1、2.3.3 点到直线的距离公式点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 课标要求 素养要求 1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行 直线间的距离公式. 2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离. 通过研究点到直线及两平行线 间的距离公式，提升数学抽象、 数学运算及逻辑推理素养. 自主梳理 1.点到直线的距离 (1)概念：点 P 到直线 l 的距离，就是从点 P 到直线 l 的垂线段 PQ 的长度，其中 Q 是垂足. (2)公式：点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0(A，B 不同时为 0)的距离 d |Ax0By0C| A2B2 . 可以验证，当 A
2、0 或 B0 时，上述公式仍然成立. (1)运用公式前首先应把直线方程化为一般式. (2)注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标(x0，y0)代入直线方程的左边得到 的.当 A0，或 B0 时，上述公式仍然成立. 2.两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式：两条平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20(A，B 不同时为 0，C1C2)之间的距离 d |C1C2| A2B2. 两条平行线间距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且 x，y 分别对应的 系数相等的情况，如果两平行直线的方程中 x，y 的系数对应
3、不同，必须先等价化 为系数对应相同才能套用公式. 自主检验 1.思考辨析，判断正误 (1)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx 0b| 1k2.() 提示 点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为 d|kx 0y0b| 1k2 ，即先将直线方程化 为一般式后再运用点到直线的距离公式. (2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.() (3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两 条直线上各取一点的最短距离.() (4)点 P(x0，y0)到直线 l1：ya 的距离为 d|y0a|.() 2.原点到直线 x2y50 的距离为(
4、) A.1 B. 3 C.2 D. 5 答案 D 解析 d |5| 1222 5. 3.两平行直线 xy20 与 xy30 间的距离等于( ) A.5 2 2 B. 2 2 C.5 2 D. 2 答案 A 解析 d|2（3）| 1212 5 2 2 . 4.已知点(a，1)到直线 xy10 的距离为 1，则 a 的值为_. 答案 2 解析 由题意知 |a11| 12（1）21，即|a| 2，a 2. 题型一 点到直线的距离 【例 1】 求过点 P(1，2)且与点 A(2，3)，B(4，5)的距离相等的直线 l 的方程. 解 法一 由题意知 kAB4，线段 AB 的中点为 C(3，1)，所以过点
5、 P(1，2) 与直线 AB 平行的直线方程为 y24(x1)，即 4xy60.此直线符合题意. 过点 P(1，2)与线段 AB 中点 C(3，1)的直线方程为 y2 12 x1 31，即 3x2y7 0.此直线也符合题意. 故所求直线 l 的方程为 4xy60 或 3x2y70. 法二 显然所求直线的斜率存在， 设直线方程为 ykxb， 根据条件得 2kb， |2k3b| k21 |4k5b| k21 ， 化简得 kb2， k4 或 kb2， 3kb10， 所以 k4， b6 或 k3 2， b7 2. 所以所求直线 l 的方程为：y4x6 或 y3 2x 7 2， 即 4xy60 或 3x
6、2y70. 思维升华 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先 化成一般式再用公式；直线方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)中 A0 或 B0 时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合 法求点到直线的距离. 【训练 1】 已知点(a，2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a( ) A. 2 B.2 2 C. 21 D. 21 答案 C 解析 由点到直线的距离公式得： |a23| 12（1）2 |a1| 2 1，|a1| 2. a0，a 21.故选 C. 题型二 两平行线间的距离 【例 2】 (1)求两平行直线 l1：3x5
7、y10 和 l2：6x10y50 间的距离； (2)求与两条平行直线 l1：2x3y40 与 l2：2x3y20 距离相等的直线 l 的 方程. 解 (1)由题意，将 l2的方程化为 3x5y5 20， d 15 2 3252 3 2 34 3 34 68 . (2)由题意设所求直线 l 的方程为 2x3yC0(C4 且 C2). 由直线 l 与两条平行线的距离相等， 得 |C4| 22（3）2 |C2| 22（3）2， 即|C4|C2|， 解得 C1. 故直线 l 的方程为 2x3y10. 思维升华 求两平行线间的距离， 一般是直接利用两平行线间的距离公式.若直线 l1： ykxb1， l2
8、：ykxb2(b1b2)，则 d|b 1b2| k21；若直线 l 1：AxByC10， l2：AxByC20(A，B 不全为 0 且 C1C2)，则 d |C1C2| A2B2.但必须注意两直线 方程中 x，y 的系数分别对应相等. 【训练 2】 (1)求与直线 l：5x12y60 平行且到 l 的距离为 2 的直线方程； (2)两平行直线 l1，l2分别过 P1(1，0)，P2(0，5)，若 l1与 l2的距离为 5，求两直线 方程. 解 (1)设所求直线的方程为 5x12yC0(C6)， 由两平行直线间的距离公式，得 2 |C6| 52（12）2， 解得 C32 或 C20， 故所求直线
9、的方程为 5x12y320 或 5x12y200. (2)依题意得，两直线的斜率都存在， 设 l1：yk(x1)，即 kxyk0， l2：ykx5，即 kxy50. 因为 l1与 l2的距离为 5， 所以|k5| k21 5，解得 k0 或 5 12. 所以 l1和 l2的方程分别为 y0 和 y5 或 5x12y50 和 5x12y600. 题型三 利用距离公式解决最值问题 【例 3】 两条互相平行的直线分别过 A(6，2)和 B(3，1)两点，如果两条平 行直线间的距离为 d，求： (1)d 的取值范围； (2)当 d 取最大值时，两条直线的方程. 解 (1)如图，当两条平行直线与 AB
10、垂直时，两平行直线间 的距离最大，为 d|AB|（63）2（21）23 10； 当两条平行线各自绕点 B， A 逆时针旋转时， 距离逐渐变小， 越来越接近于 0，所以 0d3 10， 即所求的 d 的取值范围是(0，3 10. (2)当 d 取最大值 3 10时，两条平行线都垂直于 AB， 它们的斜率 k 1 kAB 1 2（1） 6（3） 3. 故所求的直线方程分别为 y23(x6)和 y13(x3)， 即 3xy200 和 3xy100. 思维升华 通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而 两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况， 从而求出
11、两平行线间的距离的取值范围. 【训练 3】 (1)动点 P(x，y)在直线 xy40 上，O 为原点，求|OP|最小时点 P 的坐标； (2)求过点 P(1，2)且与原点距离最大的直线方程. 解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时 OP 垂直于 已知直线，则 kOP1， OP 所在的直线方程为 yx. 由 yx， xy40，解得 x2， y2. 点 P 的坐标为(2，2). (2)由题意知，过点 P 且与 OP 垂直的直线到原点 O 的距离最大，kOP2， 所求直线方程为 y21 2(x1)， 即 x2y50. 1.一个范围一个特点点到直线的距离公式的适用范围与特点
12、(1)适用范围： 点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离. (2)结构特点：公式中的分子是用点 P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的 x，y，然后 取绝对值，分母是直线方程中的 x，y 的系数的平方和的算术平方根. 特别提醒 在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式. 2.两点说明两条平行直线间的距离的说明 (1)可以转化为一条直线上的点到另一条直线的距离.这个距离与所选点的位置无 关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点). (2)除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平 行直线间的距离公式 d |C2C1| A2B2，且两直线方程中 x，y 的系数分别相等.