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第七章 复数 章末检测试卷(含答案)

1、第七章第七章 复数复数 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1设 i 是虚数单位,则复数 i32 i等于( ) Ai B3i Ci D3i 答案 C 解析 i32 ii 2i i2i2ii. 2复数 2 2i(i 为虚数单位)的虚部是( ) A2 5 B. 2 5 C 2 5i D. 2 5i 答案 A 解析 2 2i 22i 2i2i 4 5 2 5i,所以复数 2 2i的虚部是 2 5. 3复数 z2i21 i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 B 解析

2、 根据复数的运算可得复数 z2i, 则 z 对应的点(2,1)在第二象限 4在复平面内,一个正方形的三个顶点分别对应的复数是 12i,2i,0,那么这个正方 形的第四个顶点对应的复数为( ) A3i B3i C13i D13i 答案 D 解析 在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为13i. 5复数 z 的实部是虚部的两倍,且满足 za15i 1i ,则实数 a 等于( ) A1 B5 C1 D9 答案 A 解析 z15i 1i a15i1i 1i1i a64i 2 a(3a)2i, 由题意得 3a22,解得 a1. 6若复数 z34i 的模为 a,虚部为 b,则 ab 等于( )

3、A54i B54i C1 D9 答案 C 解析 z34i,a|z| 32425,b4,ab1. 7已知方程 x2(4i)x4ai0(aR)有实根 b,且 zabi,则复数 z 等于( ) A22i B22i C22i D22i 答案 A 解析 由 b 是方程 x2(4i)x4ai0(aR)的根可得 b2(4i)b4ai0, 整理可得(ba)i(b24b4)0, 所以 ba0, b24b40, 解得 a2, b2, 所以 z22i. 8定义复数的一种运算 z1*z2|z1|z2| 2 (等式右边为普通运算),若复数 zabi, z 为 z 的 共轭复数,且正实数 a,b 满足 ab3,则 z*

4、z 的最小值为( ) A.9 2 B. 3 2 2 C.3 2 D. 9 4 答案 B 解析 z* z |z| z | 2 2 a 2b2 2 a2b2 ab22ab. 又ab ab 2 29 4,ab 9 4, z* z 929 4 9 2 3 2 2 当且仅当ab3 2时,等号成立 . 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分全部选对的得 5 分,部分选对的 得 3 分,有选错的得 0 分) 9下面关于复数 z 2 1i的四个说法中,正确的有( ) A|z|2 Bz22i Cz 的共轭复数为 1i Dz 的虚部为1 答案 BD 解析 z 2 1i 21i 1i1i1

5、i, |z| 2,A 不正确; z2(1i)22i,B 正确; z 的共轭复数为1i,C 不正确; z 的虚部为1,D 正确 10已知 i 为虚数单位,复数 z1a2i,z22i,且|z1|z2|,则实数 a 的值为( ) A0 B. 1 C1 D2 答案 BC 解析 因为复数 z1a2i,z22i,且|z1|z2|, 所以 a2441,解得 a 1. 11设 z1,z2是复数,则下列说法中正确的是( ) A若|z1z2|0,则 z1 z2 B若 z1 z2,则 z1z2 C若|z1|z2|,则 z1z1z2z2 D若|z1|z2|,则 z21z22 答案 BC 解析 对于 A,若|z1z2|

6、0,则 z1z20,z1z2,所以 z1 z2不正确;对于 B,若 z1 z2,则 z1和 z2互为共轭复数,所以 z1z2;对于 C,设 z1a1b1i,z2a2b2i,若|z1| |z2|,则 a21b21 a22b22,z1z1a21b21,z2z2a22b22,所以 z1z1z2z2;对于 D, 若 z11,z2i,则|z1|z2|,而 z211,z221,所以 z21z22不正确 12已知集合 Mm|min,nN,其中 i 为虚数单位,则下列元素属于集合 M 的是( ) A(1i)(1i) B.1i 1i C.1i 1i D(1i)2 答案 BC 解析 根据题意,Mm|min,nN,

7、 当 n4k(kN)时,in1; 当 n4k1(kN)时,ini; 当 n4k2(kN)时,in1; 当 n4k3(kN)时,ini, M1,1,i,i 选项 A 中,(1i)(1i)2M; 选项 B 中,1i 1i 1i2 1i1iiM; 选项 C 中,1i 1i 1i2 1i1iiM; 选项 D 中,(1i)22iM. 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13 若复数 z(a2)(a1)i(aR)是纯虚数(其中 i 是虚数单位), 则 a_,ai 1ai _. 答案 2 4 5 3 5i 解析 因为 z(a2)(a1)i(aR)是纯虚数, 故 a20, a10,

8、 故 a2. 此时 ai 1ai 2i 12i 2i12i 5 4 5 3 5i. 14若 z11i,z235i,在复平面内 z1,z2对应的点分别为 Z1,Z2,则 Z1,Z2的距离为 _ 答案 2 5 解析 由 z11i,z235i 知 Z1(1,1),Z2(3,5), 由两点间的距离公式得,d 3125122 5. 15若复数 zai(aR)与它的共轭复数 z 所对应的向量互相垂直,则 a_. 答案 1 解析 z ai,因为复数 z 与它的共轭复数 z 所对应的向量互相垂直,所以 a21,所以 a 1. 16已知复数 z1cos i,z2sin i,则 z1 z2的实部的最大值为_ 答案

9、 3 2 解析 z1 z2(cos i) (sin i) (cos sin 1)i(cos sin ), 故实部为 cos sin 111 2sin 2 3 2,最大值为 3 2. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17(10 分)已知复数 z123i,z2155i 2i2.求: (1)z1z2;(2)z1 z2. 解 z2155i 2i2 155i 34i 155i34i 34i34i 2575i 25 13i, 则(1)z1z2(23i)(13i)79i. (2)z1 z2 23i 13i 23i13i 13i13i 113i 10 11 10 3 10i. 18(12 分)

10、复平面内有 O,A,B,C 四点,点 O 为原点,点 A 对应的复数是 3i,向量AC 对 应的复数是24i,向量BC 对应的复数是4i,求点 B 对应的复数 解 CA 对应的复数是 24i, CB 对应的复数是 4i,ABCBCA, AB 对应的复数为(4i)(24i)23i, 又OB OA AB , OB 对应的复数为(3i)(23i)52i, 点 B 对应的复数为 zB52i. 19(12 分)已知 mR,复数 z(m2)(m29)i. (1)若 z 对应的点在第一象限,求 m 的取值范围; (2)若 z 的共轭复数 z 与复数8 m5i 相等,求 m 的值 解 (1)由题意得 m20,

11、 m290, 解得 m3, 所以 m 的取值范围是m|m3 (2)因为 z(m2)(m29)i, 所以 z m2(9m2)i, 因为 z 与复数8 m5i 相等, 所以 m28 m, 9m25, 解得 m2. 20(12 分)已知复数 z 满足|z| 2, z 是 z 的共轭复数,且 z 2为纯虚数,z 在复平面内所对 应的点 Z 在第二象限,求 z 2 22的值 解 设 zabi(a,bR),则|z|a2b2 2, a2b22. 又 z abi, z 2(abi)2a2b22abi, a2b20, 2ab0, a2b22, a2b2, 解得 a 1, b 1. 又点 Z 在第二象限, a1,

12、 b1, 即 z1i, z 2 22 1i 2 22 1i 2 2 11 (i)11i11i2 43(i4)2i3i. 21(12 分)已知复数 z 满足|z| 2,z2的虚部为 2. (1)求复数 z; (2)设 z,z2,zz2在复平面内对应的点分别为 A,B,C,求ABC 的面积 解 (1)设 zabi(a,bR), 由已知条件得 a2b22,z2a2b22abi, 所以 2ab2. 所以 ab1 或 ab1,即 z1i 或 z1i. (2)当 z1i 时,z2(1i)22i,zz21i. 所以点 A(1,1),B(0,2),C(1,1), 所以 SABC1 2|AC|1 1 2211.

13、 当 z1i 时,z2(1i)22i,zz213i. 所以点 A(1,1),B(0,2),C(1,3), 所以 SABC1 2|AC|1 1 2211. 即ABC 的面积为 1. 22(12 分)设 z 是虚数,z1 z是实数,且12. (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; (2)设 1z 1z,求证: 为纯虚数; (3)求 2的最小值 (1)解 z 是虚数, 可设 zxyi,x,yR,且 y0, z1 zxyi 1 xyixyi xyi x2y2 x x x2y2 y y x2y2 i, 可得 y y x2y20, y0 x2y21|z|1, 此时,2x1 2x1, 即 z 的实部的取值范围为 1 2,1 . (2)证明 1z 1z 1xyi 1xyi 1y2x22yi 12xx2y2 yi x1, y0, 为纯虚数 (3)解 22x y 1xi 2,化简得 22(x1) 2 1x32 2x1 2 1x31. 当且仅当 x1 1 x1,即 x0 时, 2取得最小值 1.