1、第二课时第二课时 直线与圆的位置关系的应用直线与圆的位置关系的应用 课标要求 素养要求 1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学 问题与实际问题. 2.会用“数形结合”的数学思想解决问题. 通过直线与圆的位置关系的应 用，提升直观想象、数学运算及 逻辑推理素养. 自主梳理 用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时， 先用坐标和方程表示相应的几何元素： 点、 直线、 圆， 将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运 算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的 “三步曲”： 建立不同的平面直角坐标系， 对解决问题有着直接的影响.因此， 建
2、立直角坐标系， 应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)圆心到圆的切线的距离等于半径.() (2)圆的弦的垂直平分线过圆心.() (3)同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心.() 2.若直线 axby1 与圆 x2y21 相交，则点 P(a，b)的位置是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.都有可能 答案 B 解析 由题意知点(0， 0)到直线的距离应小于 1， 即|001| a2b2 1， 即点 P(a，b)到圆心的距离大于半径，所以点 P 在圆外. 3.如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|12 米，拱高|CD|4 米，则拱桥
3、的直径为( ) A.15 米 B.13 米 C.9 米 D.6.5 米 答案 B 解析 如图，设圆心为 O，半径为 r，则由勾股定理得|OB|2|OD|2|BD|2，即 r2 (r4)262，解得 r13 2 ，所以拱桥的直径为 13 米. 4.设村庄外围所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24 表示， 村外一小路所在直线 方程可用 xy20 表示，则从村庄外围到小路的最短距离为_. 答案 7 2 2 2 解析 圆心(2，3)到直线 xy20 距离为|232| 2 7 2 2 ，则从村庄外围到 小路的最短距离为7 2 2 2. 题型一 直线与圆的方程的实际应用 【例 1】 某圆拱桥的水面跨度为
4、 20 m，拱高为 4 m.现有一船，宽 10 m，水面以 上高 3 m，这条船能否从桥下通过？ 解 建立如图所示的坐标系，使圆心 C 在 y 轴上.依题意，有 A(10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(5，0)，E(5，0). 设这座圆拱桥的拱圆的方程是(xa)2(yb)2r2， 于是有 （10a） 2b2r2， （10a）2b2r2， a2（b4）2r2. 解此方程组，得 a0，b10.5，r14.5. 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x2(y10.5)214.52(0y4). 把点 D 的横坐标 x5 代入上式，得 y3.1. 由于船在水面以上高 3 m，30)， 将 A(x0，
5、3)代入圆的方程， 得 x0 51， 当水面下降 1 m 后，水面宽为 2x02 51 m. 题型二 坐标法证明几何问题 【例 2】 如图所示，在圆 O 上任取 C 点为圆心，作圆 C 与圆 O 的直径 AB 相切 于 D，圆 C 与圆 O 交于点 E，F，且 EF 与 CD 相交于 H，求证：EF 平分 CD. 证明 以 AB 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系， 如图所示， 设|AB|2r，D(a，0)， 则|CD| r2a2， C(a， r2a2)， 圆 O：x2y2r2， 圆 C：(xa)2(yr2a2)2r2a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2ax2 r2
6、a2yr2a2. 令 xa，得 y1 2 r2a2， H a，1 2 r2a2，即 H 为 CD 中点， EF 平分 CD. 思维升华 坐标法建立直角坐标系应坚持的原则： (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为 x 轴和 y 轴. (2)充分利用图形的对称性. (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称. (4)关键点的坐标易于求得. 【训练 2】 如图，直角ABC 的斜边长为定值 2m，以斜边的中点 O 为圆心作 半径为 n 的圆，直线 BC 交圆于 P，Q 两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值. 证明 如图，以 O 为坐标原点，以直线 BC 为 x 轴，建立平面
7、直角坐标系， 于是有 B(m，0)，C(m，0)，P(n，0)，Q(n，0). 设 A(x，y)，由已知，点 A 在圆 x2y2m2上， 故|AP|2|AQ|2|PQ|2 (xn)2y2(xn)2y24n2 2x22y26n22m26n2(定值). 题型三 与圆有关的最值问题 【例 3】 已知实数 x，y 满足方程(x2)2y23，求y x的最大值和最小值. 解 原方程表示以点(2，0)为圆心， 3为半径的圆， 设y xk，即 ykx. 当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值和最小值， 此时 |2k0| k21 3，解得 k 3. 故y x的最大值为 3，最小值为 3. 思维升华 与圆
8、上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法 (1)形如 tyb xa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过 点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值； (2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如 t(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的 最值问题. 【训练 3】 例 3 中的条件不变，求 yx 的最大值和最小值. 解 设 yxb，即 yxb. 当 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值和最小值， 此时|20b| 2 3，即 b2 6. 故 yx 的最大值为2 6， 最小值为2 6. 1.一种思想方法转化与化归思想 利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的 问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法.事实上，数学 中一切问题的解决都离不开转化与化归.所谓转化与化归思想是指把待解决的问 题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识. 2.一个关键求解与圆有关最值问题的关键 利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何 意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形分析、解决问 题.