1、2.4 圆的方程圆的方程 2.4.1 圆的标准方程圆的标准方程 课标要求 素养要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角 坐标系中，探索并掌握圆的标准方程. 2.会根据已知条件求圆的标准方程. 通过探索圆的标准方程并运用方程解决 问题，培养数学抽象及数学运算素养. 自主梳理 1.圆的定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆的标准方程 (1)当圆心在原点即 A(0，0)时，方程为 x2y2r2. (2)当圆心在原点即 A(0，0)，半径长 r1 时，方程为 x2y21，称为单位圆. (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径 是不变的. 3.点与圆
2、的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内.判断点与圆的位置关 系有两种方法： (1)几何法：将所给的点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 比较： 若|CM|r，则点 M 在圆上； 若|CM|r，则点 M 在圆外； 若|CM|r2； 点 M(m，n)在圆 C 内(ma)2(nb)2r2. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆.() 提示 当 m0 时，该方程表示点(a，b). (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.() (3)圆(x1)2(y2)24 的圆心坐标是(1，2)，半径是 4.() 提示 圆心坐标为(1，2)，半径为
3、2. (4)若圆的标准方程是(xm)2(yn)2a2(a0)，此时圆的半径一定是 a.() 提示 此时圆的半径为|a|. 2.经过点(2，2)，圆心为 C(1，1)的圆的方程是( ) A.(x1)2(y1)22 B.(x1)2(y1)22 C.(x1)2(y1)2 2 D.(x1)2(y1)2 2 答案 B 解析 圆的半径长 r（21）2（21）2 2，故圆的标准方程为(x1)2 (y1)22. 3.点 P(1，3)与以 A(2，1)为圆心，半径为 5 的圆的位置关系为( ) A.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 D.无法确定 答案 B 解析 |PA| （12）2（31）2 172 6. 点 P
4、 在圆外. 题型一 求圆的标准方程 角度 1 直接法求圆的标准方程 【例 11】 (1)与 y 轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为 _. (2)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x y0 的距离为4 5 5 ，则圆 C 的标准方程为_. 答案 (1)(x5)2(y3)225 (2)(x2)2y29 解析 (1)圆心坐标为(5，3)，又与 y 轴相切， 该圆的半径为 5， 该圆的标准方程为(x5)2(y3)225. (2)设圆心 C 的坐标为(a，0)(a0)， 由题意知，|2a| 5 4 5 5 ，解得 a2，C(2，0)， 则
5、圆 C 的半径为 r|CM|（20）2（0 5）23. 圆的标准方程为(x2)2y29. 角度 2 待定系数法求圆的标准方程 【例 12】 求经过点 P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线 2x3y10 上的 圆的标准方程. 解 法一 (待定系数法) 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 则 a 2b2r2， （1a）2（1b）2r2， 2a3b10， 解得 a4， b3， r5. 圆的标准方程是(x4)2(y3)225. 法二 (直接法) 由题意知，OP 是圆的弦，其垂直平分线方程为 xy10. 弦的垂直平分线过圆心， 由 2x3y10， xy10， 得 x4， y3， 即圆心坐标为(
6、4，3)， 半径为 r 42（3）25. 圆的标准方程是(x4)2(y3)225. 思维升华 1.用直接法求圆的标准方程的策略 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时， 要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. (2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面 几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点为圆心”等. 2.待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 【训练 1】 求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，1)，且过点(5，2)； (2)圆心在 y 轴上，半径长为 5，且过点(3，4)； (3)求过两点
7、C(1，1)和 D(1，3)，圆心在 x 轴上的圆的标准方程. 解 (1)圆心为 C(4，1)，且过点(5，2)， 半径 r （54）2（21）2 10， 圆的标准方程为(x4)2(y1)210. (2)设圆心为 C(0，b)，r （30）2（4b）25， (4b)21642，4b4 或 4b4， b0 或 b8， 圆的标准方程为 x2y225 或 x2(y8)225. (3)设圆心为 M(a，0)，|MC|MD|， (a1)2(01)2(a1)2(03)2， 即 a22a11a22a19， a2，r|MC| 10， 圆的标准方程为(x2)2y210. 题型二 点与圆的位置关系的判断 【例 2
8、】 已知点 A(1，2)不在圆 C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数 a 的 取值范围. 解 由题意，得点 A 在圆 C 上或圆 C 的外部， (1a)2(2a)22a2， 2a50，a5 2，又 a0， a 的取值范围是 5 2，0 (0，). 思维升华 判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点 P(x0，y0)在圆 C 上(x0a)2(y0b)2r2； 点 P(x0，y0)在圆 C 内(x0a)2(y0b)2r2. 【训练 2】 已知 a，b 是方程 x2x 20 的两个不等的实数根，则点
9、P(a，b) 与圆 C：x2y28 的位置关系是( ) A.点 P 在圆 C 内 B.点 P 在圆 C 外 C.点 P 在圆 C 上 D.无法确定 答案 A 解析 由题意，ab1，ab 2， a2b2(ab)22ab12 22. P 到直线的最大距离为 22 2，最小距离为 2 22. 思维升华 一般地，求圆上的点到定点或定直线的距离的最值问题，常转化为圆 心到定点或定直线的距离问题解决，充分体现了转化与化归的数学思想. 【训练 3】 已知圆 C：(x3)2(y4)21，点 A(0，1)，B(0，1)，设 P 是圆 C 上的动点，令 d|PA|2|PB|2，求 d 的最大值及最小值. 解 设
10、P(x，y)，则 d|PA|2|PB|22(x2y2)2. |CO|2324225 即|CO|5， (51)2x2y2(51)2，即 16x2y236. d 的最小值为 216234， 最大值为 236274. 1.一种方法待定系数法 确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r 的方程组求 a，b，r 或直接求出圆心(a，b)和半径 r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化 繁为简，提高解题效率. 2.两个特征判断点与圆的位置关系的几何特征与代数特征 讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征 (点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.