1、第七章 章末复习 一、单项选择题：一、单项选择题： 1若复数满足是虚数单位 ，则 （ ） A B C D 2已知 i 为虚数单位，复数，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ ） A直线 B圆 C椭圆 D抛物线 4复数， ，如果，那么实数的取值范围是（ ） A B C D 5 已知方程有实根， 且， 则复数等于 （ ） A B C D 6若复数为纯虚数，则（ ） A B C D或 7分别是复数 在复平面内对应的点， 是原点， 若， 则 一定是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角
2、形 8设集合， 为虚数单位， ，则为（ ） A B C D 二、多项选择题：二、多项选择题： 9已知 i 为虚数单位，下列命题中正确的是（ ） 2i1 3i(iz )z 31 i 22 31 i 22 31 i 22 31 i 22 77 sinicos 66 z 134izz 1 2iza 2 2iz 12 zza 1,11, 0, , 11, U 2 4i4i0 xxaa Rbizabz 22i22i22i 22i 2 3 4sin1 2cosiz 0, 6 3 2 3 3 2 3 ,A B 12 ,z zO 1212 zzzzOAB 22 cossin|,My yxx xR 1 2 i
3、|Nx xi xRMNI 0,10,10,10,1 A若 x，则的充要条件是 B是纯虚数 C若，则 D当时，复数是纯虚数 10 设， 为虚数单位， 则以下结论正确的是 （ ） A对应的点在第一象限 B一定不为纯虚数 C一定不为实数 D对应的点在实轴的下方 11已知虚数满足，下列结论正确的是（ ） A虚数对应的点在某个圆上 B虚数对应的点在某条直线上 C当实数时，为实数 D若在复平面内对应的点在直线上，则复数 12已知 i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ） A若复数 z 满足，则复数 z 对应的点在以为圆心，为半径的圆上 B若复数 z 满足，则复数 C复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到
4、原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D复数对应的向量为，复数对应的向量为，若，则 三、填空题：三、填空题： 13已知是复数， 是虚数单位，且， 则_，复数在复平面内对应的点位于第_象限 14若有两个数，它们的和是 4，积为 5，则这两个数是_ yCi1 ixy 1xy 2 1 iaaR 22 12 0zz 12 0zz 4m 22 lg(27)56 immmm 22 25322 iztttttRi zz zz z2510zz z z 5m zm mz 1 2i z yx 103 10 i 22 z i5z 1,05 | 28izz15 8iz 1 z 1 OZ uuu u r 2 z 2 O
5、Z uuuu r 1212 zzzz 12 OZOZ uuu u ruuuu r zi 2iza 2 (4)14 3iz | z z 15已知 i 为虚数单位，计算：_ 16如果虚数 z 满足，那么的值是_ 四、解答题：四、解答题： 17实数取什么值时，复数 （1）与复数相等； （2）与复数互为共轭复数； （3）对应的点在轴上方 18已知复数在复平面上对应的点在第二象限，且满足 （1）求复数； （2）设，在复平面上对应点分别为，求的面积 19已知复数， （1）求； （2）在中，且，求的取值范围 13 i2 cosisin 223 3 3 8z 32 22zzz m 22 56215 izmmm
6、m 2 12i 12 16i x z 2 zz z z 2 z 3 zABCABC 1 2iz 1 2 1 i 2 2i 1 z z z 2 z ABC 3 B 2 cos2icos 2 C uA 2 uz 20设虚数 z 满足 （1）求证：为定值； （2）是否存在实数 k，使为实数？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由 21已知复数， (其中 i 是虚数单位， ，) （1）若为纯虚数，求实数 m 的值； （2）若，求实数的取值范围 2332zz z zk kz 2 1 42 izmm 2 2sincos2 iz mR 1 z 12 zz 22 （1）计算：； （2） 若复数满足， 求复
7、数的三角形式 参考答案 一、单项选择题：一、单项选择题： 1 【答案】A 【解析】，故选 A 2 【答案】B 【解析】由， 1010 3 2i213 i 1 i221 3 2i z 11 2 z z arg 1 3 z z 3 (2|)3 2 zzz 1 3ii1 3i31 i 2i222 z 71 sinsin()sin 666 2 ， 即复数， 所以复数对应的点为位于第二象限，故选 B 3 【答案】B 【解析】设， 由，可得， 两边平方得， 复数 z 在复平面上对应点的轨迹是圆，故选 B 4 【答案】A 【解析】由题意，复数，可得， 因为，所以，解得，故选 A 5 【答案】A 【解析】由是
8、方程的根， 可得，整理可得， 所以，解得，所以，故选 A 6 【答案】B 【解析】若复数为纯虚数， 则，即， 73 coscos()cos 666 2 7713 sinicosi 6622 z 13 , 22 i,zxy x yR 134iz 2 2 15xy 2 2 125xy 1 2iza 2 2iz 2 1 4za 2 5z 12 zz 2 45a 11a b 2 4i4i0 xxaa R 2 4i4i0bba 2 i440babb 2 0 440 ba bb 2 2 a b 22iz 2 3 4sin1 2cosiz 2 34sin0 1 2cos0 2 3 sin 4 1 cos 2
9、 结合，可知，故， 本题选择 B 选项 7 【答案】C 【解析】 因为， 所以， 因此，即一定是直角三角形，故选 C 8 【答案】C 【解析】确定出集合的元素是关键本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点 ，所以； 因为，所以，即， 又因为，所以，即，所以，故选 C 二、多项选择题：二、多项选择题： 9 【答案】BD 【解析】取，则，但不满足，故 A 错误； ，恒成立，所以是纯虚数，故 B 正确； 取，则，但不成立，故 C 错误； 时，复数是纯虚数，故 D 正确， 故选 BD 10 【答案】CD 【解析】， 所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故 A 错误； 当，即或时，为
10、纯虚数，故 B 错误； 0, 3 sin 2 1 cos 2 3 1212 zzzzOAOBOAOB uuu ruuu ruuu ruuu r 22 OAOBOAOB uuu ruuu ruuu ruuu r 0OA OB uuu r uuu r OAOB uuu ruuu r OAB 22 cossincos20,1yxxx 0,1M i 1 2xi2x i2x xR11x 1,1N 0,1MN I ix iy i1 ixy 1xy a R 2 10a 2 1 ia 1 iz 2 1z 22 12 0zz 12 0zz 4m 22 12756 i42ig mmmm 2 2 54949 253
11、2 488 ttt Q 2 2 22110ttt z 2 2 2530 220 tt tt 3t 1 2 t z 因为恒成立，所以一定不为实数，故 C 正确； 由选项 A 的分析知， 对应的点在实轴的上方， 所以对应的点在实轴的下方， 故 D 正确， 故选 CD 11 【答案】AC 【解析】设（x，且） ， 由，得， 化简得，即， 因此虚数 z 对应的点在以为圆心，5 为半径的圆上，A 正确，B 错误； 若为实数，则， 又且，解得，因此 C 正确； 由及已知得， 即，代入，解得或， 故或，因此 D 错误， 故选 AC 12 【答案】CD 【解析】 满足的复数 z 对应的点在以为圆心，为半径的圆
12、上， A 错误； 在 B 中，设，则 由，得， ，解得，B 错误； 由复数的模的定义知 C 正确； 2 220ttz zz zxyi yR0y 2510zz 22 22 25410 xyxy 22 25xy5z 0,0 2222 i zmxmxymy mzmxymxy 22 0 ymy mxy 0y 22 25xy 1 0 25 m m 5m 1 2i1 2ii22izxyxyyx 22xyyx 3yx 22 25xy 10 2 3 10 2 x y 10 2 3 10 2 x y 103 10 i 22 z 103 10 i 22 z i5z 0,15 i( ,)zab a bR 22 za
13、b | 28izz 22 i2 8iabab 22 2 8 aab b 15 8 a b 15 8iz 由的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻 边垂直，D 正确， 故选 CD 三、填空题：三、填空题： 13 【答案】，二 【解析】因为，所以， 所以， 所以，解得， 所以，所以， 复数在复平面内对应的点为，位于第二象限 故答案为，二 14 【答案】 【解析】设， 依题意有， 即，所以 将代入，得； 将代入，解得； 将代入，得， 结合，解得或， 所以对应的数为、，故答案为 15 【答案】 1212 zzzz 1 OZ uuu u r 2 OZ uuuu r 7 2iza 2iza
14、222 (4)(2i)44 i14 3izaaa 2 41 44 3 a a 3a 23iz 23iz |7z z ( 2, 3) 7 2i 1 izab 2 i, , ,zcd a b c d R 12 4zz 12 5zz i4 i5 acbd acbdadbc 4 0 5 0 ac bd acbd adbc bd0adbcac ac4ac 2ac 2ac 5ac bd1bd bd 1 1 b d 1 1 b d 2i2i2i 13 i 44 【解析】原式 ， 故答案为 16 【答案】6 【解析】由，得， 又 z 为虚数，得 ，故答案为 6 四、解答题：四、解答题： 17解： （1）根据复
15、数相等的充要条件得，解得 （2）根据共轭复数的定义得，解得 （3）根据复数的对应点在 x 轴的上方可得， 解得或 18解： （1）设，则， 故，所以， 又，解得， （2）由（1） ，得， ，在复平面上对应点，如图所示： cosisin2cosisin 33 33 cosisin2 cosisin 333 3 1 cosis in 23333 13 i 44 13 i 44 3 8z 2 2240zzz 2 240zz 3232 222428026zzzzzz 2 2 562 21512 mm mm 1m 2 2 5612 21516 mm mm 1m z 2 2150mm 3m5m i0,0z
16、ab abizab 222 2iizabababz 22 aba2abb 0a0b 1 2 a 3 2 b 13 i 22 z 13 i 22 z 2 13 i 22 z 3 1z z 2 z 3 zABC 故 19解： （1）因为， 所以 （2）因为， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以 ， 即， 因为，所以， 所以，所以， 123 3 31 1 sin 234 ABC S 1 2iz 1 2 1 i 2 2i 1 z z z 2 1 2ii 1 i 2 i 2i12ii 1 z 2 2 cos2icosicosicos 2 C uzAAC 2 2 cos(2) 1 11cos21cos 3
17、 2 222 A C C uz 1 1cos2cos2 2 AC 3 B 2 3 AC 2 3 AC 4 cos2cos2cos(2 )cos2 3 ACCC 1313 cos2sin2cos2cos2sin2cos(2) 222 23 CCCCCC 2 2 1 cos)1 23 (2uzC 2 0, 3 C 5 2, 33 3 C 1 cos(2)1, 32 C 2 2 1 5 , 2 4 uz 所以的取值范围为 20 （1）证明：依题意，设（x，） ，代入， 得，整理得，即， 所以为定值 （2）解：假设存在实数 k，使得为实数， 即： 为实数， ， ， 故存在实数 k，使为实数，此时 21
18、解： （1）为纯虚数，解得 （2）由，得 ，当时，； 当时， 实数的取值范围是 22解： （1） ， 2 uz 25 , 22 izxyyR0y 2332zz 232 i32ixyxy 22 3xy3z z zk kz iiiii iii3 k xyk xyzkxykxyxy kzkxykxyxyk i 33 xkxyky kk 0 3 yky k 0y Q3k zk kz 3k 1 z 2 40 20 m m 2m 12 zz 2 42sin 2cos2 m m 1 sin1 Qsin1 min 2 sin1 max 6 2,6 1010 3 2i213 i 1 i221 3 2i 1010 213 i(1 i)i 222 而 ， 原式 （2）由题意知：，所以， ， 1010 213 i(1 i)i 222 1010 i(cosisin)cos()isin() 4433 551010 i(cossin)cos()isin() 2233 i 2231 iicosisini 3322 11 (cosisin) 233 z z 2 3 (cosisin) 333 z 2 3 (cosisin) 333 z 3322 (2|)33i3(cosisin) 2233 zzz