1、2.2.3 直线的一般式方程直线的一般式方程 课标要求 素养要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索 并掌握直线方程的一般式. 2.会进行直线方程的五种形式间的转化. 通过学习直线的一般式方程，提升数学 抽象及逻辑推理素养. 自主梳理 1.直线的一般式方程 我们把关于 x，y 的二元一次方程 AxByC0(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线 的一般式方程，简称一般式. 2.二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中， 任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线； 反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. (1)解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般
2、式，一般作如下约定：x 的系 数为正，x，y 的系数及常数项一般不出现分数，往往按含 x 项、含 y 项、常数项 顺序排列. (2)直线的一般式方程可以表示平面内的任意一条直线. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)直线 xy30 的斜率为 k1.() (2)当 A，B 同时为零时，方程 AxByC0 也可表示为一条直线.() 提示 当 A，B 都同时为零时，若 C0，则方程对任意的 x，y 都成立，故方程 表示整个坐标平面；若 C0，则方程无解，故方程 AxByC0 不表示任何图 形. (3)直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.() 2.与 x 轴平行且过点(0，6)的直线
3、的一般式方程为( ) A.x60 B.y60 C.xy6 D.xy6 答案 B 3.若方程 AxByC0 表示直线，则 A，B 应满足的条件为( ) A.A0 B.B0 C.AB0 D.A2B20 答案 D 解析 方程 AxByC0 表示直线的条件为 A，B 不能同时为 0，即 A2B20. 4.直线 2xy30 在 y 轴上的截距是_. 答案 3 解析 令 x0，得 y3. 题型一 求直线的一般式方程 【例 1】 根据下列条件求直线的一般式方程. (1)直线的斜率为 2，且经过点 A(1，3)； (2)斜率为 3，且在 y 轴上的截距为 4； (3)经过两点 A(2，3)，B(1，5)； (
4、4)在 x，y 轴上的截距分别为 2，4. 解 (1)因为 k2，且经过点 A(1，3)，由直线的点斜式方程可得 y32(x1)， 整理可得 2xy10，所以直线的一般式方程为 2xy10. (2)由直线的斜率 k 3，且在 y 轴上的截距为 4，得直线的斜截式方程为 y 3x 4. 整理可得直线的一般式方程为 3xy40. (3)由直线的两点式方程可得 y（3） 5（3） x2 12，整理得直线的一般式方程为 2x3y130. (4)由直线的截距式方程可得x 2 y 41，整理得直线的一般式方程为 2xy4 0. 思维升华 求直线的一般式方程的策略 (1)当 A0 时，方程可化为 xB Ay
5、 C A0，只需求 B A， C A的值；若 B0，则方程化 为A Bxy C B0，只需确定 A B， C B的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线 方程. (2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用 四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式. 【训练 1】 (1)下列直线中，斜率为4 3，且不经过第一象限的是( ) A.3x4y70 B.4x3y70 C.4x3y420 D.3x4y420 (2)直线 3x5y90 在 x 轴上的截距等于( ) A. 3 B.5 C.9 5 D.3 3 答案 (1)B (2)D 解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率
6、为4 3的有 B，C 两项，其中 B.y 4 3x 7 3， C.y4 3x14. 又 y4 3x14 过点(0，14)，即直线过第一象限， 所以只有 B 项满足要求. (2)令 y0，则 x3 3. 题型二 利用一般式解决直线的平行与垂直问题 【例 2】 已知直线 l 的方程为 3x4y120， 求满足下列条件的直线 l的方程： (1)过点(1，3)，且与 l 平行； (2)过点(1，3)，且与 l 垂直. 解 法一 l 的方程可化为 y3 4x3， l 的斜率为3 4. (1)l与 l 平行，l的斜率为3 4. 又l过点(1，3)， 由点斜式知方程为 y33 4(x1)， 即 3x4y90
7、. (2)l与 l 垂直， l的斜率为4 3，又 l过点(1，3)， 由点斜式可得方程为 y34 3(x1)， 即 4x3y130. 法二 (1)由 l与 l 平行，可设 l的方程为 3x4ym0(m12).将点(1，3)代 入上式得 m9. 所求直线的方程为 3x4y90. (2)由 l与 l 垂直，可设 l的方程为 4x3yn0. 将(1，3)代入上式得 n13. 所求直线的方程为 4x3y130. 思维升华 1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线 l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为 0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2 不同时为 0). (1)l1l2A1B
8、2A2B10 且 B1C2B2C10 或 A1C2A2C10. (2)l1l2A1A2B1B20. 2.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线 的斜率，由点斜式写方程. (2)可利用如下待定系数法：与直线 AxByC0(A，B 不同时为 0)平行的直线 方程可设为 AxByC10(C1C)，再由直线所过的点确定 C1；与直线 AxBy C0(A，B 不同时为 0)垂直的直线方程可设为 BxAyC20，再由直线所过 的点确定 C2. 【训练 2】 判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由. (1)l1：3x5y
9、60，l2：6x10y30； (2)l1：3x6y140，l2：2xy20； (3)l1：x2，l2：x4； (4)l1：y3，l2：x1. 解 (1)法一 将两直线方程各化为斜截式： l1：y3 5x 6 5；l2：y 3 5x 3 10. 则 k13 5，b1 6 5，k2 3 5，b2 3 10. k1k2，且 b1b2，l1l2. 法二 310560 且 336(6)0，l1l2. (2)法一 将两直线方程各化为斜截式： l1：y1 2x 7 3；l2：y2x2. 则 k11 2，k22. k1 k21，故 l1l2. 法二 32(6)10，l1l2. (3)因为 l1：x2，l2：x
10、4，且两直线在 x 轴上的截距不相等，则 l1l2. (4)由方程知 l1y 轴，l2x 轴，则 l1l2. 题型三 直线一般式方程的应用 【例 3】 设直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y2m6，根据下列条 件分别确定 m 的值： (1)l 在 x 轴上的截距是3； (2)l 的斜率是1. 解 (1)当直线在 x 轴上的截距为3 时，有 2m6 m22m33，且 m 22m30 解得 m5 3. (2)当斜率为1 时，有m 22m3 2m2m11，且 2m 2m10 解得 m2. 思维升华 已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 【训练 3】 直线 l 的方程为(a1
11、)xy2a0(aR). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 a 的值； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a1 时，直线 l 的方程为 y30，显然不符合题意； 当 a1 时，令 x0，则 ya2， 令 y0，则 xa2 a1. l 在两坐标轴上的截距相等， a2a2 a1， 解得 a2 或 a0. 综上，a 的值为 2 或 0. (2)直线 l 的方程可化为 y(a1)xa2， 故要使 l 不经过第二象限，只需 （a1）0， a20， 解得 a1. a 的取值范围为(，1. 1.一个关系二元一次方程与直线的关系 二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程 的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点就组 成了一条直线，二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的，因此直 线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线. 2.四个结构特征直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于 x，y 的二元一次方程. (2)方程中等号的左侧自左向右一般按 x，y，常数的先后顺序排列. (3)x 的系数一般不为分数和负数. (4)虽然一般式直线方程有三个参数， 但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.