得 |PF 1|PF2|2， 3|PF1|4|PF2|， 解得 |PF 1|8， |PF2|6. 又由|F1F2|10，可得PF1F2是直角三角形， 则 SPF1F21 2 |PF1| |PF2|24. 思维升华 求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则 根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1| |PF2|2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应 该不小于 ca). 【训练 1】 在ABC 中，已知 A(2 2，0)，B(2 2，0)，且内角 A，
8、B，C 满 足 sin Bsin A1 2sin C，求顶点 C 的轨迹方程. 解 由 sin Bsin A1 2sin C 及正弦定理， 可得 bac 2， 从而有|CA|CB|1 2|AB|2 2 2). 题型二 求双曲线的标准方程 【例 2】 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程. (1)经过点 P 3，15 4 ，Q 16 3 ，5 ； (2)c 6，经过点(5，2)，焦点在 x 轴上. 解 (1)法一 若焦点在 x 轴上，则设双曲线的方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 由于点 P 3，15 4 和 Q 16 3 ，5 在双曲线上， 所以 9 a2 225 16b21，
9、256 9a2 25 b21， 解得 a 216， b29 (舍去). 若焦点在 y 轴上，则设双曲线的方程为y 2 a2 x2 b21(a0，b0)， 将 P，Q 两点坐标代入可得 225 16a2 9 b21， 25 a2 256 9b21， 解得 a 29， b216， 所以双曲线的标准方程为y 2 9 x2 161. 综上，双曲线的标准方程为y 2 9 x2 161. 法二 设双曲线方程为 mx2ny21(mn0，b0). 则有 a 2b26， 25 a2 4 b21， 解得 a 25， b21， 所求双曲线的标准方程为x 2 5y 21. 法二 焦点在 x 轴上，c 6， 设所求双曲
10、线方程为x 2 y2 61(其中 06). 双曲线经过点(5，2)， 25 4 61，5 或 30(舍去). 所求双曲线的标准方程是x 2 5y 21. 思维升华 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其 焦点位置设出标准方程，然后求出 a，b 的值.若焦点位置不确定，可按焦点在 x 轴和y轴上两种情况讨论求解， 此方法思路清晰， 但过程复杂.若双曲线过两定点， 可设其方程为 mx2ny21(mn0，b0)， 将点(4，2)和(2 6，2 2)代入方程得 16 a2 4 b21， 24 a2 8 b21， 解得 a28，b24， 所以双曲线的标准方程为x 2 8 y2 41
11、. 题型三 双曲线中的焦点三角形问题 【例 3】 如图，已知 F1，F2是双曲线x 2 9 y2 161 的两个焦点.若 P 是双曲线左支 上的点，且|PF1| |PF2|32，试求F1PF2的面积. 解 双曲线的标准方程为x 2 9 y2 161， 故 a3，b4，c a2b25. 将|PF2|PF1|2a6 两边平方得 |PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2|36， |PF1|2|PF2|2362|PF1| |PF2| 36232100.在F1PF2中， 由余弦定理得 cosF1PF2|PF 1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1| |PF2| 100100 232 0， 且
12、 0 F1PF2180 ， F1PF290 ， SF1PF21 2|PF1| |PF2| 1 23216. 思维升华 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条 件|PF1|PF2|2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公 式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用. 【训练 3】 已知双曲线x 2 9 y2 161 的左、右焦点分别是 F1，F2，若双曲线上一点 P 使得F1PF260 ，求F1PF2的面积. 解 由x 2 9 y2 161 得，a3，b4，c5. 由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|PF2| 6， |F1F2|2|PF1
13、|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60 ， 所以 102(|PF1|PF2|)2|PF1| |PF2|， 所以|PF1| |PF2|64， 所以 SF1PF21 2|PF1| |PF2| sinF1PF2 1 264 3 2 16 3. 1.两个提醒 (1)双曲线定义中|PF1|PF2|2a (2ab 不一定成立.要注意与椭圆中 a，b，c 的区别，在 椭圆中 a2b2c2，在双曲线中 c2a2b2. 2.一种方法待定系数法 用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程 后，由条件列出关于 a，b，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系 数法求方程或用形如 mx2ny21 (mn0)的形式求解.