1、第八章 立体几何初步 章末复习一、单项选择题： 1下列说法正确的是（ ）A有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥B有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体2用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（ ）A1B2CD3如图所示，在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）ABCD4设平面过正方体的顶点，且正方体的棱，在平面上的射影相等，那么满足条件的平面的
2、个数为（ ）A3B4C5D65设，为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则与所成的角和与所成的角相等其中正确命题的序号是（ ）ABCD6直线AB与直二面角的两个面分别交于A，B两点，且A，B都不在棱l上，设直线AB与所成的角分别为和，则的取值范围是（ ）ABCD7古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可
3、以注入的水的体积为（ ）ABCD8已知正方体的棱长为2，为的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为（ ）ABC1D5二、多项选择题： 9如图，正方体的棱长为1，分别为，的中点，则（ ）A直线与直线垂直B直线与平面平行C点C与点G到平面的距离相等D平面截正方体所得的截面面积为10如图，梯形中，将沿对角线BD折起设折起后点A的位置为A，并且平面平面BCD给出下面四个命题：（ ）AB三棱锥的体积为C平面D平面平面11九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”如图在堑堵中，且下列说法正
4、确的是（ ）A四棱锥为“阳马”B四面体为“鳖膈”C四棱锥体积最大为D过点分别作于点，于点，则12如图，正方体的棱长为a，线段上有两个动点E，F，且，以下结论正确的有（ ）AB点到的距离为定值C三棱锥的体积是正方体体积的D异面直线，所成的角为定值三、填空题： 13如图，在直角梯形中，将此梯形以所在直线为轴旋转一周，所得几何体的表面积是_14如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的投影是底面正方形的中心，侧棱长为，侧面的顶角为过点作一截面与、分别相交于、，则四边形周长的最小值是_15在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，且为等边三角形，若四棱锥的体积与四棱锥外接球的表面积大小之比为，则正方形的边长
5、为_16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_四、解答题： 17已知四棱锥中，底面是直角梯形，侧面是正三角形且垂直于面，是中点（1）求证：面；（2）求证：平面18已知一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱（1）求此圆柱的侧面积的表达式；（2）当为何值时，圆柱的侧面积最大？
6、19如图，四面体ABCD中，点E，F分别为线段AC，AD的中点，平面平面，垂足为H（1）求证：；（2）求证：平面平面19如图，四面体ABCD中，点E，F分别为线段AC，AD的中点，平面平面，垂足为H（1）求证：；（2）求证：平面平面21如图1，在中，分别为，的中点，为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，为的中点，如图2（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）线段上是否存在点，使得平面？说明理由22如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，（1）求证：；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长参考答案一、单项选择题： 1【答案】D【解
7、析】选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体是棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故选项A错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故选项B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，由此推导出这个棱锥不可能为六棱锥，即选项C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，即选项D正确，故选D2【答案】D【解析】直观图是等腰直角三角形，根据直观图中平行
8、于轴的长度变为原来的一半，的边上的高，故选D3【答案】A【解析】如图所示：平面，是与底面所成角，底面，是与底面所成的角，连接，则或其补角为异面直线与所成的角不妨设，则，在等腰中，所以面直线和所成角的余弦值为，故选A4【答案】B【解析】棱，在平面上的射影相等，即棱，在平面上的射影相等，即棱，与平面所成的角相等，若三条棱在平面的同侧，这样的平面有一个，若其中一条和另外两条分别在平面的异侧，这样的平面有三个，故满足条件的平面的个数为4个，故选B5【答案】D【解析】若，则或，因此不正确；若，则内必存在一条直线，因为，所以，又因为，所以，正确；若，则或或与相交，因此不正确；若，则与所成的角和与所成的角相
9、等，正确，其中正确命题的序号是，故选D6【答案】B【解析】当时，当与l不垂直时，如图，分别过点A，B向平面作垂线，垂足为，连接，由已知，所以，因此，由，知，即，综上可知，故选B7【答案】B【解析】设球的半径为r，则由题意可得球的表面积为，所以，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为，故选B8【答案】B【解析】如图，取的中点为E，易知取的中点，则在正方形中，则，则，可得，即，所以点的轨迹为线段因为平面，平面，则，所以为直角三角形，当时，取最小值为，此时面积最小，最小值为，故选B二、多项选择题： 9【答案】BD【解析】对于A，取中点，则为在平面上的射影，与不垂直，与不垂直，故
10、A错；对于B，取中点，连接，在正方体中，平面，平面，所以平面，同理可证平面，所以平面平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，假设C与G到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于H，而H不是中点，则假设不成立，故C错；对于D，在正方体中，把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故D正确，故选BD10【答案】CD【解析】，平面平面，平面，平面，平面，故不成立，故A错误，C正确；由，可得，三棱锥的体积为三棱锥的体积，即为，故B错误；折叠前，在四边形ABCD中，ABD为等腰直角三角形又，折叠后，平面平面，平面又平面，又，平面又平面，平面平面，故D正确，故选CD11【答案】ABD【解析
11、】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”所以在堑堵中，侧棱平面在选项A中因为三棱柱为堑堵，所以，又，且，则平面所以四棱锥为“阳马”，故A正确；在选项B中由，即，又且，所以平面，所以，则为直角三角形又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，所以四面体为“鳖膈”，故B正确；在选项C中在底面有，即，当且仅当时取等号，所以C不正确；在选项D中由上面有平面，则，且，则平面，所以，且，则平面，则，所以D正确，故选ABD12【答案】ABC【解析】对于A，根据题意，平面，所以，所以A正确；对于B，到平面的距离是定值，所以点到的距离为定值，则B正确；对于C，三棱锥的
12、体积为，三棱锥的体积是正方体体积的，正确；对于D，如图所示异面直线，所成的角的平面角为不为定值，命题D错误，故选ABC三、填空题： 13【答案】【解析】将此梯形以所在直线为轴旋转一周，得到的是圆台，其中圆台的上底半径为，下底半径为，母线，圆台的上底面积为，下底面积为，圆台的侧面积为，圆台的表面积为，故答案为14【答案】【解析】依题意，四棱锥为正四棱锥，且每个侧面的顶角为，将四棱锥的侧面沿展开，如图，A展开后到，则，且，则当如图，和在同一直线上时，四边形的周长的最小值，最小值为所以在三角形中，由余弦定理得：，所以，故答案为15【答案】2【解析】由题，画出图象，取中点设正方形的边长为，则因为为等边
13、三角形，故，且又平面平面且平面平面，故平面，故四棱锥的体积为又四棱锥外接以为底面，为高的直三棱柱，故四棱锥的外接球与该三棱柱外接球相同，则底面的外接圆直径，故外接球直径，故外接球表面积，故，解得，即正方形的边长为2，故答案为216【答案】共26个面，棱长为【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，即该半正多面体棱长为四、解答题： 17证明：（1）取的中点，连接、，是中点，四边形是平行四边形，又平面，平面，面（2）面面，面面，面，平面，
14、等边三角形，为的中点，又，、平面，平面，平面18解：（1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，如图所示，因为，所以，从而（2）由（1），因为，所以当时，最大，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大19证明：（1）因为点E、F分别为线段AC、AD的中点，为的中位线，则，平面，平面，平面，又平面，平面平面，（2），平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，平面，平面平面20（1）证明：平面平面，平面，是正方形，因为，平面，平面（2）证明：设，取中点，连接，为的中位线，四边形是平行四边形，平面，平面，平面，即平面（3）解：平面平面，平面，因为，的面积为，四面体的体积，又因为是中点，所以，21（1）证明
15、：取线段的中点，连接，因为在中，分别为，的中点，所以，因为，分别为，的中点，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面（2）证明：因为在中，分别为，的中点，所以，所以，又为的中点，所以因为平面平面，且平面，所以平面，所以在中，易知，所以，所以平面，所以平面平面（3）解：线段上不存在点，使得平面否则，假设线段上存在点，使得平面，连接，则必有，且在RtA1OC中，由为的中点，得为的中点在中，因为，所以，这显然与，矛盾！所以线段上不存在点，使得平面22（1）证明：在棱柱中，面，面，面面，由线面平行的性质定理有，又，故（2）解：在底面中，又因为侧棱底面，则底面，面，又，面，过点作于，连接，则是二面角的平面角，则，故，设，则，故，故