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第八章 立体几何初步 单元检测试卷(含答案)

1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.如图 RtOAB是一平面图形的直观图,斜边 OB2,则这个平面图形的面积 是( ) A. 2 2 B.1 C. 2 D.2 2 解析 RtOAB是一平面图形的直观图,斜边 OB2, RtOAB的直角边长是 2, RtOAB的面积是1 2 2 21, 原平面图形的面积是 12 22 2.故选 D. 答案 D 2.在空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点,如 果 EF,HG 交于一点 P,则(

2、 ) A.点 P 一定在直线 BD 上 B.点 P 一定在直线 AC 上 C.点 P 一定在直线 AC 或 BD 上 D.点 P 既不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上 解析 如图, PHG,HG平面 ACD, P平面 ACD. 同理,P平面 BAC.平面 BAC平面 ACDAC, PAC.故选 B. 答案 B 3.如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1中,VA1BCD( ) A.60 B.30 C.20 D.10 解析 VA1BCD1 3 1 235410. 答案 D 4.如图,在正四面体 DABC 中,P平面 DBA,则在平面 DAB 内过点 P 与直线 BC 成 60 角的直线共有

3、( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条 解析 过点 P 分别作 BD,AB 的平行线,这两条直线都符合题意. 答案 C 5.底面半径为 3,母线长为 2 的圆锥的外接球 O 的表面积为( ) A.6 B.12 C.8 D.16 解析 由题意,圆锥轴截面的顶角为 120 ,设该圆锥的底面圆心为 O,球 O 的 半径为 R,则 OOR1,由勾股定理可得 R2(R1)2( 3)2,R2,球 O 的表面积为 4R216.故选 D. 答案 D 6.E,F,G 分别是空间四边形 ABCD 的棱 BC,CD,DA 的中点,则此四面体中 与过 E,F,G 的截面平行的棱的条数是( ) A.0

4、B.1 C.2 D.3 解析 在ACD 中, G, F 分别为 AD 与 CD 的中点, GFAC.而 GF平面 EFG, AC平面 EFG, AC平面 EFG. 同理,BD平面 EFG.故选 C. 答案 C 7.在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E 为棱 CD 的中点,则( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC 解析 如图,由题设知,A1B1平面 BCC1B1,从而 A1B1BC1,又 B1CBC1, 且A1B1B1CB1, 所以 BC1平面 A1B1CD, 又 A1E平面A1B1CD, 所以 A1EBC1. 答案 C 8.如图,等边三角形 ABC 的边

5、长为 4,M,N 分别为 AB,AC 的中点,沿 MN 将 AMN 折起,使得平面 AMN 与平面 MNCB 所成的二面角为 30 ,则四棱锥 A MNCB 的体积为( ) A.3 2 B. 3 2 C. 3 D.3 解析 如图,作出二面角 AMNB 的平面角AED,AO 为AED 底边 ED 上 的高,也是四棱锥 AMNCB 的高.由题意,得 ED 3,AO 3 2 ,S四边形MNCB1 2 (24) 33 3. V1 3 3 2 3 33 2. 答案 A 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项 中,有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部

6、分选对的得 3 分,有选错的得 0 分) 9.用一张长、宽分别为 8 cm 和 4 cm 的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面,则此正四 棱柱的对角线长为( ) A. 6 cm B.2 6 cm C.32 cm D. 66 cm 解析 分两种情况:(1)以 4 cm 的长为高,则正四棱柱底面是边长为 2 cm 的正方 形,因此对角线长 l1 2222422 6(cm). (2)以 8 cm 长为高,则正四棱柱底面是边长为 1 cm 的正方形,因此对角线长 l2 121282 66(cm). 答案 BD 10.下列命题正确的是( ) A.若一个平面内两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行 B.

7、若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直 C.垂直于同一直线的两条直线相互平行 D.若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也 不垂直 解析 当两个平面相交时,一个平面内的两条平行于它们交线的直线就平行于另 一个平面,故 A 不正确;由平面与平面垂直的判定定理知 B 正确;空间中垂直于 同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面,故 C 不正确;若两个平面垂直, 只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故 D 正确. 答案 BD 11.已知平面 平面 ,l,点 A,Al,若直线 ABl,直线 ACl,直 线 m,m,则( ) A.ABm B

8、.ACm C.AB D.AC 解析 因为 m,m,l,ml,又 ABl,所以 ABm,故 A 正确; 因为 ACl,ml,所以 ACm,故 B 正确; 因为 A,ABl,l,所以 B,所以 AB,l,所以 AB,故 C 正 确; 因为 ACl, 当点 C 在 内时, AC 成立, 当点 C 不在 内时, AC 不成立, 故 D 不正确. 答案 ABC 12.已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ABC 是边长为 1 的正三 角形,SC 为球 O 的直径,且 SC2,则( ) A.三棱锥 SABC 的体积为 2 6 B.三棱锥 SABC 的体积为 2 3 C.三棱锥 OABC

9、的体积为 2 12 D.三棱锥 OABC 的体积为2 2 3 解析 由于三棱锥 SABC 与三棱锥 OABC 的底面都是ABC,O 是 SC 的中 点,因此三棱锥 SABC 的高是三棱锥 OABC 高的 2 倍,所以三棱锥 SABC 的体积也是三棱锥 OABC 体积的 2 倍,在三棱锥 OABC 中,其棱长都为 1, 如图, SABC 3 4 ,高 OD12 3 3 2 6 3 , 则 VOABC1 3 3 4 6 3 2 12,VSABC2VOABC 2 6 . 答案 AC 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设 和 为不重合的两个平面,给出下列命题: 若 内

10、的两条相交直线分别平行于 内的两条直线,则 平行于 ; 若 外的一条直线 l 与 内的一条直线平行,则 l 和 平行; 设 和 相交于直线 l,若 内有一条直线垂直于 l,则 和 垂直. 其中正确命题的序号是_. 解析 由面面平行的判定可知正确;由线面平行的判定可知正确;显然, 错误. 答案 14.一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面 升高 9 厘米,则此球的半径为_厘米. 解析 设球的体积为 V,半径为 R,圆柱水桶的半径为 r,上升的水高为 h,V Shr2h4 3R 3,R3 642712(cm). 答案 12 15.已知四面体 PABC 中,PAPB

11、4,PC2,AC2 5,PB平面 PAC,则 四面体 PABC 外接球的体积为_. 解析 PA4,PC2,AC2 5, 在PAC 中,PA2PC220AC2,可得 APPC, 又PB平面 PAC,PA,PC平面 PAC, PBPA,PAPC. 以 PA,PB,PC 为长、宽、高,作长方体如图所示, 则该长方体的外接球就是四面体 PABC 的外接球. 长方体的体对角线长为 4242226, 长方体外接球的直径 2R6,得 R3, 因此,四面体 PABC 的外接球体积为 V4 3 R336. 答案 36 16.已知二面角 l 为 60 , 动点 P, Q 分别在平面 , 内, P 到 的距离为 3

12、, Q 到 的距离为 2 3,则 P,Q 两点之间距离的最小值为_,此时直线 PQ 与平面 所成的角为_.(本题第一空 3 分,第二空 2 分) 解析 如图, 分别作 QA 于点 A, ACl 于点 C, PB 于点 B, PDl 于点 D, 连接 CQ,BD,则ACQPDB60 ,AQ2 3,BP 3,ACPD2. 又PQ AQ2AP2 12AP22 3,当且仅当 AP0,即点 A 与点 P 重合 时取最小值,此时,PQ平面 ,故 PQ 与平面 所成的角为 90 . 答案 2 3 90 四、解答题(本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)如图

13、, 四棱锥PABCD中, 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, ABBC1 2AD,BADABC90 . (1)证明:直线 BC平面 PAD; (2)若PCD 面积为 2 7,求四棱锥 PABCD 的体积. (1)证明 底面 ABCD 中,BADABC90 , BCAD,又 AD平面 PAD,BC平面 PAD, BC平面 PAD. (2)解 取 AD 的中点 M,连接 PM,CM,由 ABBC1 2AD 及 BCAD,ABC 90 得四边形 ABCM 为正方形,则 CMAD. 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,平面 PAD平面 ABCDAD, PM平面 PAD,所以

14、 PMAD,PM底面 ABCD.因为 CM底面 ABCD,所以 PMCM. 设 BCx,则 CMx,CD 2x,PM 3x,PCPD2x.取 CD 的中点 N,连 接 PN,则 PNCD,所以 PN 14 2 x. 因为PCD 的面积为 2 7, 所以1 2 2x 14 2 x2 7, 解得 x2(舍去),x2. 于是 ABBC2,AD4,PM2 3. 所以四棱锥 PABCD 的体积 V1 3 2(24) 2 2 34 3. 18.(12 分)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,E,F 分别为 A1C1和 BC 的中点. (1)求证:EF平面 AA1B1B; (2)若 AA13,AB2 3

15、,求 EF 与平面 ABC 所成的角. (1)证明 如图,取 A1B1的中点 D,连接 DE,BD. 因为 E 是 A1C1的中点,所以 DE 綉1 2B1C1. 又因为 BC 綉 B1C1,BF1 2BC, 所以 DE 綉 BF. 所以四边形 BDEF 为平行四边形. 所以 BDEF. 又因为 BD平面 AA1B1B,EF平面 AA1B1B, 所以 EF平面 AA1B1B. (2)解 如图,取 AC 的中点 H,连接 HF,EH. 因为 EHAA1,AA1平面 ABC, 所以 EH平面 ABC. 所以EFH 就是 EF 与平面 ABC 所成的角. 在 RtEHF 中,FH 3,EHAA13,

16、 所以 tanEFHEH FH 3, 所以EFH60 . 故 EF 与平面 ABC 所成的角为 60 . 19.(12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,BAD60 ,N 是 PB 的中点,E 为 AD 的中点,过 A,D,N 的平面交 PC 于点 M. 求证:(1)EN平面 PDC; (2)BC平面 PEB; (3)平面 PBC平面 ADMN. 证明 (1)ADBC,BC平面 PBC, AD平面 PBC, AD平面 PBC.又平面 ADMN平面 PBCMN, ADMN.又ADBC,MNBC. 又N 为

17、 PB 的中点,M 为 PC 的中点,MN1 2BC. E 为 AD 的中点,DE1 2AD 1 2BCMN, DE 綉 MN,四边形 DENM 为平行四边形, ENDM.又EN平面 PDC,DM平面 PDC, EN平面 PDC. (2)四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形, 且BAD60 , E 为 AD 中点, BEAD. 又PEAD,PEBEE,PE,BE平面 PEB, AD平面 PEB. ADBC,BC平面 PEB. (3)由(2)知 ADPB. 又PAAB,且 N 为 PB 的中点,ANPB. ADANA,AD,AN平面 ADMN,PB平面 ADMN. 又PB平面 PBC, 平面

18、PBC平面 ADMN. 20.(12 分)如图, 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中, 底面是边长为 2的正方形, AA1 3,点 E 在棱 B1B 上运动. (1)证明:ACD1E; (2)若三棱锥 B1A1D1E 的体积为2 3,求异面直线 AD,D1E 所成的角. (1)证明 如图所示:连接 BD, 四边形 ABCD 是正方形, ACBD. 四棱柱 ABCDA1B1C1D1是直棱柱,B1B平面 ABCD. AC平面 ABCD, B1BAC. BDB1BB,BD,B1B平面 B1BDD1, AC平面 B1BDD1. D1E平面 B1BDD1,ACD1E. (2)解 VB1A1D1EVE

19、A1B1D1,EB1平面 A1B1C1D1, VEA1B1D11 3SA1B1D1 EB1. SA1B1D11 2A1B1 A1D11, VEA1B1D11 3EB1 2 3. EB12.ADA1D1, A1D1E 为异面直线 AD,D1E 所成的角或其补角. 在 RtEB1D1中,求得 ED12 2. D1A1平面 A1ABB1,A1E平面 A1ABB1, D1A1A1E. 在 RtEA1D1中,得 cosA1D1E 2 2 2 1 2, A1D1E60 . 异面直线 AD,D1E 所成的角为 60 . 21.(12 分)如图, 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中, ABCD, ABBCC

20、C12CD, E 为线段 AB 的中点,F 是线段 DD1上的动点. (1)求证:EF平面 BCC1B1; (2)若BCDC1CD60 ,且平面 D1C1CD平面 ABCD,求平面 BCC1B1与平 面 DC1B1所成角(锐角)的余弦值. (1)证明 如图,连接 DE,D1E. ABCD,AB2CD,E 是 AB 的中点, BECD,BECD, 四边形 BCDE 是平行四边形,DEBC. 又 DE平面 BCC1B1,BC平面 BCC1B1, DE平面 BCC1B1. DD1CC1,DD1平面 BCC1B1, CC1平面 BCC1B1,D1D平面 BCC1B1. 又 D1DDED,DE,D1D平

21、面 DED1, 平面 DED1平面 BCC1B1. EF平面 DED1,EF平面 BCC1B1. (2)解 如图,连接 BD. 设 CD1,则 ABBCCC12. BCD60 , BD BC2CD22BC CD cos 60 3. CD2BD2BC2,BDCD. 同理可得,C1DCD. 平面 D1C1CD平面 ABCD,平面 D1C1CD平面 ABCDCD,C1D平面 D1C1CD, C1D平面 ABCD, BC平面 ABCD,C1DBC,C1DB1C1. 在平面 ABCD 中,过点 D 作 DHBC,垂足为 H,连接 C1H,如图. C1DDHD,BC平面 C1DH. C1H平面 C1DH,

22、BCC1H,B1C1C1H, DC1H 为平面 BCC1B1与平面 DC1B1所成的角. 在 RtC1CD 中,C1D 3, 在 RtBCD 中,DHCD sin 60 3 2 , 在 RtC1DH 中,C1H C1D2DH2 15 2 , cos DC1HC1D C1H 2 5 5 . 平面 BCC1B1与平面 DC1B1所成的角(锐角)的余弦值为2 5 5 . 22.(12 分)如图,已知三棱柱 ABCABC的侧棱垂直于底面,ABAC,BAC 90 ,点 M,N 分别为 AB 和 BC的中点. (1)证明:MN平面 AACC; (2)设 ABAA,当 为何值时,CN平面 AMN?试证明你的

23、结论. (1)证明 如图,设 AB的中点为 E,连接 EM,EN, 点 M,N 分别为 AB 和 BC的中点, NEAC,MEAA, 又AC平面 ACCA,AA平面 ACCA,NE平面 ACCA,ME平面 ACCA, NE平面 ACCA,ME平面 ACCA. NEMEE,NE平面 EMN,ME平面 EMN, 平面 EMN平面 ACCA. MN平面 EMN,MN平面 ACCA. (2)解 如图,连接 BN,设 AAa,ABAAa, 由题意知,BC 2a,BNCN CC2CN2a21 2 2a2. 三棱柱 ABCABC侧棱垂直于底面, 平面 ABC平面 BBCC. ABAC,BAC90 ,点 N 为 BC的中点, ANBC. 又平面 ABC平面 BBCCBC,AN平面 ABC, AN平面 BBCC,又 CN平面 BBCC, CNAN. 要使 CN平面 AMN,只需 CNBN 即可, CN2BN2BC2,即 2(a21 2 2a2)22a2, 2, 则 2时,CN平面 AMN.