1、2.3 直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式两点间的距离公式 课标要求 素养要求 1.能用解方程组的方法求两条直线的交 点坐标. 2.探索并掌握平面上两点间的距离公式. 通过求解两直线的交点坐标及两点间的 距离，提升数学运算、数学抽象及逻辑 推理素养. 自主梳理 1.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 (1)两直线的交点 点 P 的坐标既满足直线 l1的方程 A1xB1yC10， 也满足直线 l2的方程 A2xB2y C20，即点 P 的坐标是方程组 A 1xB1yC10， A2xB2yC20
2、 的解，解这个方程组就可以 得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系 方程组 A 1xB1yC10， A2xB2yC20 的解 一组 无数组 无解 直线 l1与 l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线 l1与 l2的位置关系 相交 重合 平行 如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线 方程所组成方程组的解. 2.两点间的距离公式 条件 点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|（x2x1）2（y2y1）2 特例 点 P(x，y)到原点 O(0，0)的距离|OP|x2y2 (1)两点间的距离与这两点的先后顺序无关，即上述公式也可写
3、成|P1P2| （x1x2）2（y1y2）2. (2)当 P1P2x 轴(y1y2)时，|P1P2|x2x1|. 当 P1P2y 轴(x1x2)时，|P1P2|y1y2|. 3.利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立 坐标系，用坐 标表示有关的量 第二步：进行 有关代数运算 第三步：把代数 运算的结果“翻 译”成几何结论 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的 解.() (2)无论 m 为何值，xy10 与 x2my30 必相交.() 提示 当 m1 2时两直线平行. (3)式子 x2y2表示平面上的点(x，y)
4、到原点的距离.() (4)当两点 A(x1， y1)， B(x2， y2)都在同一坐标轴上时， 两点间的距离公式仍适用.() 2.直线 xy20 与直线 xy80 的交点坐标为( ) A.(3，5) B.(3，5) C.(3，5) D.(3，5) 答案 C 解析 由 xy20， xy80 解得 x3， y5. 故交点为(3，5). 3.光线从点 A(3，5)射到 x 轴上，经反射以后经过点 B(2，10)，则光线从 A 到 B 所经路径的长度为( ) A.5 2 B.2 5 C.5 10 D.10 5 答案 C 解析 点 A 关于 x 轴的对称点为 A(3，5)， |AB| （32）2（510
5、）25 10， 由光的反射理论可知， 此即为光线从 A 到 B 所经路径的长度. 4.已知 A(2，3)，B(2，3)，则|AB|_. 答案 6 解析 |AB| 2（2）23（3）26. 题型一 两直线的交点问题 【例 1】 求经过两直线 l1：3x4y20 和 l2：2xy20 的交点且过坐标原 点的直线 l 的方程. 解 法一 由方程组 3x4y20， 2xy20， 解得 x2， y2， 即 l1与 l2的交点坐标为(2，2). 直线过坐标原点，其斜率 k 2 21. 故直线方程为 yx，即 xy0. 法二 l2不过原点，可设 l 的方程为 3x4y2(2xy2)0(R)，即(3 2)x(
6、4)y220.将原点坐标(0，0)代入上式，得 1， 直线 l 的方程为 5x5y0，即 xy0. 思维升华 求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法： (1)先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解. (2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2y C20 有交点，则过 l1与 l2交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2y C2)0( 为待定常数，不包括直线 l2)，设出方程后再利用其他条件求解. 【训练 1】 求经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 P，且与直 线 l3：3x4y50
7、垂直的直线 l 的方程. 解 法一 由方程组 x2y40， xy20 得 x0， y2，即 P(0，2). ll3，l3的斜率为3 4，kl 4 3， 直线 l 的方程为 y4 3x2，即 4x3y60. 法二 直线 l 过直线 l1和 l2的交点， 可设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420. l 与 l3垂直， 3(1)(4)(2)0，11， 直线 l 的方程为 12x9y180，即 4x3y60. 题型二 两点间距离公式的应用 【例 2】 (1)已知点 A(3，4)，B(2， 3)，在 x 轴上找一点 P，使|PA|PB|，并 求|PA|的值； (2)已知A
8、BC 三顶点坐标 A(3，1)，B(3，3)，C(1，7)，试判断ABC 的形 状. 解 (1)设点 P 的坐标为(x，0)，则有 |PA|（x3）2（04）2 x26x25， |PB|（x2）2（0 3）2 x24x7. 由|PA|PB|，得 x26x25x24x7， 解得 x9 5. 故所求点 P 的坐标为 9 5，0 . |PA| 9 53 2 （04）22 109 5 . (2)法一 |AB|（33）2（31）22 13， |AC|（13）2（71）22 13， 又|BC|（13）2（73）22 26， |AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|， ABC 是等腰直角三角形. 法
9、二 kAC 71 1（3） 3 2，kAB 31 3（3） 2 3， 则 kAC kAB1，ACAB. 又|AC|（13）2（71）22 13， |AB| （33）2（31）22 13， |AC|AB|.ABC 是等腰直角三角形. 思维升华 平面上两点间的距离公式的应用类型 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐 标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解. (2)利用两点间距离公式可以判定三角形的形状.从三边长入手， 如果边长相等， 则 可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形. 【训练 2】 (1)已知点 A(3，6)，
10、在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 10，求点 P 的坐标. (2)已知点 A(2，1)，B(4，3)，C(0，5)，求证：ABC 是等腰三角形. (1)解 设点 P 的坐标为(x，0)， 由|PA|10，得 （x3）2（06）210， 解得：x11 或 x5. 所以点 P 的坐标为(5，0)或(11，0). (2)证明 |AB|（42）2（31）22 2， |AC|（02）2（51）22 5， |BC|（04）2（53）22 5， |AC|BC|. 又点 A，B，C 不共线， ABC 是等腰三角形. 题型三 坐标法的应用 【例 3】 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 证
11、明 如图，以 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角 坐标系，其中 D，E 分别为边 AC 和 BC 的中点. 设 A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)， 则|AB|c|. 又由中点坐标公式， 得 D m 2， n 2 ，E cm 2 ，n 2 ， |DE| cm 2 m 2 c 2 ， |DE|1 2|AB|， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 思维升华 用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建 立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时 必须“避繁就简”. 【训练 3】 已知：等腰梯形 ABCD 中，ABDC，对角
12、线为 AC 和 BD. 求证：|AC|BD|. 证明 如图所示，建立直角坐标系，设 A(0，0)，B(a，0)，C(b， c)，则点 D 的坐标是(ab，c). |AC| （b0）2（c0）2 b2c2， |BD| （aba）2（c0）2 b2c2. 故|AC|BD|. 1.一个等价条件两直线相交的等价条件 方程组 A 1xB1yC10， A2xB2yC20 有唯一解的等价条件是 A1B2A2B10， 亦即两条直线 相交的等价条件是 A1B2A2B10.直线 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R) 是过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 交点的直线(不含 l2). 2.一个方法解析法又称坐标法 解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替 曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.