1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.如图 RtOAB是一平面图形的直观图，斜边 OB2，则这个平面图形的面积 是( ) A. 2 2 B.1 C. 2 D.2 2 解析 RtOAB是一平面图形的直观图，斜边 OB2， RtOAB的直角边长是 2， RtOAB的面积是1 2 2 21， 原平面图形的面积是 12 22 2.故选 D. 答案 D 2.在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取 E，F，G，H 四点，如 果 EF，HG 交于一点 P，则(
2、 ) A.点 P 一定在直线 BD 上 B.点 P 一定在直线 AC 上 C.点 P 一定在直线 AC 或 BD 上 D.点 P 既不在直线 AC 上，也不在直线 BD 上 解析 如图， PHG，HG平面 ACD， P平面 ACD. 同理，P平面 BAC.平面 BAC平面 ACDAC， PAC.故选 B. 答案 B 3.如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，VA1BCD( ) A.60 B.30 C.20 D.10 解析 VA1BCD1 3 1 235410. 答案 D 4.如图，在正四面体 DABC 中，P平面 DBA，则在平面 DAB 内过点 P 与直线 BC 成 60 角的直线共有
3、( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条 解析 过点 P 分别作 BD，AB 的平行线，这两条直线都符合题意. 答案 C 5.底面半径为 3，母线长为 2 的圆锥的外接球 O 的表面积为( ) A.6 B.12 C.8 D.16 解析 由题意，圆锥轴截面的顶角为 120 ，设该圆锥的底面圆心为 O，球 O 的 半径为 R，则 OOR1，由勾股定理可得 R2(R1)2( 3)2，R2，球 O 的表面积为 4R216.故选 D. 答案 D 6.E，F，G 分别是空间四边形 ABCD 的棱 BC，CD，DA 的中点，则此四面体中 与过 E，F，G 的截面平行的棱的条数是( ) A.0
4、B.1 C.2 D.3 解析 在ACD 中， G， F 分别为 AD 与 CD 的中点， GFAC.而 GF平面 EFG， AC平面 EFG， AC平面 EFG. 同理，BD平面 EFG.故选 C. 答案 C 7.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC 解析 如图，由题设知，A1B1平面 BCC1B1，从而 A1B1BC1，又 B1CBC1， 且A1B1B1CB1， 所以 BC1平面 A1B1CD， 又 A1E平面A1B1CD， 所以 A1EBC1. 答案 C 8.如图，等边三角形 ABC 的边
5、长为 4，M，N 分别为 AB，AC 的中点，沿 MN 将 AMN 折起，使得平面 AMN 与平面 MNCB 所成的二面角为 30 ，则四棱锥 A MNCB 的体积为( ) A.3 2 B. 3 2 C. 3 D.3 解析 如图，作出二面角 AMNB 的平面角AED，AO 为AED 底边 ED 上 的高，也是四棱锥 AMNCB 的高.由题意，得 ED 3，AO 3 2 ，S四边形MNCB1 2 (24) 33 3. V1 3 3 2 3 33 2. 答案 A 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部
6、分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9.用一张长、宽分别为 8 cm 和 4 cm 的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，则此正四 棱柱的对角线长为( ) A. 6 cm B.2 6 cm C.32 cm D. 66 cm 解析 分两种情况：(1)以 4 cm 的长为高，则正四棱柱底面是边长为 2 cm 的正方 形，因此对角线长 l1 2222422 6(cm). (2)以 8 cm 长为高，则正四棱柱底面是边长为 1 cm 的正方形，因此对角线长 l2 121282 66(cm). 答案 BD 10.下列命题正确的是( ) A.若一个平面内两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行 B.
7、若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直 C.垂直于同一直线的两条直线相互平行 D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也 不垂直 解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条平行于它们交线的直线就平行于另 一个平面，故 A 不正确；由平面与平面垂直的判定定理知 B 正确；空间中垂直于 同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故 C 不正确；若两个平面垂直， 只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故 D 正确. 答案 BD 11.已知平面 平面 ，l，点 A，Al，若直线 ABl，直线 ACl，直 线 m，m，则( ) A.ABm B
8、.ACm C.AB D.AC 解析 因为 m，m，l，ml，又 ABl，所以 ABm，故 A 正确； 因为 ACl，ml，所以 ACm，故 B 正确； 因为 A，ABl，l，所以 B，所以 AB，l，所以 AB，故 C 正 确； 因为 ACl， 当点 C 在 内时， AC 成立， 当点 C 不在 内时， AC 不成立， 故 D 不正确. 答案 ABC 12.已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， ABC 是边长为 1 的正三 角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则( ) A.三棱锥 SABC 的体积为 2 6 B.三棱锥 SABC 的体积为 2 3 C.三棱锥 OABC
9、的体积为 2 12 D.三棱锥 OABC 的体积为2 2 3 解析 由于三棱锥 SABC 与三棱锥 OABC 的底面都是ABC，O 是 SC 的中 点，因此三棱锥 SABC 的高是三棱锥 OABC 高的 2 倍，所以三棱锥 SABC 的体积也是三棱锥 OABC 体积的 2 倍，在三棱锥 OABC 中，其棱长都为 1， 如图， SABC 3 4 ，高 OD12 3 3 2 6 3 ， 则 VOABC1 3 3 4 6 3 2 12，VSABC2VOABC 2 6 . 答案 AC 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题： 若 内
10、的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ； 若 外的一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l 和 平行； 设 和 相交于直线 l，若 内有一条直线垂直于 l，则 和 垂直. 其中正确命题的序号是_. 解析 由面面平行的判定可知正确；由线面平行的判定可知正确；显然， 错误. 答案 14.一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面 升高 9 厘米，则此球的半径为_厘米. 解析 设球的体积为 V，半径为 R，圆柱水桶的半径为 r，上升的水高为 h，V Shr2h4 3R 3，R3 642712(cm). 答案 12 15.已知四面体 PABC 中，PAPB
11、4，PC2，AC2 5，PB平面 PAC，则 四面体 PABC 外接球的体积为_. 解析 PA4，PC2，AC2 5， 在PAC 中，PA2PC220AC2，可得 APPC， 又PB平面 PAC，PA，PC平面 PAC， PBPA，PAPC. 以 PA，PB，PC 为长、宽、高，作长方体如图所示， 则该长方体的外接球就是四面体 PABC 的外接球. 长方体的体对角线长为 4242226， 长方体外接球的直径 2R6，得 R3， 因此，四面体 PABC 的外接球体积为 V4 3 R336. 答案 36 16.已知二面角 l 为 60 ， 动点 P， Q 分别在平面 ， 内， P 到 的距离为 3
12、， Q 到 的距离为 2 3，则 P，Q 两点之间距离的最小值为_，此时直线 PQ 与平面 所成的角为_.（本题第一空 3 分，第二空 2 分） 解析 如图， 分别作 QA 于点 A， ACl 于点 C， PB 于点 B， PDl 于点 D， 连接 CQ，BD，则ACQPDB60 ，AQ2 3，BP 3，ACPD2. 又PQ AQ2AP2 12AP22 3，当且仅当 AP0，即点 A 与点 P 重合 时取最小值，此时，PQ平面 ，故 PQ 与平面 所成的角为 90 . 答案 2 3 90 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)如图
13、， 四棱锥PABCD中， 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， ABBC1 2AD，BADABC90 . (1)证明：直线 BC平面 PAD； (2)若PCD 面积为 2 7，求四棱锥 PABCD 的体积. (1)证明 底面 ABCD 中，BADABC90 ， BCAD，又 AD平面 PAD，BC平面 PAD， BC平面 PAD. (2)解 取 AD 的中点 M，连接 PM，CM，由 ABBC1 2AD 及 BCAD，ABC 90 得四边形 ABCM 为正方形，则 CMAD. 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， PM平面 PAD，所以
14、 PMAD，PM底面 ABCD.因为 CM底面 ABCD，所以 PMCM. 设 BCx，则 CMx，CD 2x，PM 3x，PCPD2x.取 CD 的中点 N，连 接 PN，则 PNCD，所以 PN 14 2 x. 因为PCD 的面积为 2 7， 所以1 2 2x 14 2 x2 7， 解得 x2(舍去)，x2. 于是 ABBC2，AD4，PM2 3. 所以四棱锥 PABCD 的体积 V1 3 2（24） 2 2 34 3. 18.(12 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F 分别为 A1C1和 BC 的中点. (1)求证：EF平面 AA1B1B； (2)若 AA13，AB2 3
15、，求 EF 与平面 ABC 所成的角. (1)证明 如图，取 A1B1的中点 D，连接 DE，BD. 因为 E 是 A1C1的中点，所以 DE 綉1 2B1C1. 又因为 BC 綉 B1C1，BF1 2BC， 所以 DE 綉 BF. 所以四边形 BDEF 为平行四边形. 所以 BDEF. 又因为 BD平面 AA1B1B，EF平面 AA1B1B， 所以 EF平面 AA1B1B. (2)解 如图，取 AC 的中点 H，连接 HF，EH. 因为 EHAA1，AA1平面 ABC， 所以 EH平面 ABC. 所以EFH 就是 EF 与平面 ABC 所成的角. 在 RtEHF 中，FH 3，EHAA13，
16、 所以 tanEFHEH FH 3， 所以EFH60 . 故 EF 与平面 ABC 所成的角为 60 . 19.(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 是正三角形，且与底面 ABCD 垂直，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60 ，N 是 PB 的中点，E 为 AD 的中点，过 A，D，N 的平面交 PC 于点 M. 求证：(1)EN平面 PDC； (2)BC平面 PEB； (3)平面 PBC平面 ADMN. 证明 (1)ADBC，BC平面 PBC， AD平面 PBC， AD平面 PBC.又平面 ADMN平面 PBCMN， ADMN.又ADBC，MNBC. 又N 为
17、 PB 的中点，M 为 PC 的中点，MN1 2BC. E 为 AD 的中点，DE1 2AD 1 2BCMN， DE 綉 MN，四边形 DENM 为平行四边形， ENDM.又EN平面 PDC，DM平面 PDC， EN平面 PDC. (2)四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， 且BAD60 ， E 为 AD 中点， BEAD. 又PEAD，PEBEE，PE，BE平面 PEB， AD平面 PEB. ADBC，BC平面 PEB. (3)由(2)知 ADPB. 又PAAB，且 N 为 PB 的中点，ANPB. ADANA，AD，AN平面 ADMN，PB平面 ADMN. 又PB平面 PBC， 平面
18、PBC平面 ADMN. 20.(12 分)如图， 在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 底面是边长为 2的正方形， AA1 3，点 E 在棱 B1B 上运动. (1)证明：ACD1E； (2)若三棱锥 B1A1D1E 的体积为2 3，求异面直线 AD，D1E 所成的角. (1)证明 如图所示：连接 BD， 四边形 ABCD 是正方形， ACBD. 四棱柱 ABCDA1B1C1D1是直棱柱，B1B平面 ABCD. AC平面 ABCD， B1BAC. BDB1BB，BD，B1B平面 B1BDD1， AC平面 B1BDD1. D1E平面 B1BDD1，ACD1E. (2)解 VB1A1D1EVE
19、A1B1D1，EB1平面 A1B1C1D1， VEA1B1D11 3SA1B1D1 EB1. SA1B1D11 2A1B1 A1D11， VEA1B1D11 3EB1 2 3. EB12.ADA1D1， A1D1E 为异面直线 AD，D1E 所成的角或其补角. 在 RtEB1D1中，求得 ED12 2. D1A1平面 A1ABB1，A1E平面 A1ABB1， D1A1A1E. 在 RtEA1D1中，得 cosA1D1E 2 2 2 1 2， A1D1E60 . 异面直线 AD，D1E 所成的角为 60 . 21.(12 分)如图， 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， ABCD， ABBCC
20、C12CD， E 为线段 AB 的中点，F 是线段 DD1上的动点. (1)求证：EF平面 BCC1B1； (2)若BCDC1CD60 ，且平面 D1C1CD平面 ABCD，求平面 BCC1B1与平 面 DC1B1所成角(锐角)的余弦值. (1)证明 如图，连接 DE，D1E. ABCD，AB2CD，E 是 AB 的中点， BECD，BECD， 四边形 BCDE 是平行四边形，DEBC. 又 DE平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1， DE平面 BCC1B1. DD1CC1，DD1平面 BCC1B1， CC1平面 BCC1B1，D1D平面 BCC1B1. 又 D1DDED，DE，D1D平
21、面 DED1， 平面 DED1平面 BCC1B1. EF平面 DED1，EF平面 BCC1B1. (2)解 如图，连接 BD. 设 CD1，则 ABBCCC12. BCD60 ， BD BC2CD22BC CD cos 60 3. CD2BD2BC2，BDCD. 同理可得，C1DCD. 平面 D1C1CD平面 ABCD，平面 D1C1CD平面 ABCDCD，C1D平面 D1C1CD， C1D平面 ABCD， BC平面 ABCD，C1DBC，C1DB1C1. 在平面 ABCD 中，过点 D 作 DHBC，垂足为 H，连接 C1H，如图. C1DDHD，BC平面 C1DH. C1H平面 C1DH，
22、BCC1H，B1C1C1H， DC1H 为平面 BCC1B1与平面 DC1B1所成的角. 在 RtC1CD 中，C1D 3， 在 RtBCD 中，DHCD sin 60 3 2 ， 在 RtC1DH 中，C1H C1D2DH2 15 2 ， cos DC1HC1D C1H 2 5 5 . 平面 BCC1B1与平面 DC1B1所成的角(锐角)的余弦值为2 5 5 . 22.(12 分)如图，已知三棱柱 ABCABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC 90 ，点 M，N 分别为 AB 和 BC的中点. (1)证明：MN平面 AACC； (2)设 ABAA，当 为何值时，CN平面 AMN？试证明你的
23、结论. (1)证明 如图，设 AB的中点为 E，连接 EM，EN， 点 M，N 分别为 AB 和 BC的中点， NEAC，MEAA， 又AC平面 ACCA，AA平面 ACCA，NE平面 ACCA，ME平面 ACCA， NE平面 ACCA，ME平面 ACCA. NEMEE，NE平面 EMN，ME平面 EMN， 平面 EMN平面 ACCA. MN平面 EMN，MN平面 ACCA. (2)解 如图，连接 BN，设 AAa，ABAAa， 由题意知，BC 2a，BNCN CC2CN2a21 2 2a2. 三棱柱 ABCABC侧棱垂直于底面， 平面 ABC平面 BBCC. ABAC，BAC90 ，点 N 为 BC的中点， ANBC. 又平面 ABC平面 BBCCBC，AN平面 ABC， AN平面 BBCC，又 CN平面 BBCC， CNAN. 要使 CN平面 AMN，只需 CNBN 即可， CN2BN2BC2，即 2(a21 2 2a2)22a2， 2， 则 2时，CN平面 AMN.