1、2.2.2 直线的两点式方程直线的两点式方程 课标要求 素养要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握 直线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用 范围. 通过学习直线的两点式及截距式 方程，提升数学抽象及逻辑推理 素养. 自主梳理 1.直线的两点式方程 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2，y1y2)的直线方程为 yy1 y2y1 xx1 x2x1.我们 把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.如果 x1x2或 y1y2，则直线 P1P2没有 两点式方程.当 x1x2时， 直线 P1P2垂直于 x 轴， 直线方程为 xx10， 即 xx1； 当 y
2、1y2时，直线 P1P2垂直于 y 轴，直线方程为 yy10，即 yy1. (1)当过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1x2)或斜率为 0(y1y2)时，不 能用两点式方程表示，即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线. (2)在记忆和使用两点式直线方程时，必须注意坐标的对应关系，即 x1，y1是同一 个点的坐标，x2，y2是另一个点的坐标. 2.直线的截距式方程 若直线 l 与 x 轴的交点为 A(a，0)，与 y 轴的交点为 B(0，b)，其中 a0，b0， 则由两点式得直线 l 的方程为y0 b0 xa 0a，即 x a y b1. 我们把方程x a y b1 叫做直
3、线的截距式方程，简称截距式.把直线 l 与 x 轴的交点 (a，0)的横坐标 a 叫直线在 x 轴上的截距，此时直线在 y 轴上的截距是 b. 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况，由直线的截距式方程可以直 接读出直线在 x 轴和 y 轴上的截距，所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角 形的面积和周长问题时非常方便. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.() (2)方程 yy1 y2y1 xx1 x2x1和方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)适用的范围相同.() 提示 方程 yy1 y2y1 xx1 x2x1成立的前提是 y
4、1y2 且 x1x2. (3)过点(1，3)和(1，5)的直线也可以用两点式方程来表示.() 提示 因为点(1，3)和(1，5)的横坐标相等，故不能用两点式来表示. (4)截距式方程能表示过原点的直线.() 提示 不能，因为 ab0，即有两个非零截距. (5)所有的直线都可以用两点式方程来表示() 提示 与 x 轴平行或与 y 轴平行的直线无法用两点式方程来表示. 2.过点 A(5，6)和点 B(1，2)的直线的两点式方程是( ) A.y5 x6 y1 x2 B.y6 26 x5 15 C.26 y6 15 x5 D.x6 26 y5 15 答案 B 3.在 x 轴、y 轴上的截距分别为 2，
5、3 的直线方程为( ) A.x 2 y 31 B.x 2 y 31 C.y 3 x 21 D.x 2 y 30 答案 A 4.直线x 4 y 51 在两坐标轴上的截距之和为_. 答案 1 解析 由方程知直线在 x 轴上的截距为 4，在 y 轴上的截距为5，故 4(5) 1. 题型一 直线的两点式方程 【例 1】 已知三角形的顶点是 A(1，3)，B(2，1)，C(1，1)，求这个三角 形三边所在直线的方程. 解 直线 AB 过 A(1，3)，B(2，1)，其两点式方程为 y3 13 x1 21，整理，得 4x3y50，这就是边 AB 所在直线的方 程. 直线 AC 垂直于 x 轴，故 AC 边
6、所在直线的方程为 x1.直线 BC 平行于 x 轴，故 BC 边所在直线的方程为 y1. 思维升华 利用两点式求直线方程 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的 适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用 斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 【训练 1】 已知ABC 三个顶点坐标 A(2，1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形 三条边所在直线的方程. 解 A(2，1)，B(2，2)，A，B 两点横坐标相同， 直线 AB 与 x 轴垂直， 故 AB 边所在直线的方程为 x2. 由 A(2，1)，C(4，1)， 可得直线 AC 的
7、两点式方程为 y1 11 x4 24， 即 xy30.故 AC 边所在直线的方程为 xy30. 同理得直线 BC 的两点式方程为y2 12 x2 42， 即 x2y60. 故 BC 边所在直线的方程为 x2y60. 题型二 直线的截距式方程 【例 2】 求过点 A(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程. 解 (1)当直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为 0 时，可设直线 l 的方程 为x a y a1.又 l 过点 A(3，4)，所以 3 a 4 a1，解得 a1. 所以直线 l 的方程为 x 1 y 11，即 xy10. (2)当直线 l 在两坐标轴上的截距互为
8、相反数且为 0 时，即直线 l 过原点时，设直 线 l 的方程为 ykx，因为 l 过点 A(3，4)，所以 4k 3，解得 k4 3，直线 l 的方 程为 y4 3x，即 4x3y0. 综上，直线 l 的方程为 xy10 或 4x3y0. 【迁移 1】 若将点 A 的坐标改为“A(3， 4)”， 其他条件不变， 又如何求解？ 解 (1)当直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且不为 0 时， 设直线 l 的方程为x a y a1，又 l 过点 A(3，4)，所以 3 a 4 a1，解得 a1. 所以直线 l 的方程为x 1 y 11，即 xy10. (2)当直线 l 过原点时，设直线 l 的
9、方程为 ykx， 由于 l 过(3，4)， 所以4k (3)，解得 k4 3. 所以直线 l 的方程为 4x3y0. 综上，直线 l 的方程为 xy10 或 4x3y0. 【迁移 2】 若将例 2 中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解 (1)当截距不为 0 时，设直线 l 的方程为x a y a1， 又 l 过(3，4)，3 a 4 a1，解得 a7， 直线 l 的方程为 xy70. (2)当截距为 0 时，设直线 l 的方程为 ykx，又 l 过(3，4)，4k 3， 解得 k4 3，所以直线 l 的方程为 y 4 3x，即 4x3y0. 综上，直线 l 的方程为 xy70 或 4x
10、3y0. 思维升华 零截距的重要性： 如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在 一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍(m0)”等条件时，采用截距式求 直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况. 【训练 2】 过点 A(3，1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.无数多条 答案 B 解析 当截距都为零时满足题意要求，直线方程为 y1 3x， 当截距不为零时，设直线方程为x a y b1， 3 a 1 b 1， |a|b|， a2， b2 或 a4， b4， 即直线方程为x 2 y 21 或 x 4 y 41，
11、 满足条件的直线共有 3 条.故选 B. 题型三 直线方程的综合应用 【例 3】 已知三角形的三个顶点 A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，求 BC 边所 在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程. 解 如图，过 B(3，3)，C(0， 2)的直线的两点式方程为 y2 32 x0 30， 整理得 5x3y60. 这就是 BC 边所在直线的方程. BC 边上的中线是顶点 A 与 BC 边中点 M 所连线段， 由中点坐标公式可得点 M 的坐标为 30 2 ，32 2 ，即 3 2， 1 2 . 过 A(5，0)，M 3 2， 1 2 的直线的方程为 y0 1 20 x5 3 25 ，即 x
12、13y50. 这就是 BC 边上中线所在直线的方程. 思维升华 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件 确定直线的斜率. (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式，再由其他条件确定直线 的一个点或者截距. (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就 用截距式方程. (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直 线要单独讨论解决. 【训练 3】 已知ABC 中，A(1，4)，B(6，6)，C(2，0).求： (1)ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的方程并化为
13、截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程. 解 (1)平行于 BC 边的中位线就是 AB，AC 中点的连线. 因为线段 AB，AC 的中点坐标分别为 7 2，1 ， 1 2，2 ，所以平行于 BC 边的中 位线所在直线的方程为y2 12 x1 2 7 2 1 2 ，整理得，6x8y130，化为截距式方程为 x 13 6 y 13 8 1. (2)因为BC边的中点为(2， 3)， 所以BC边上的中线所在直线的方程为y4 34 x1 21， 即 7xy110，化为截距式方程为 x 11 7 y 111. 三个注意点 与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件：点斜式、斜截式方程适用于不垂直于 x 轴 的直线；两点式方程不能表示垂直于 x，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于 坐标轴和过原点的直线. (2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零.在与截距有关的问题 中，要注意讨论截距是否为零. (3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜 率是否存在加以讨论.