1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1下列说法正确的是( ) A多面体至少有 3 个面 B有 2 个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 答案 D 解析 一个多面体至少有 4 个面，如三棱锥有 4 个面，不存在有 3 个面的多面体，所以选项 A 错误；选项 B 错误，反例如图 1；选项 C 错误，反例如图 2，上、下底面是全等的菱形， 各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项 D 正确故
2、选 D. 2如图，RtOAB是一平面图形的直观图，斜边 OB2，则这个平面图形的面积 是( ) A. 2 2 B1 C. 2 D2 2 答案 D 解析 RtOAB是一平面图形的直观图， 斜边 OB2， 直角三角形的直角边长是 2， 直角三角形的面积是1 2 2 21， 原平面图形的面积是 12 22 2. 3已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m，n，则( ) Aml Bmn Cnl Dmn 答案 C 解析 选项 A，只有当 m 或 m 时，ml； 选项 B，只有当 m 时，mn； 选项 C，由于 l，nl； 选项 D，只有当 m 或 m 时，mn. 4.我国古代九章算
3、术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈， 上广三丈，袤四丈，高三丈问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所 示)，下底宽 2 丈，长 3 丈，上底宽 3 丈，长 4 丈，高 3 丈问它的体积是多少？该书提供的 算法是：上底长的 2 倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的 2 倍与上底长的和与下底 宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以 6.则这个问题中的刍童的体积为( ) A13.25 立方丈 B26.5 立方丈 C53 立方丈 D106 立方丈 答案 B 解析 由题意知，刍童的体积为(4 23) 3(3 24) 23 626.5(立方丈) 5.如
4、图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切 球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现， 则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( ) A.3 2， 3 2 B. 4 3，1 C. 3 2，1 D. 4 3， 4 3 答案 A 解析 设球的半径为 R， 则圆柱的底面半径为 R，高为 2R， V圆柱R22R2R3，V球4 3R 3， 则V 圆柱 V球 2R 3 4 3R 3 3 2， S圆柱 S圆 6R 2 4R2 3 2. 6在三棱锥 ABCD 中，AC底面 BCD，BDDC，BDDC，ACa，ABC
5、30 ，则 点 C 到平面 ABD 的距离是( ) A. 5 5 a B. 15 5 a C. 3 5 a D. 15 3 a 答案 B 解析 因为 AC底面 BCD，BD平面 BCD，所以 ACBD. 因为 ACBD，BDDC，ACDCC，所以 BD平面 ACD， 又 BD平面 ABD， 所以平面 ABD平面 ACD， 如图，过 C 作 CEAD，平面 ABD平面 ACDAD，CE平面 ACD， 所以 CE平面 ABD，ACa，BC 3a，CD 6 2 a， 所以 CEAC CD AD a 6 2 a 6 2 a 2a2 15 5 a. 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是
6、 AB，BB1的中点，则直线 MN 与平面 A1BC1 所成角的余弦值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C. 3 3 D.1 3 答案 C 解析 设正方体的棱长为 2a，如图，连接 AC，BD，交于点 O，连接 ON，OM，DB1，易证 B1D平面 A1BC1，而 ONB1D，故ONM 就是直线 MN 与平面 A1BC1所成角的余角又 OMN 为直角三角形且 OMa， MN 2a， OMN90 ， 所以 tanONM 2 2 ， sinONM 3 3 .设直线 MN 与平面 A1BC1所成的角为 ，则 cos 3 3 ，故选 C. 8已知 A，B 是球 O 的球面上的两点，AOB90 ，点
7、 C 为该球面上的动点，若三棱锥 O ABC 体积的最大值为4 3，则球 O 的表面积为( ) A16 B36 C64 D144 答案 A 解析 如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大， 设球 O 的半径为 R，此时 VOABCVCAOB1 3 1 2R 2R1 6R 34 3，所以 R2. 因此，球 O 的表面积为 4R216. 故选 A. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的 得 3 分，有选错的得 0 分) 9.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D
8、1，C1C 的中点，则下列四 个结论正确的是( ) A直线 AM 与 CC1是相交直线 B直线 AM 与 BN 是平行直线 C直线 BN 与 MB1是异面直线 D直线 AM 与 DD1是异面直线 答案 CD 解析 直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故 A，B 错误； 直线 BN 与 MB1是异面直线，直线 AM 与 DD1是异面直线，故 C，D 正确 10一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 2R 相等，则下列结论正 确的是( ) A圆柱的侧面积为 2R2 B圆锥的侧面积为 2R2 C圆柱的侧面积与球的表面积相等 D圆柱、圆锥、球的体积之比
9、为 312 答案 CD 解析 依题意得球的半径为 R，则圆柱的侧面积为 2R2R4R2，A 错误； 圆锥的侧面积为 R 5R 5R2，B 错误； 球的表面积为 4R2，圆柱的侧面积为 4R2，C 正确； V圆柱R2 2R2R3， V圆锥1 3R 2 2R2 3R 3， V球4 3R 3， V圆柱V圆锥V球2R32 3R 34 3R 3312， D 正确故选 CD. 11如图所示，四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD 2，BDCD.将四边形 ABCD 沿 对角线 BD 折成四面体 ABCD， 使平面 ABD平面 BCD， 则下列结论不正确的是( ) AACBD BBAC90 CCA与平面
10、ABD 所成的角为 30 D四面体 ABCD 的体积为1 3 答案 ACD 解析 因为平面 ABD平面 BCD，BDCD，所以 CD平面 ABD，所以 CDBA.由 勾股定理，得 ADBA.又因为 CDADD，所以 BA平面 ACD，所以BAC 90 ，B 正确，其余均不正确 12.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，DAB60 ，侧面 PAD 为正三角形， 且平面 PAD平面 ABCD，则下列说法正确的是( ) A在棱 AD 上存在点 M，使 AD平面 PMB B异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90 C二面角 PBCA 的大小为 45 DBD平面 PAC 答案 AB
11、C 解析 如图，对于 A，取 AD 的中点 M，连接 PM，BM， 侧面 PAD 为正三角形， PMAD，又底面 ABCD 是菱形，DAB60 ， ABD 是等边三角形， ADBM，又 PMBMM，PM，BM平面 PMB， AD平面 PBM，故 A 正确 对于 B，AD平面 PBM， ADPB，即异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90 ， 故 B 正确 对于 C，BCAD， BC平面 PBM，BCPB，BCBM， PBM 是二面角 PBCA 的平面角，设 AB1， 则 BM 3 2 ，PM 3 2 ， 平面 PAD平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCDAD， PM平面 PAD， PM
12、AD， PM 平面 ABCD， 在 RtPBM 中，tan PBMPM BM1， 即PBM45 ，故二面角 PBCA 的大小为 45 ， 故 C 正确 对于 D，因为 BD 与 PA 不垂直，所以 BD 与平面 PAC 不垂直，故 D 错误 故选 ABC. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13如果用半径 R2 3的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是_ 答案 3 解析 设圆锥筒的底面半径为 r，则 2rR2 3， 则 r 3，所以圆锥筒的高 h R2r22 32 323. 14已知平面 ， 和直线 m，给出条件：m；m；m；.当满足条件 _时，有 m.
13、 答案 15 空间四边形 ABCD 中， 平面 ABD平面 BCD， BAD90 ， BCD90 ， 且 ABAD， 则 AC 与平面 BCD 所成的角是_ 答案 45 解析 如图所示，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO. 因为 ABAD，所以 AOBD，又平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，AO 平面 ABD， 所以 AO平面 BCD. 因此，ACO 即为 AC 与平面 BCD 所成的角 由于BAD90 BCD，所以 AOOC1 2BD， 又 AOOC，所以ACO45 . 16已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是32 3 ，那 么这个三
14、棱柱的侧面积为_，体积是_ 答案 48 3 48 3 解析 设球的半径为 r， 则4 3r 332 3 ， 得 r2，柱体的高为 2r4. 又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等， 所以底面正三角形的边长为 4 3， 所以正三棱柱的侧面积 S侧344 348 3， 体积 V 3 4 (4 3)2448 3. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17.(10 分)如图，三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为 6 cm，底面三角形的边长 分别为 3 cm,4 cm,5 cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体 的体积 V. 解 1 1 1
15、ABCABC V 三棱柱 1 234636(cm 3) 设圆柱底面圆的半径为 r， 则 r 2SABC ABBCAC 21 234 345 1， 1 OO V圆柱r2h6(cm3) 所以 V 1 1 1 ABCABC V 三棱柱 1 OO V圆柱(366)cm3. 18.(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且 PBPD. (1)求证：BDPC； (2)若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l，求证：BCl. 证明 (1)连接 AC，交 BD 于点 O，连接 PO. 因为四边形 ABCD 为菱形， 所以 BDAC. 又因为 PBPD，O 为 BD 的中点， 所
16、以 BDPO. 因为 POACO， 所以 BD平面 PAC， 因为 PC平面 PAC， 所以 BDPC. (2)因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BCAD. 因为 BC平面 PAD，AD平面 PAD. 所以 BC平面 PAD. 又因为 BC平面 PBC，平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l. 所以 BCl. 19.(12 分)如图，在空间四边形 ABCD 中， H， G 分别是 AD， CD 的中点， E，F 分别是边 AB， BC 上的点，且CF FB AE EB 1 3. 求证：直线 EH，BD，FG 相交于一点 证明 如图所示，连接 EF，GH. H，G 分别是 AD，CD 的中
17、点， GHAC， 且 GH1 2AC. CF FB AE EB 1 3， EFAC，且 EF3 4AC. GHEF，且 GHEF. EH 与 FG 相交，设交点为 P. PEH，EH平面 ABD，P平面 ABD. 同理 P平面 BCD. 又平面 ABD平面 BCDBD， PBD. 直线 EH，BD，FG 相交于一点 20(12 分)如图所示，在四面体 ABCD 中，CBCD，ADBD，点 E，F 分别是 AB，BD 的 中点 求证：(1)直线 EF平面 ACD； (2)平面 EFC平面 BCD. 证明 (1)E，F 分别是 AB，BD 的中点， EF 是ABD 的中位线，EFAD. EF平面
18、ACD，AD平面 ACD， 直线 EF平面 ACD. (2)ADBD，EFAD，EFBD. CBCD，F 是 BD 的中点，CFBD. 又EFCFF，EF，CF平面 EFC， BD平面 EFC. BD平面 BCD，平面 EFC平面 BCD. 21.(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面 PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC 3，CD4，PD2. (1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD平面 PBC； (3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 (1)解 由已知 ADBC，故DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角 AD平面 P
19、DC，PD平面 PDC，ADPD. 在 RtPDA 中，由已知，得 AP AD2PD2 5， 故 cos DAPAD AP 5 5 . 异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 5 5 . (2)证明 AD平面 PDC，直线 PD平面 PDC， ADPD. 又BCAD，PDBC， 又 PDPB，BCPBB，BC，PB平面 PBC， PD平面 PBC. (3)解 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连接 PF， 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影， DFP 为直线 DF 和平面 PB
20、C 所成的角 由于 ADBC，DFAB，可得 BFAD1. 由已知，得 CFBCBF2. 又 ADDC，故 BCDC. 在 RtDCF 中，可得 DF CD2CF22 5. 在 RtDPF 中，可得 sinDFPPD DF 5 5 . 直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 5 . 22(12 分)如图所示，在长方形 ABCD 中，AB2，AD1，E 为 CD 的中点，以 AE 为折痕， 把DAE 折起到DAE 的位置，且平面 DAE平面 ABCE. (1)求证：ADBE； (2)求四棱锥 DABCE 的体积； (3)在棱 ED上是否存在一点 P，使得 DB平面 PAC，若存在，求出
21、点 P 的位置；若不存 在，请说明理由 (1)证明 根据题意可知，在长方形 ABCD 中，DAE 和CBE 为等腰直角三角形，DEA CEB45 ， AEB90 ，即 BEAE. 平面 DAE平面 ABCE，且平面 DAE平面 ABCEAE，BE平面 ABCE， BE平面 DAE， AD平面 DAE， ADBE. (2)解 如图所示，取 AE 的中点 F，连接 DF，则 DFAE，且 DF 2 2 . 平面 DAE平面 ABCE， 且平面 DAE平面 ABCEAE，DF平面 DAE， DF平面 ABCE， VDABCE1 3S 四边形ABCE DF 1 3 1 2(12)1 2 2 2 4 . (3)解 连接 AC 交 BE 于 Q，假设在 DE 上存在点 P，使得 DB平面 PAC，连接 PQ. DB平面 DBE，平面 DBE平面 PACPQ， DBPQ， 在EBD中， EP PD EQ QB. CEQABQ， EQ QB EC AB 1 2， EP PD EQ QB 1 2，即 EP 1 3ED， 在棱 ED上存在一点 P，且 EP1 3ED， 使得 DB平面 PAC.