1、第七章第七章 复数复数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1设 i 是虚数单位，则复数 i32 i等于( ) Ai B3i Ci D3i 答案 C 解析 i32 ii 2i i2i2ii. 2复数 2 2i(i 为虚数单位)的虚部是( ) A2 5 B. 2 5 C 2 5i D. 2 5i 答案 A 解析 2 2i 22i 2i2i 4 5 2 5i，所以复数 2 2i的虚部是 2 5. 3复数 z2i21 i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 B 解析
2、 根据复数的运算可得复数 z2i， 则 z 对应的点(2,1)在第二象限 4在复平面内，一个正方形的三个顶点分别对应的复数是 12i，2i,0，那么这个正方 形的第四个顶点对应的复数为( ) A3i B3i C13i D13i 答案 D 解析 在复平面内通过已知三个点易知第四个顶点对应的复数为13i. 5复数 z 的实部是虚部的两倍，且满足 za15i 1i ，则实数 a 等于( ) A1 B5 C1 D9 答案 A 解析 z15i 1i a15i1i 1i1i a64i 2 a(3a)2i， 由题意得 3a22，解得 a1. 6若复数 z34i 的模为 a，虚部为 b，则 ab 等于( )
3、A54i B54i C1 D9 答案 C 解析 z34i，a|z| 32425，b4，ab1. 7已知方程 x2(4i)x4ai0(aR)有实根 b，且 zabi，则复数 z 等于( ) A22i B22i C22i D22i 答案 A 解析 由 b 是方程 x2(4i)x4ai0(aR)的根可得 b2(4i)b4ai0， 整理可得(ba)i(b24b4)0， 所以 ba0， b24b40， 解得 a2， b2， 所以 z22i. 8定义复数的一种运算 z1*z2|z1|z2| 2 (等式右边为普通运算)，若复数 zabi， z 为 z 的 共轭复数，且正实数 a，b 满足 ab3，则 z*
4、z 的最小值为( ) A.9 2 B. 3 2 2 C.3 2 D. 9 4 答案 B 解析 z* z |z| z | 2 2 a 2b2 2 a2b2 ab22ab. 又ab ab 2 29 4，ab 9 4， z* z 929 4 9 2 3 2 2 当且仅当ab3 2时，等号成立 . 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的 得 3 分，有选错的得 0 分) 9下面关于复数 z 2 1i的四个说法中，正确的有( ) A|z|2 Bz22i Cz 的共轭复数为 1i Dz 的虚部为1 答案 BD 解析 z 2 1i 21i 1i1i1
5、i， |z| 2，A 不正确； z2(1i)22i，B 正确； z 的共轭复数为1i，C 不正确； z 的虚部为1，D 正确 10已知 i 为虚数单位，复数 z1a2i，z22i，且|z1|z2|，则实数 a 的值为( ) A0 B. 1 C1 D2 答案 BC 解析 因为复数 z1a2i，z22i，且|z1|z2|， 所以 a2441，解得 a 1. 11设 z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( ) A若|z1z2|0，则 z1 z2 B若 z1 z2，则 z1z2 C若|z1|z2|，则 z1z1z2z2 D若|z1|z2|，则 z21z22 答案 BC 解析 对于 A，若|z1z2|
6、0，则 z1z20，z1z2，所以 z1 z2不正确；对于 B，若 z1 z2，则 z1和 z2互为共轭复数，所以 z1z2；对于 C，设 z1a1b1i，z2a2b2i，若|z1| |z2|，则 a21b21 a22b22，z1z1a21b21，z2z2a22b22，所以 z1z1z2z2；对于 D， 若 z11，z2i，则|z1|z2|，而 z211，z221，所以 z21z22不正确 12已知集合 Mm|min，nN，其中 i 为虚数单位，则下列元素属于集合 M 的是( ) A(1i)(1i) B.1i 1i C.1i 1i D(1i)2 答案 BC 解析 根据题意，Mm|min，nN，
7、 当 n4k(kN)时，in1； 当 n4k1(kN)时，ini； 当 n4k2(kN)时，in1； 当 n4k3(kN)时，ini， M1,1，i，i 选项 A 中，(1i)(1i)2M； 选项 B 中，1i 1i 1i2 1i1iiM； 选项 C 中，1i 1i 1i2 1i1iiM； 选项 D 中，(1i)22iM. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13 若复数 z(a2)(a1)i(aR)是纯虚数(其中 i 是虚数单位)， 则 a_，ai 1ai _. 答案 2 4 5 3 5i 解析 因为 z(a2)(a1)i(aR)是纯虚数， 故 a20， a10，
8、 故 a2. 此时 ai 1ai 2i 12i 2i12i 5 4 5 3 5i. 14若 z11i，z235i，在复平面内 z1，z2对应的点分别为 Z1，Z2，则 Z1，Z2的距离为 _ 答案 2 5 解析 由 z11i，z235i 知 Z1(1，1)，Z2(3，5)， 由两点间的距离公式得，d 3125122 5. 15若复数 zai(aR)与它的共轭复数 z 所对应的向量互相垂直，则 a_. 答案 1 解析 z ai，因为复数 z 与它的共轭复数 z 所对应的向量互相垂直，所以 a21，所以 a 1. 16已知复数 z1cos i，z2sin i，则 z1 z2的实部的最大值为_ 答案
9、 3 2 解析 z1 z2(cos i) (sin i) (cos sin 1)i(cos sin )， 故实部为 cos sin 111 2sin 2 3 2，最大值为 3 2. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知复数 z123i，z2155i 2i2.求： (1)z1z2；(2)z1 z2. 解 z2155i 2i2 155i 34i 155i34i 34i34i 2575i 25 13i， 则(1)z1z2(23i)(13i)79i. (2)z1 z2 23i 13i 23i13i 13i13i 113i 10 11 10 3 10i. 18(12 分)
10、复平面内有 O，A，B，C 四点，点 O 为原点，点 A 对应的复数是 3i，向量AC 对 应的复数是24i，向量BC 对应的复数是4i，求点 B 对应的复数 解 CA 对应的复数是 24i， CB 对应的复数是 4i，ABCBCA， AB 对应的复数为(4i)(24i)23i， 又OB OA AB ， OB 对应的复数为(3i)(23i)52i， 点 B 对应的复数为 zB52i. 19(12 分)已知 mR，复数 z(m2)(m29)i. (1)若 z 对应的点在第一象限，求 m 的取值范围； (2)若 z 的共轭复数 z 与复数8 m5i 相等，求 m 的值 解 (1)由题意得 m20，
11、 m290， 解得 m3， 所以 m 的取值范围是m|m3 (2)因为 z(m2)(m29)i， 所以 z m2(9m2)i， 因为 z 与复数8 m5i 相等， 所以 m28 m， 9m25， 解得 m2. 20(12 分)已知复数 z 满足|z| 2， z 是 z 的共轭复数，且 z 2为纯虚数，z 在复平面内所对 应的点 Z 在第二象限，求 z 2 22的值 解 设 zabi(a，bR)，则|z|a2b2 2， a2b22. 又 z abi， z 2(abi)2a2b22abi， a2b20， 2ab0， a2b22， a2b2， 解得 a 1， b 1. 又点 Z 在第二象限， a1，
12、 b1， 即 z1i， z 2 22 1i 2 22 1i 2 2 11 (i)11i11i2 43(i4)2i3i. 21(12 分)已知复数 z 满足|z| 2，z2的虚部为 2. (1)求复数 z； (2)设 z，z2，zz2在复平面内对应的点分别为 A，B，C，求ABC 的面积 解 (1)设 zabi(a，bR)， 由已知条件得 a2b22，z2a2b22abi， 所以 2ab2. 所以 ab1 或 ab1，即 z1i 或 z1i. (2)当 z1i 时，z2(1i)22i，zz21i. 所以点 A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)， 所以 SABC1 2|AC|1 1 2211.
13、 当 z1i 时，z2(1i)22i，zz213i. 所以点 A(1，1)，B(0,2)，C(1，3)， 所以 SABC1 2|AC|1 1 2211. 即ABC 的面积为 1. 22(12 分)设 z 是虚数，z1 z是实数，且12. (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围； (2)设 1z 1z，求证： 为纯虚数； (3)求 2的最小值 (1)解 z 是虚数， 可设 zxyi，x，yR，且 y0， z1 zxyi 1 xyixyi xyi x2y2 x x x2y2 y y x2y2 i， 可得 y y x2y20， y0 x2y21|z|1， 此时，2x1 2x1， 即 z 的实部的取值范围为 1 2，1 . (2)证明 1z 1z 1xyi 1xyi 1y2x22yi 12xx2y2 yi x1， y0， 为纯虚数 (3)解 22x y 1xi 2，化简得 22(x1) 2 1x32 2x1 2 1x31. 当且仅当 x1 1 x1，即 x0 时， 2取得最小值 1.