1、2.5.2 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 课标要求 素养要求 1.能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何 判定方法. 3.能利用圆与圆的位置关系解决有关问题. 通过圆与圆的位置关系的判 定及解决相关问题， 进一步提 升数学抽象及数学运算素养. 自主梳理 1.两圆之间的位置关系 (1)两圆相交，有两个公共点； (2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点； (3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点. 2.用几何法判断圆与圆的位置关系 已知两圆 C1：(xx1)2(yy1)2r21， C2：(xx2)2(yy2)2r22， 则圆心距 d|C
2、1C2| （x1x2）2（y1y2）2. 则两圆 C1，C2有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 dr1r2 d|r1r2| |r12|d0 时，C1与 C2相交. (2)判别式 0 时，C1与 C2外切或内切. (3)判别式 0 时，C1与 C2外离或内含. 两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公 切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.() 提示 只有一组实数解时可能外切也可能内切. (2)如果两圆的圆
3、心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.() 提示 当两圆圆心距小于两圆半径之和且大于两圆半径之差的绝对值时两圆相 交. (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直 线方程.() 提示 只有两圆相交时得到的二元一次方程才是公共弦所在的直线方程. (4)当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆可能外离也可能内含.() 2.圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 答案 B 解析 圆心距 d （22）2（01）2 17.由于 32d0)外切，则 r 的值是( ) A. 10 B. 5 C.5 D. 10 2 答
4、案 D 解析 由题意可知 （30）2（10）22r，r 10 2 . 4.若圆x2y24与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦长为2 3， 则 a_. 答案 1 解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为 y1 a，圆心(0，0)到直线 y1 a的距离为 d 1 a 22（ 3）21，所以 a1. 题型一 两圆的位置关系 角度 1 两圆位置关系的判断 【例 11】 (1)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度 是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 (2)已知圆 C1：x2y22x4
5、y40 和圆 C2：4x24y216x8y190，则这 两个圆的公切线的条数为( ) A.1 或 3 B.4 C.0 D.2 答案 (1)B (2)D 解析 (1)由 x 2y22ay0， xy0， 得两交点分别为(0，0)，(a，a). 圆 M 截直线所得线段的长度为 2 2， a2（a）22 2， 又 a0，a2. 圆 M 的方程为 x2y24y0， 即 x2(y2)24，圆心为 M(0，2)，半径为 r12. 又圆 N：(x1)2(y1)21，圆心为 N(1，1)，半径为 r21， |MN| （01）2（21）2 2. r1r21，r1r23，1|MN|3， 两圆相交. (2)由圆 C1
6、：x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圆 C2：4x24y216x 8y190，即(x2)2(y1)21 4，得 C1(1，2)，C2(2，1)，r11，r2 1 2， |C1C2| （21）2（12）2 2. 则 r1r2|C1C2|r1r2，圆 C1与圆 C2相交. 故这两个圆的公切线共 2 条. 角度 2 已知两圆位置关系求参数 【例 12】 当 a 分别为何值时，两圆 C1：x2y22ax4ya250 和 C2： x2y22x2aya230： (1)外切；(2)相交；(3)外离？ 解 将两圆方程化为标准方程，则 C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.
7、两圆的圆心和半径分别为 C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22. 设两圆的圆心距为 d，则 d2(a1)2(2a)22a26a5. (1)当 d5，即 2a26a525 时，两圆外切， 此时 a5 或 a2； (2)当 1d5，即 12a26a525 时，两圆相交，此时5a2 或1a5，即 2a26a525 时，两圆外离，此时 a2 或 a5. 思维升华 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有 以下几个步骤： 将圆的方程化成标准方程，写出圆心和半径. 计算两圆圆心的距离 d. 通过 d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时 可数
8、形结合. (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆 心距与两圆半径的关系. 【训练 1】 圆(x4)2y29 和圆 x2(y3)24 的公切线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 答案 C 解析 圆(x4)2y29 的圆心为(4，0)，半径等于 3， 圆 x2(y3)24 的圆心为(0，3)，半径等于 2. 两圆的圆心距等于 4232523， 两圆相外切， 故两圆的公切线的条数为 3， 故选 C. 题型二 两圆相切问题 【例 2】 已知以 C(4，3)为圆心的圆与圆 O：x2y21 相切，则圆 C 的方程 是_. 答案 (x4)2(y3)2
9、16 或(x4)2(y3)336 解析 设圆 C 的半径为 r， 又圆心距 d （40）2（30）25， 当圆 C 与圆 O 外切时，r15，r4， 当圆 C 与圆 O 内切时，r15，r6， 圆 C 的方程为(x4)2(y3)216 或(x4)2(y3)336. 思维升华 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆 内切还是外切两种情况讨论. (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对 值(内切时)或两圆半径之和(外切时). 【训练 2】 若圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8ym0 外切
10、，则 m 等 于( ) A.21 B.19 C.9 D.11 答案 C 解析 C2：x2y26x8ym0 化为(x3)2(y4)225m. C1，C2两圆的圆心分别为(0，0)，(3，4)， 两圆圆心距 d （30）2（40）25， 又两圆半径分别为 1， 25m，则 dr1r2， 即 51 25m，解得 m9. 题型三 两圆相交的有关问题 【例 3】 已知两圆 x2y22x10y240 和 x2y22x2y80，判断两圆 的位置关系. 解 将两圆方程配方化为标准方程，得 C1：(x1)2(y5)250， C2：(x1)2(y1)210， 则圆 C1的圆心为(1，5)，半径 r15 2. 圆
11、C2的圆心为(1，1)，半径 r2 10. 又|C1C2|2 5，r1r25 2 10，r1r25 2 10， r1r2|C1C2|r1r2， 两圆相交. 【迁移 1】 在例 3 的条件下，求公共弦所在直线方程. 解 将两圆方程相减， 得公共弦所在直线方程为 x2y40. 【迁移 2】 在例 3 的条件下，求公共弦的长度. 解 法一 圆 C1的圆心为(1，5)，其到公共弦所在直线 x2y40 的距离 d |12（5）4| 1（2）2 3 5， 公共弦长 l2 r21d22 50452 5. 法二 设两圆相交于点 A，B， 则 A，B 两点的坐标满足方程组 x 2y22x10y240， x2y2
12、2x2y80， 解得 x4， y0 或 x0， y2， 即 A(4，0)，B(0，2)， 所以|AB| （40）2（02）22 5， 即公共弦长为 2 5. 思维升华 处理两圆相交的有关问题的方法 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在 直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否 则应先调整系数. (2)求两圆公共弦长的方法： 一是联立两圆方程求出交点坐标， 再用距离公式求解； 二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构 成的直角三角形求解. 【训练 3】 求圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y22
13、x2y10 的公共弦所在的 直线 l 被圆 C3：(x1)2(y1)225 4 截得的弦长. 解 由题意将两圆的方程相减， 可得圆 C1和圆 C2的公共弦所在的直线 l 的方程为 xy10. 又圆 C3的圆心坐标为(1，1)， 其到直线 l 的距离为 d|111| 1212 2 2 ， 所以所求弦长为 2 25 4 2 2 2 23. 1.两种方法判断两圆的位置关系的方法： (1)(代数法)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较 大，一般不用. (2)(几何法)依据圆心距与两圆半径长的和或两半径的差的绝对值的大小关系. 2.五种位置关系 (1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； (2)圆和圆相交，两圆有两个公共点； (3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切.