1、2.1.2 两条直线平行和垂直的判定两条直线平行和垂直的判定 课标要求 素养要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能应用两条直线平行或垂直解决有关 问题. 通过学习两条直线平行与垂直的判定， 提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素 养. 自主梳理 1.两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 1290 1290 对应关系 l1l2k1k2 l1l2两直线斜率都不存在 图示 若没有指明 l1，l2不重合，那么 k1k2l1l2或 l1与 l2重合，用斜率证明三点共 线时，常用到这一结论. 2.两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1l2(两直线斜率都存在)k1k2
2、1 l1的斜率不存在，l2的斜率为 0l1l2 “两条直线的斜率之积等于1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件， 因为 两条直线垂直时，除了斜率之积等于1，还有可能一条直线的斜率为 0，另一条 直线的斜率不存在. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.() 提示 当一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时两直线也垂直. (2)若点 A(1，2)，B(1，3)，C(0，1)，D(2，b)，且 ABCD，则 b3.() 提示 由 ABCD，得 kABkCD，即 32 1（1） b1 20，b2. (3)若两条直线中有一条直线的斜率
3、不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直 线垂直.() 提示 当一条直线斜率不存在，另一条直线为 0 时两直线垂直. (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.() 2.已知 A(4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(3，0)，则直线 AB 与直线 CD( ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.以上都不正确 答案 A 解析 由题意知 kAB 53 2（4） 1 3，kCD 3 36 1 3，kABkCD，同理可知 kACkBD，故 A，B，C，D 不共线，两直线平行. 3.若经过点(3，a)，(2，0)的直线与经过点(3，4)且斜率为1 2的直线垂直，则 a 的值为(
4、 ) A.5 2 B.2 5 C.10 D.10 答案 D 解析 由题意知 a0 3（2）2，a10. 4.已知直线 l1，l2的斜率分别为 k1，k2，且 k12，l1l2，则 k2_. 答案 1 2 解析 l1l2，k1 k21，又k12，k21 2. 题型一 两条直线平行的判定及应用 【例 1】 根据下列给定的条件，判断直线 l1与直线 l2是否平行. (1)l1经过点 A(2，3)，B(4，0)；l2经过点 M(3，1)，N(2，2)； (2)l1的斜率为1 2；l2 经过点 A(4，2)，B(2，3)； (3)l1平行于 y 轴；l2经过点 P(0，2)，Q(0，5)； (4)l1经
5、过点 E(0，1)，F(2，1)；l2经过点 G(3，4)，H(2，3). 解 (1)kAB 30 2（4） 1 2，kMN 21 2（3）1，kABkMN， l1与 l2不平行. (2)k11 2，k2 32 24 1 2，即 k1k2， l1与 l2平行或重合. (3)由题意知，l1的斜率不存在，且不是 y 轴，l2的斜率也不存在，恰好是 y 轴， l1l2. (4)由题意知，k111 201，k2 34 231， k1k2，l1与 l2平行或重合， 又 kFG4（1） 3（2）1， E，F，G，H 四点共线，l1与 l2重合. 思维升华 判断两条不重合直线是否平行的步骤 特别提醒 在证明
6、(判断)两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才 能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等. 【训练 1】 (1)经过点 P(2，m)和 Q(m，4)的直线平行于斜率等于 1 的直线， 则 m 的值是( ) A.4 B.1 C.1 或 3 D.1 或 4 答案 B 解析 由题意，知 4m m（2）1，解得 m1. (2)在ABC 中，A(0，3)，B(2，1)，E，F 分别为边 AC，BC 的中点，则直线 EF 的斜率为_. 答案 2 解析 E，F 分别为边 AC，BC 的中点，EFAB. kEFkAB13 20 2. 题型二 两条直线的垂直关系 角度 1 两条直线垂直关
7、系的判定 【例 21】 判断下列各小题中 l1与 l2是否垂直. (1)l1经过点 A(1，2)，B(1，2)；l2经过点 M(2，1)，N(2，1)； (2)l1的斜率为10；l2经过点 A(10，2)，B(20，3)； (3)l1经过点 A(3，4)，B(3，10)；l2经过点 M(10，40)，N(10，40). 解 (1)k12（2） 1（1）2，k2 1（1） 2（2） 1 2，k1k21，l1 与 l2不垂直. (2)k110，k2 32 2010 1 10，k1k21，l1l2. (3)由 A，B 的横坐标相等得 l1的倾斜角为 90 ，则 l1x 轴. k2 4040 10（1
8、0）0，则 l2x 轴，l1l2. 角度 2 两条直线垂直关系的应用 【例 22】 已知直线 l1经过点 A(3，a)，B(a1，2)，直线 l2经过点 C(1，2)， D(2，a2).若 l1l2，求 a 的值. 解 设直线 l2的斜率为 k2，则 k22（a2） 1（2） a 3. 当 a4 时，l1的斜率不存在，k24 3，不符合题意； 当 a4 时，l1的斜率存在，此时 k12a a4. 由 k1 k21，得a 3 2a a41， 解得 a3 或 a4. 当 a3 或 a4 时，l1l2. 思维升华 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤： (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等
9、，则直线的斜率不存在，若 不相等，则进行第二步. (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式. (3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应注意对参数 进行讨论. 【训练 2】 已知ABC 的顶点坐标分别为 A(1，2)，B(1，1)，C(0，2)，求 BC 边上的高所在直线的斜率与倾斜角. 解 由斜率公式得 kBC 21 0（1）1， 设 BC 边上的高所在直线的斜率为 k，则有 k kBC1. k1.BC 边上的高所在直线的倾斜角为 135 . 题型三 平行与垂直的综合应用 【例 3】 已知 A(4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(3，0)四点，若顺次连接 A， B
10、，C，D 四点，试判定四边形 ABCD 的形状. 解 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置如图： 由斜率公式可得 kAB 53 2（4） 1 3，kCD 03 36 1 3， kAD 03 3（4）3，kBC 35 62 1 2， kABkCD，由图可知 AB 与 CD 不重合， ABCD. 由 kADkBC，AD 与 BC 不平行. 又 kAB kAD1 3(3)1， ABAD. 故四边形 ABCD 为直角梯形. 思维升华 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 【训练 3】 已知点 A(0， 3)， B(1， 0)， C(3， 0)， 求点 D 的坐标， 使四边形 ABCD 为直角梯形
11、(A，B，C，D 按逆时针方向排列). 解 设所求点 D 的坐标为(x，y)，如图所示，由于 kAB3，kBC0，kAB kBC0 1，即 AB 与 BC 不垂直，故 AB，BC 都不可作为直角梯形的直角边. (1)若 CD 是直角梯形的直角腰，则 BCCD，ADCD， kBC0，CD 的斜率不存在，从而有 x3. 又 kADkBC，y3 x 0，即 y3，此时 AB 与 CD 不平行， 故所求点 D 的坐标为(3，3). (2)若 AD 是直角梯形的直角腰，则 ADAB，ADCD， kADy3 x ，kCD y x3， y3 x 31， y3 x y x31， 解得 x18 5 ，y9 5，D 点坐标为 18 5 ，9 5 . 综上，D 点坐标为(3，3)或 18 5 ，9 5 . 1.两个前提条件 (1)l1l2k1k2成立的前提条件是： 两条直线的斜率都存在. l1与 l2不重合. (2)l1l2k1k21 成立的前提条件是： 两条直线的斜率都存在. k10 且 k20. 2.一个判定方法 两直线平行或垂直的判定方法 斜率 直线 斜率均不存在 平行或重合 一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在 垂直 斜率均存在 相等 平行或重合 积为1 垂直