1、2.2 直线的方程直线的方程 2.2.1 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 课标要求 素养要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直 线的点斜式方程与斜截式方程. 2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有 关问题. 通过推导直线的点斜式及斜截 式方程的过程，提升逻辑推理 及数学抽象素养. 自主梳理 1.直线的点斜式方程 点斜式 已知条件 点 P(x0，y0)和斜率 k 图示 方程形式 yy0k(xx0) 适用条件 斜率存在 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式. (2)点斜式方程中的点只要是这条直线上的点，哪一个都可以. (3)当直线与 x 轴平行或
2、重合时， 方程可简写为 yy0.特别地， x 轴的方程是 y0； 当直线与 y 轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成 xx0.特别 地，y 轴的方程是 x0. 2.直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b 图示 方程形式 ykxb 适用条件 斜率存在 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负 数和 0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为 0. (3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距，如直线 y2x1 的斜 率 k2，纵截距为1. 自主检验
3、1.思考辨析，判断正误 (1)对于直线的点斜式方程 yy0k(xx0)也可写成 kyy 0 xx0.() 提示 前者含点(x0，y0)，后者不含点(x0，y0). (2)直线 y3k(x1)恒过定点(1，3).() (3)直线 ykxb 在 y 轴上的截距为 b.() 提示 当 x0 时，在 y 轴上的截距为b. (4)直线 y23(x1)的斜率是 3.() 2.已知直线的方程是 y2x1，则( ) A.直线经过点(2，1)，斜率为1 B.直线经过点(1，2)，斜率为1 C.直线经过点(2，1)，斜率为 1 D.直线经过点(1，2)，斜率为1 答案 D 解析 直线方程 y2x1 可化为 y(2
4、)x(1)，所以过定点(1， 2)，斜率为1. 3.经过点(1，1)，且斜率是直线 y 2 2 x2 的斜率的 2 倍的直线方程是( ) A.x1 B.y1 C.y1 2(x1) D.y12 2(x1) 答案 C 解析 由题意知所求直线斜率为 2，故由点斜式知所求直线方程为 y1 2(x 1). 4.已知直线 l 的点斜式方程为 y1x1， 那么直线 l 的斜率为_， 倾斜角 为_，在 y 轴上的截距为_. 答案 1 45 0 题型一 求直线的点斜式方程 【例 1】 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点 A(4，3)，斜率 k3； (2)经过点 B(1，4)，倾斜角为 135 ； (
5、3)过点 C(1，2)，且与 y 轴平行； (4)过点 D(2，1)和 E(3，4). 解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y33x(4). (2)由题意知，直线的斜率 ktan 135 1，故所求直线的点斜式方程为 y4 x(1). (3)直线与 y 轴平行，斜率不存在，直线的方程不能用点斜式表示.由于直线 上所有点的横坐标都是1， 故这条直线的方程为 x1. (4)直线过点 D(2，1)和 E(3，4)， 斜率 k41 32 5. 故所求直线的点斜式方程为 y15(x2). 思维升华 求直线的点斜式方程的思路 特别提醒 只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程. 【训练 1】 根
6、据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点 A(2，5)，斜率是 4； (2)经过点 B(2，3)，倾斜角是 45 ； (3)经过点 C(1，1)，与 x 轴平行. 解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为 y54(x2). (2)直线的斜率 ktan 45 1， 直线的点斜式方程为 y3x2. (3)y1. 题型二 求直线的斜截式方程 【例 2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5； (2)倾斜角为 150 ，在 y 轴上的截距是2； (3)倾斜角为 60 ，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3. 解 (1)由直线方程的斜截式可知， 所求直
7、线方程为 y2x5. (2)倾斜角 150 ，斜率 ktan 150 3 3 . 由斜截式可得方程为 y 3 3 x2. (3)直线的倾斜角为 60 ，其斜率 ktan 60 3. 直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3， 直线在 y 轴上的截距 b3 或 b3. 所求直线的斜截式方程为 y 3x3 或 y 3x3. 思维升华 直线的斜截式方程的求解策略： (1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在 y 轴上的截距，代入方程即 可. (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线的斜 截式方程. 【训练 2】 写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是 3，在
8、 y 轴上的截距是3； (2)直线倾斜角是 60 ，在 y 轴上的截距是 5； (3)直线在 x 轴上的截距为 4，在 y 轴上的截距为2. 解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为 y3x3. (2)ktan 60 3，所求直线的斜截式方程为 y 3x5. (3)直线在 x 轴上的截距为 4，在 y 轴上的截距为2， 直线过点(4，0)和(0，2). k20 04 1 2， 所求直线的斜截式方程为 y1 2x2. 题型三 点斜式、斜截式方程的综合应用 角度 1 利用直线方程求平行与垂直的条件 【例 31】 (1)当 a 为何值时，直线 l1：yx2a 与直线 l2：y(a22)x2 平行
9、？ (2)当 a 为何值时，直线 l1：y(2a1)x3 与直线 l2：y4x3 垂直？ 解 (1)由 a221，且 2a2，解得 a1.故当 a1 时，l1l2. (2)由 4(2a1)1，解得 a3 8.故当 a 3 8时，l1l2. 角度 2 直线过定点问题 【例 32】 求证：不论 m 为何值，直线 l：y(m1)x2m1 总过第二象限. 证明 法一 直线 l 的方程可化为 y3(m1)(x2)， 直线 l 过定点(2，3). 由于点(2，3)在第二象限，故直线 l 总过第二象限. 法二 直线 l 的方程可化为 m(x2)(xy1)0. 令 x20， xy10，解得 x2， y3. 无
10、论 m 取何值，直线 l 总经过点(2，3). 点(2，3)在第二象限，直线 l 总过第二象限. 思维升华 (1)若 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则 l1l2k1k2且 b1b2， l1l2k1k21. (2)证明直线过定点的基本方法：方法一点斜式的应用，方法二代数方法处理恒成 立问题的基本思想. 【训练 3】 已知直线 l1：y3m 8 x103m 8 和 l2：6myx4，问 m 为何值 时，l1与 l2平行或垂直？ 解 当 m0 时，l1：8y100；l2：x40，l1与 l2垂直； 当 m0 时，l2的方程可化为 y 1 6mx 2 3m. 由3m 8 1 6m得 m 2
11、3； 由103m 8 2 3m，得 m 2 3或 m 8 3， 3m 8 1 6m 1 无解. 故当 m2 3时，l1 与 l2平行； 当 m0 时，l1与 l2垂直. 1.一个依据建立点斜式方程的依据 建立点斜式方程的依据是：直线上任一点 P(x，y)与这条直线上一个定点 P0(x0， y0)的连线的斜率相同，故有yy 0 xx0k，此式是不含点 P0(x0，y0)的两条反向射线的 方程，必须化为 yy0k(xx0)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不 能用点斜式表示，此时方程为 xx0. 2.一个关系斜截式方程与点斜式方程的关系 斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为 k 的直线 yb k(x0)，即 ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个 y，其系数是 1；等号 的另一端是 x 的一次式， 而不一定是 x 的一次函数(k0 时).如 yc 是直线的斜截 式方程，而 2y3x4 不是直线的斜截式方程.