1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 章末复习章末复习 一、选择题一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1下列结论正确的是( ) A各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 2关于直观图画法的说法中，不正确的是( ) A原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段仍平行于 x轴，其长度不变 B原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段仍平行
2、于 y轴，其长度不变 C画与坐标系 xOy 对应的坐标系 xOy时，xOy可画成 135 D作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同 3若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为 4S，则它的一个底面面积是( ) A4S B4S CS D2S 4如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为 9 cm3，则其表面积为( ) A18 3 cm2 B18 cm2 C12 3 cm2 D12 cm2 5一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为 1， 6，3，其四面体的四个 顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( ) A16 B32 C36 D64 6若平面 平面 ，直线 a平面 ，点 B
3、在平面 内，则在平面 内且过点 B 的所有直 线中( ) A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数条与 a 平行的直线 D存在唯一与 a 平行的直线 7若 ，A，C，B，D，且 ABCD28，AB、CD 在 内的射影长分别 为 9 和 5，则 AB、CD 的长分别为( ) A16 和 12 B15 和 13 C17 和 11 D18 和 10 8.如图，在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是 A1B1上一点，且 PB11 4A1B1，则 多面体 PBCC1B1的体积为( ) A.8 3 B.16 3 C4 D5 9如图，在直三棱柱 ABCA1
4、B1C1中，D 为 A1B1的中点，ABBCBB12，AC2 5， 则异面直线 BD 与 AC 所成的角为( ) A30 B45 C60 D90 10如图，在三棱锥 PABC 中，不能证明 APBC 的条件是( ) AAPPB，APPC BAPPB，BCPB C平面 BCP平面 PAC，BCPC DAP平面 PBC 11在等腰 RtABC 中，ABBC1，M 为 AC 的中点，沿 BM 把它折成二面角，折后 A 与 C 的距离为 1，则二面角 CBMA 的大小为( ) A30 B60 C90 D120 12在矩形 ABCD 中，若 AB3，BC4，PA平面 AC，且 PA1，则点 P 到对角线
5、 BD 的距离为( ) A. 29 2 B.13 5 C.17 5 D. 119 5 二、填空题二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上) 13正方形 ABCD 绕对角线 AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是_ 14若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是_ 15如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上若 EF 平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于_ 16矩形 ABCD 中，AB1，BC 2，PA平面 ABCD，PA1，则 PC 与平面 ABCD 所成 的角是_ 三、解
6、答题三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17(10 分)如图是由正方形 ABCE 和正三角形 CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置 的直观图 18 (12 分)如图， 正方体 ABCDABCD的棱长为 a， 连接 AC， AD， AB， BD， BC， CD， 得到一个三棱锥求： (1)三棱锥 ABCD 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥 ABCD 的体积 19(12 分)如图，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 都为平行四边形，M，N，G 分别是 AB， AD，EF 的中点求证： (1)BE平面 DMF； (2)平
7、面 BDE平面 MNG. 20(12 分)S 是 RtABC 所在平面外一点，且 SASBSC，D 为斜边 AC 的中点 (1)求证：SD平面 ABC； (2)若 ABBC，求证：BD平面 SAC. 21 (12 分)如图， 在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， 侧面 AA1C1C 是菱形， AC1与 A1C 交于点 O， 点 E 是 AB 的中点 (1)求证：OE平面 BCC1B1； (2)若 AC1A1B，求证：AC1BC. 22(12 分)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E 为 D1C1的 中点，连接 ED，EC，EB 和 DB. (1)求证：平面 E
8、DB平面 EBC； (2)求二面角 EDBC 的正切值 【参考答案】 一、选择题一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1 【解析】A 错误如图 1 所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面 都是三角形，但它不是棱锥 B 错误 如图 2， 若ABC 不是直角三角形或是直角三角形， 但旋转轴不是直角边所在直线， 所得的几何体都不是圆锥 C 错误若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形由几何图形知，若以正六 边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长D 正确 【答案】D 2 【解析】根据斜二测画法的规则
9、可知 B 不正确 【答案】B 3 【解析】由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径 2R， 则 2R 2R4S，得 R2S.所以底面面积为 R2S. 【答案】C 4 【解析】设正四面体的棱长为 a cm，则底面积为 3 4 a2 cm2，易求得高为 6 3 a cm，则体积 为1 3 3 4 a2 6 3 a 2 12a 39，解得 a3 2，所以其表面积为 4 3 4 a218 3(cm2) 【答案】A 5 【解析】将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线 长为12（ 6）2324，即球的半径为 2，故这个球的表面积为 4r216. 【答案】A 6 【解析】当直线 a
10、平面 ，且点 B 在直线 a 上时，在平面 内且过点 B 的所有直线中不 存在与 a 平行的直线故选 A. 【答案】A 7 【解析】如图，作 AM，CN，垂足分别为 M、N， 设 ABx，则 CD28x，BM9，ND5， x281(28x)225，x15,28x13. 【答案】B 8.【解析】V 多面体 PBCC1B11 3S 正方形 BCC1B1 PB1 1 3 4 2 116 3 . 【答案】B 9 【解析】如图，取 B1C1的中点 E，连接 BE，DE，则 ACA1C1DE，则BDE 即为异面 直线 BD 与 AC 所成的角(或其补角)由条件可知 BDDEEB 5，所以BDE60 ，故
11、选 C. 【答案】C 10 【解析】A 中，因为 APPB，APPC，PBPCP，所以 AP平面 PBC，又 BC平 面 PBC，所以 APBC，故 A 正确；C 中，因为平面 BCP平面 PAC，BCPC，所以 BC 平面 APC，AP平面 APC，所以 APBC，故 C 正确；D 中，由 A 知 D 正确；B 中条件 不能判断出 APBC，故选 B. 【答案】B 11 【解析】如图所示，由 ABBC1，ABC90 ，得 AC 2. M 为 AC 的中点，MCAM 2 2 ，且 CMBM，AMBM， CMA 为二面角 CBMA 的平面角 AC1，MCAM 2 2 ，CMA90 . 【答案】C
12、 12 【解析】如图，过点 A 作 AEBD 于 E，连接 PE. PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD，BD平面 PAE，BDPE. AEAB AD BD 12 5 ，PA1，PE1 12 5 213 5 . 【答案】B 二、填空题二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上) 13 【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体 【答案】两个同底的圆锥组合体 14 【解析】根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以 S侧(1 2 3) 22 2 6，S底1 2 1 2 2 2 ， 故 S表2 2 62 2 2 22 2 6. 【
13、答案】22 2 6 15 【解析】 EF平面 AB1C， EF平面 ABCD， 平面 ABCD平面 AB1CAC， EFAC， F 为 DC 中点故 EF1 2AC 2. 【答案】 2 16 【解析】tanPCAPA AC 1 3 3 3 ，PCA30 . 【答案】30 三、解答题三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17 【解】(1)以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，如图(1)， 再建立坐标系 xOy，使两轴的夹角为 45 ，如图(2) (2)以 O为中点，在 x轴上截取 ABAB， 分别过 A，
14、B作 y轴的平行线，截取 AE1 2AE，BC 1 2BC. 在 y轴上截取 OD1 2OD. (3)连接 ED，EC，CD，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3) 18 【解】(1)ABCDABCD是正方体， ABACADBCBDCD 2a， 三棱锥 ABCD 的表面积为 4 1 2 2a 3 2 2a2 3a2. 而正方体的表面积为 6a2， 故三棱锥 ABCD 的表面积与正方体表面积的比值为2 3a 2 6a2 3 3 . (2)三棱锥 AABD，CBCD，DADC，BABC是完全一样的 故 V三棱锥ABCDV正方体4V三棱锥AABDa34 1 3 1 2a 2 aa
15、3 3 . 19证明：证明：(1)设 DF 与 GN 交于点 O，连接 AE， 则 AE 必过点 O，且 O 为 AE 的中点， 连接 MO，则 MO 为ABE 的中位线，所以 BEMO. 因为 BE平面 DMF，MO平面 DMF，所以 BE平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为 AD，EF 的中点，四边形 ADEF 为平行四边形，所以 DEGN. 因为 DE平面 MNG，GN平面 MNG，所以 DE平面 MNG. 因为 M 为 AB 的中点，N 为 AD 的中点， 所以 MN 为ABD 的中位线，所以 BDMN. 因为 BD平面 MNG，MN平面 MNG，所以 BD平面 MNG. 因为
16、DEBDD，BD，DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 MNG. 20证明：证明：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE， 在 RtABC 中，D、E 分别为 AC、AB 的中点， DEBC，DEAB， SASB，SAB 为等腰三角形，SEAB. 又 SEDEE，AB平面 SDE. 又 SD平面 SDE，ABSD. 在SAC 中，SASC，D 为 AC 的中点，SDAC. 又 ACABA，SD平面 ABC. (2)由于 ABBC，则 BDAC， 由(1)可知，SD平面 ABC，BD平面 ABC，SDBD， 又 SDACD，BD平面 SAC. 21证明：证明：(1)连接 BC1
17、， 因为侧面 AA1C1C 是菱形，AC1与 A1C 交于点 O，所以 O 为 AC1的中点， 又因为 E 是 AB 的中点，所以 OEBC1， 因为 OE平面 BCC1B1，BC1平面 BCC1B1，所以 OE平面 BCC1B1. (2)因为侧面 AA1C1C 是菱形，所以 AC1A1C， 因为 AC1A1B，A1CA1BA1，A1C平面 A1BC，A1B平面 A1BC， 所以 AC1平面 A1BC，因为 BC平面 A1BC，所以 AC1BC. 22 【解】(1)证明：在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1， E 为 D1C1的中点，所以DD1E 为等腰直角三角形，D1E
18、D45 . 同理C1EC45 ，所以DEC90 ，即 DEEC. 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，BC平面 D1DCC1， 又 DE平面 D1DCC1，所以 BCDE. 又 ECBCC，所以 DE平面 EBC. 因为 DE平面 DEB，所以平面 DEB平面 EBC. (2)如图所示，过 E 在平面 D1DCC1中作 EODC 于 O. 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，因为平面 ABCD平面 D1DCC1， 且交线为 DC，所以 EO面 ABCD. 过 O 在平面 DBC 中作 OFDB 于 F，连接 EF， 所以 EFBD，EFO 为二面角 EDBC 的平面角 利用平面几何知识可得 OF 1 5， 又 OE1，所以 tanEFO 5.