1、第七章第七章 复数复数 单元质量测评单元质量测评 一、选择题一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1i 是虚数单位，则 i 1i的虚部是( ) A.1 2i B 1 2i C. 1 2 D 1 2 2若(xi)iy2i，x，yR，则复数 xyi( ) A2i B2i C12i D12i 3设 z 3i 12i，则|z|( ) A2 B. 3 C. 2 D1 4若 a，bR，则复数(a26a10)(b24b5)i 对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5 已知 z125i， z23i， z
2、1， z2的对应点分别为 P1， P2， 则向量P2P1 对应的复数为( ) A56i B56i C56i D14i 6 已知复数 zabi(i 为虚数单位)， 集合 A1,0,1,2， B2， 1,1 若 a， bAB， 则|z|等于( ) A1 B. 2 C2 D4 7复数12i i 的共轭复数是 abi(a，bR)，i 是虚数单位，则点(a，b)为( ) A(2,1) B(2，1) C(1,2) D(1，2) 8已知 i 为虚数单位，复数 z2i(2i)的实部为 a，虚部为 b，则 logab 等于( ) A0 B1 C2 D3 9已知复数 z1m2i，z234i，若z1 z2为实数，则
3、实数 m 的值为( ) A.8 3 B. 3 2 C 8 3 D 3 2 10设 a，bR.“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 11若 1 2i 是关于 x 的实系数方程 x2bxc0 的一个复数根，则( ) Ab2，c3 Bb2，c3 Cb2，c1 Db2，c1 12复数 z 满足|z1|zi|，则复数 z 对应点的集合是( ) A直线 B线段 C圆 D正方形 二、填空题二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中的横线上) 13.若i为虚数单位， 图中网格纸的小正方形的边
4、长是1， 复平面内点Z表示复数z， 则复数 z 12i 的共轭复数是_ 14复数3 52i 23 5i 2 1i 2020的虚部为_ 15下面三个命题：0 比i 大；两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；x yi1i 的充要条件为 xy1.其中错误命题的序号是_ 16 若复数 z 满足|zi| 2(i为虚数单位)， 则 z 在复平面内所对应的图形的面积为_ 三、解答题三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分)已知 z1i，若z 2azb z2z1 1i，求实数 a，b 的值 18(本小题满分 12 分)已知复数 z1
5、 2 3 2 i，其共轭复数为 z . (1)求复数1 z的模； (2)求 z 2 的值 19(本小题满分 12 分)已知复数 z(2i)m2 6m 1i2(1i)求实数 m 取什么值时，复数 z 是：(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数 20(本小题满分 12 分)已知复数 z1，z2满足条件|z1|2，|z2|3，且 3z12z26，求复数 z1 和 z2. 21 (本小题满分 12 分)设 O 为坐标原点， 已知向量OZ1 ， OZ2 分别对应复数 z1， z2， 且 z1 3 a5 (10a2)i，z2 2 1a(2a5)i，aR.若 z
6、 1z2可以与任意实数比较大小，求OZ1 OZ2 的 值 22(本小题满分 12 分)设 z1是虚数，z2z11 z1是实数，且1z21. (1)求|z1|的值以及 z1的实部的取值范围； (2)若 1z1 1z1，求证： 为纯虚数 【参考答案】 一、选择题一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1 【答案】C 【解析】 i 1i i1i 1i1i 1i 2 1 2 1 2i. 2 【答案】B 【解析】(xi)iy2i 即 xi1y2i，故 y1，x2，所以复数 xyi2i. 3 【答案】C 【解析】z 3i 12i
7、 3i12i 12i12i 17i 5 ， |z| 1 5 2 7 5 2 2.故选 C. 4 【答案】D 【解析】 复数对应点的坐标为(a26a10， b24b5)又因为 a26a10(a3)210， b24b5(b2)210，所以复数对应的点在第四象限 5 【答案】B 【解析】P2P1 OP1 OP2 ，P2P1 对应的复数为 z1z2(25i)(3i)56i. 6 【答案】B 【解析】因为 AB1,1，所以 a，b1,1，所以|z| a2b2 2.故选 B. 7 【答案】A 【解析】依题意，复数12i i 2i 的共轭复数是 abi2i，点(a，b)即为(2,1)故选 A. 8 【答案】
8、C 【解析】z2i(2i)24i，a2，b4，logablog242. 9 【答案】D 【解析】因为z1 z2 m2i 34i m2i34i 25 3m8 25 4m6 25 i， 又z1 z2为实数，所以 4m6 25 0，即 m3 2. 10 【答案】B 【解析】当 a0 时，若 b0，则 abi 是实数，不是纯虚数，因此“a0”不是“复数 a bi 是纯虚数”的充分条件；而若 abi 是纯虚数，则实部为 0，虚部不为 0，可以得到 a 0，因此“a0”是“复数 abi 是纯虚数”的必要条件故“a0”是“复数 abi 是 纯虚数”的必要而不充分条件 11 【答案】B 【解析】因为 1 2i
9、 是实系数方程 x2bxc0 的一个复数根，所以 1 2i 也是方程的 根，则 1 2i1 2i2b，(1 2i) (1 2i)3c，解得 b2，c3. 12 【答案】A 【解析】由复数模的几何意义可知复数 z 对应点的集合是到点 A(1，0)，点 B(0,1)距离相 等的点的集合，即线段 AB 的垂直平分线，故选 A. 二、填空题二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在题中的横线上) 13. 【答案】i 【解析】由图知 z2i，则 z 12i 2i 12i 2i12i 12i12ii，其共轭复数是i. 14 【答案】1 【解析】3 52i 23 5i 2 1i
10、2020i3 5i2 23 5i 1 i1010i1. 15 【答案】 【解析】实数与虚数不能比较大小；两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复 数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；xyi1i 的充要条件为 xy1 是 错误的，因为没有表明 x，y 是否是实数 16 【答案】2 【解析】 设 zxyi(x， yR)， 则由|zi| 2可得 x2y12 2， 即 x2(y1)22， 它表示以点(0,1)为圆心， 2为半径的圆及其内部， 所以 z 在复平面内所对应的图形的面积为 2. 三、解答题三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17解
11、解 z2azb(1i)2a(1i)bab(2a)i， z2z1(1i)2(1i)1i， z 2azb z2z1 (2a)(ab)i1i， 由复数相等，得 2a1， ab1， 解得 a1， b2. 18解解 (1)因为复数 z1 2 3 2 i， 所以1 z 1 1 2 3 2 i 1 2 3 2 i 1 2 3 2 i 1 2 3 2 i 1 2 3 2 i 1 2 2 3 2 i 2 1 2 3 2 i， 所以 1 z 1 2 2 3 2 21.(也可以先求 z 的模) (2)由题意可得 z 1 2 3 2 i， 所以 z 2 1 2 3 2 i 21 4 3 42 1 2 3 2 i1 2
12、 3 2 i. 19解解 由于 mR， 所以复数 z(2i)m23m(1i)2(1i)(2m23m2)(m23m2)i. (1)当 2m23m20， m23m20， 即 m2 时，z 为零 (2)当 m23m20，即 m2 且 m1 时，z 为虚数 (3)当 2m23m20， m23m20， 即 m1 2时，z 为纯虚数 (4)当 2m23m2(m23m2)， 即 m0 或 m2 时，z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数 20解解 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 a2b24，c2d29， 由 3z12z26，得(3a2c)(3b2d)i6， 由复数相等，得 3a
13、2c6， 3b2d0. 解方程组 a2b24， c2d29， 3a2c6， 3b2d0， 得 a1， b 3， c3 2， d3 3 2 或 a1， b 3， c3 2， d3 3 2 ， 所以 z11 3i， z23 2 3 2 3i 或 z11 3i， z23 2 3 2 3i. 21解解 由题意，得 z 1 3 a5(10a 2)i， 则 z 1z2 3 a5(10a 2)i 2 1a(2a5)i 3 a5 2 1a (a22a15)i. 因为 z 1z2可以与任意实数比较大小，所以 z 1z2是实数， 所以 a22a150，解得 a5 或 a3. 又因为 a50，所以 a3，所以 z13 8i，z21i， 所以OZ1 3 8，1 ，OZ2 (1,1)， 所以OZ1 OZ2 3 8(1)11 5 8. 22解解 (1)设 z1abi(a，bR 且 b0)， 则 z2z11 z1abi 1 abi a a a2b2 b b a2b2 i. 因为 z2是实数，b0，于是有 a2b21， 即|z1|1，还可得 z22a. 由1z21，得12a1，解得1 2a 1 2， 即 z1的实部的取值范围是 1 2， 1 2 . (2)证明：1z1 1z1 1abi 1abi 1a2b22bi 1a2b2 b a1i. 因为 a 1 2， 1 2 ，b0，所以 为纯虚数