1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 数学文化了解数学文化的发展与应用 圆的历史 古代人最早是从太阳、从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作 出第一个圆的呢？ 18 000 年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，石器的尖是圆心，它的宽 度的一半就是半径， 这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔. 到了陶器时代，许多陶器都是圆的.圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的.6 000 年前， 半坡人就已经会造圆形的房顶了.大约在 6 000 年前， 美索不达米亚人， 做出了世界上第一个轮子圆的木轮.约在 4 000 年前，人们将圆的木轮固定在 木架上，这就成了最初的车子.
2、会作圆并且真正了解圆的性质，却是在 2 000 多年前，是由我国的墨子给出 圆的概念的：一中同长也.意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个 定义比希腊数学家欧几里德给圆下定义要早 100 年. 墨子 读图探新发现现象背后的知识 1.我国古代石拱桥的杰出代表是举世闻名的河北省赵县的 赵州桥，距今已有 1 400 年的历史.赵州桥是一座空腹式的圆弧 形石拱桥，净跨 37 m，宽 9 m，拱矢高度 7.24 m，赵州桥是当 今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石拱桥. 2.同学们看过海上日出吗？你看，太阳出来了，它穿过海平 面，升的越来越高，非常美丽.我们如果把海平面看作是一条直 线，
3、太阳看作一个圆，那么里面隐含着丰富的平面几何知识. 3.意大利中部的比萨城内，有一座造型古朴而又秀巧的钟塔，这就是堪称世 界建筑史奇迹的比萨斜塔.那么经过 600 多年的风雨沧桑，比萨 斜塔的倾斜度又是多少呢？你能用现有的知识去解决这个问题 吗？ 问题 1：通过赵州桥你能感受到圆的曲线带来的优美，那么你了解的与圆有 关的应用有哪些？ 问题 2：太阳升起的过程与海平面对应的直线有哪些位置关系？ 问题 3：如何测量比萨斜塔的倾斜程度？ 链接：圆在桥上的应用只是解析几何在日常生活中的应用之一.事实上，无论 日常生活还是航天技术的运用，用到解析几何知识的地方还很多，而测量比萨斜 塔的倾斜程度，直线与圆
4、的位置关系，圆与圆的位置关系等，也是解析几何的一 部分，那么为了更好地服务于人类，让我们更好地学习解析几何知识吧！ 2.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 2.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 课标要求 素养要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形 探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.经历用代数方法刻画直线斜率的过 程， 掌握过两点的直线斜率的计算公式. 在直线的倾斜角和斜率的概念的形成过 程中，提升数学抽象素养；通过借助图 形及向量推导直线的斜率计算公式，提 升数学运算、逻辑推理素养. 自主梳理 1.直线的倾斜角 (1)直线倾斜角的定义 当直线 l
5、与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所 成的角 叫做直线 l 的倾斜角. (2)直线倾斜角的取值范围 直线的倾斜角 的取值范围是|0 180 ，并规定与 x 轴平行或重合的直线 的倾斜角为 0 . 2.斜率的概念及斜率公式 (1)斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母 k来 表示，即 ktan . 倾斜角是 90 的直线没有斜率，倾斜角不是 90 的直线都有斜率. (2)斜率公式 如果直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，可得斜率公式为 ky 2y1 x2x1. 在平面直角坐标系中，倾
6、斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于 x 轴的倾斜程度. 3.直线的方向向量 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1x2)是直线 l 上的两点，则向量P1P2 (x2x1， y2y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线 l 的斜率为 k，它的一个 方向向量的坐标为(x，y)，则 ky x. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)任一条直线都有倾斜角，都存在斜率.() 提示 倾斜角为 90 的直线的斜率不存在. (2)若直线的倾斜角为，则 0 180 .() 提示 直线倾斜角的取值范围是 0 180 . (3)倾斜角为 135 的直线的斜率为 1.() 提示
7、 倾斜角为 135 的直线的斜率为1. (4)若一条直线的倾斜角为 ，则它的斜率为 ktan .() 提示 当直线的倾斜角 90 时，直线的斜率不存在. 2.已知一条直线的倾斜角 45 ，则该直线的斜率等于( ) A. 2 2 B. 2 2 C.1 D.1 答案 C 解析 ktan tan 45 1. 3.若过两点 A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为 45 ，则 y( ) A. 3 2 B. 3 2 C.1 D.1 答案 C 解析 由已知，得y3 42tan 45 1.故 y1. 4.一条直线的斜率等于 3 3 ，则此直线的倾斜角等于_. 答案 30 解析 ktan 3 3 ，又 0
8、180 ，故 30 . 题型一 求直线的倾斜角 【例 1】 (1)设直线 l 过原点，其倾斜角为，将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向 旋转 40 ，得直线 l1，则直线 l1的倾斜角为( ) A.40 B.140 C.140 D.当 0 140 时为 40 ，当 140 180 时为 140 (2)已知直线 l 向上的方向与 y 轴正向所成的角为 30 ，则直线 l 的倾斜角为 _. 答案 (1)D (2)60 或 120 解析 (1)根据题意，画出图形，如图所示. 因为 0 180 ，显然 A，B，C 未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如 图所示)可知， 当 0 140 时，l1的倾
9、斜角为 40 ； 当 140 60 时， 3180， 与倾斜角的范围矛盾，C 错；tan 45 1，D 错. 题型二 求直线的斜率 【例 2】 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定 直线的倾斜角 . (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)C(2，3)，D(2，1)； (3)P(3，1)，Q(3，10). 解 (1)存在.直线 AB 的斜率 kAB53 421， 即 tan 1，又 0 180 ，所以倾斜角 45 . (2)存在.直线 CD 的斜率 kCD 13 2（2）1， 即 tan 1，又 0 180 ，所以倾斜角 135 . (3)不存在.因为 xPxQ3，所
10、以直线 PQ 的斜率不存在，倾斜角 90 . 思维升华 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与 x 轴垂直，因为当直线与 x 轴垂 直时，斜率是不存在的； 斜率公式与两点 P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1与 x2，y1与 y2 可以同时交换位置. (2)在 0 180 范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角 0 30 45 60 120 135 150 斜率 k 0 3 3 1 3 3 1 3 3 【训练 2】 (1)直线过两点 A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率； (2)过原点且斜率为 1 的直线 l，绕原点沿逆时针
11、方向旋转 90 到达 l位置，求 l的 斜率. 解 (1)由题意知两点的横坐标不相等， 则直线存在斜率， 根据直线的斜率公式得 k73 214. (2)直线 l 的斜率 k1， 所以直线 l 的倾斜角为 45 ， 所以直线 l的倾斜角为 45 90 135 ， 即 l的斜率 ktan 135 1. 题型三 直线的倾斜角与斜率的应用 角度 1 三点共线问题 【例 31】 如果 A 2m，5 2 ，B(4，1)，C(4，m)三点在同一条直线上，试 确定常数 m 的值. 解 由于 A，B，C 三点所在直线不可能垂直于 x 轴， 因此可设直线 AB，BC 的斜率分别为 kAB，kBC， 由斜率公式，得
12、 kAB 5 21 2m4 7 4m8，kBC 1m 44 m1 8 . 点 A，B，C 在同一条直线上，kABkBC. 7 4m8 m1 8 ，即 m23m120， 解得 m13 57 2 ，m23 57 2 . m 的值是3 57 2 或3 57 2 . 角度 2 求解范围问题 【例 32】 直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3)为端点的线段有公 共点，求直线 l 的斜率 k 和倾斜角 的范围. 解 如图所示. kAP10 211，kBP 30 01 3， k(， 31，)， 又 0 180 ，45 120 . 思维升华 1.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要
13、估测三点中是否任意两点 的连线垂直于x轴.当任意两点的连线垂直于x轴， 且过同一点时， 三点共线.否则， 直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可. 2.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 ktan (90 )解决. (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 ky 2y1 x2x1(x1x2)求解. (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解. 【训练 3】 证明 A(2，12)，B(1，3)，C(4，6)三点在同一条直线上. 证明 易知直线 AB，AC 的斜率都存在， kAB 123 21 9 33，kAC 612 4（2） 18 6 3， kABkAC
14、，又 AB，AC 过同一点 A， A，B，C 三点共线. 1.一个关系直线的倾斜角与斜率的关系 直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表： 直线 情况 的大小 0 0 90 90 90 0 不存在 k0 k 的增 减情况 k 随 的增大 而增大 k 随 的增大 而增大 2.两个注意点求直线斜率时应注意的两个问题 运用两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率应注意的问题： (1)斜率公式与 P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即 x2x1，y2y1中 x2与 y2对应，x1与 y1对应). (2)运用斜率公式的前提条件是“x1x2”，也就是直线不与 x 轴垂直，而当直线 与 x 轴垂直时，直线的倾斜角为 90 ，斜率不存在.