1、第七章第七章 复数复数 章末复习章末复习 一、单选题一、单选题 1 3 1 i（ ） A22i B22i C22i D22i 2若复数 2i () 1i m zm R是纯虚数，则|i|m（ ） A5 B2 C2 5 D4 3已知复数 (3i)(32i)()zaaR的实部与虚部的和为 7，则a的值为（ ） A1 B0 C2 D2 4设 ( )f zz ， 1 34iz ， 2 2iz ，则 12 ()f zz等于( ) A1i 3 B211i C2i D55i 5若复数z满足 13 2ii 22 z，则z （ ） A 1 2 B 1 2 Ci 1 2 D 1 2 i 6 在复平面内，O为原点，
2、向量OA uuu r 对应的复数为12i ， 若点A关于实轴的对称点为B， 则向量OB uuu r 对应的复数为（ ） A2i B2i C1i 2 D12i 7欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现： i ecosisin （e 为自然对数的底数，i 为 虚数单位） ，此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角 函数和指数函数的关系根据欧拉公式可知， i e （ ） A1 B0 C1 D1i 8已知复数 z12 cosisin 1212 ，z23 cos isin 66 ，则 z1z2的代数形式是 （ ） A6 cos isin 44 B6 cosisin 1212 C3
3、3i D33i 二、多选题二、多选题 9若复数z满足 i i 1 z z ，则（ ） A1iz B2z Cz在复平面内对应的点位于第四象限 D 2 z 为纯虚数 10设复数 z 满足 z|z|2i，那么（ ） Az 的虚部为i Bz 的虚部为 1 Cz 3 4 i Dz 3 4 i 11下列命题为真命题的是（ ） A若 12 ,z z互为共轭复数，则 1 2 z z为实数 B若 i 为虚数单位，n 为正整数，则 43 ii n C复数 5 i2 的共轭复数为i2 D若 m 为实数，i 为虚数单位，则“ 2 1 3 m”是“复数2i3i()()m在复平面内对应 的点位于第四象限”的充要条件 12
4、任何一个复数izab（其中a、bR，i为虚数单位）都可以表示成： cossinzri的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： cossinconiissi n nn zirrnnn N，我们称这个结论为棣莫弗定 理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A 2 2 zz B当1r ， 3 时， 3 1z C当1r ， 3 时， 13 22 iz D当1r ， 4 时，若n为偶数，则复数 n z 为纯虚数 三、填空题三、填空题 13已知, a bR，且13 2aaibi ，则b_ 14已知 a 为实数，若复数 z(a23a4)(a4)i 为纯虚数，则复数 aai 在复平面内对
5、应的点位于第_象限 15若i是虚数单位，则 22020 iiiL _. 16已知 2 2020 13 ()(,) 22 imniimR nR ，则复数zmni的虚部是_. 四、解答四、解答题题 17m为何实数时，复数 2 (1i)(2i1)23izmm是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数？ 18计算： （1） 2 (1 2 )3(1) 2 ii i ； （2） 22 11 (1)(1) ii ii ； （3） 2 13i ( 3i) 19当实数m取何值时，在复平面内与复数 22 (4 )(6)zmmmmi对应的点满足： （1）在第三象限. （2）在虚轴上. （3）在直线30 xy上.
6、 20在复平面内，把复数33i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转 3 ，求所得向 量对应的复数. 21若复数 z(m2m2)(4m28m3)i(mR)的共轭复数z对应的点在第一象限，求实 数 m 的取值范围 22已知复数1i 1 i 24izaaR. （1）若z在复平面中所对应的点在直线0 xy上，求a的值； （2）求1z的取值范围. 参考答案 一、单选题一、单选题 1B 【解析】 32 1i1i1i2i 1i22i . 故选：B. 2A 【解析】 2(2 )(1) 1(1)(1) iii iii mm z 2 2 i2()mm ， 当z为纯虚数时， 20 20 m m ，解得2m， ii
7、2m ，| i5m 故选：A. 3C 【解析】 2 (3i)(32i)32 i9i6i36(29)izaaaaa， 所以复数z的实部与虚部分别为36a，29a， 于是36297aa，解得2a，故选：C. 4D 【解析】 1 i34z ， 2 i2z ，则 12 55izz ( )f zz ， 则 1212 ()55if zzzz 故选：D 5C 【解析】因为 13 1 22 i，所以2i 1z，所以i 1 22i 1 z 故选：C. 6D 【解析】由题意可知，点A的坐标为1, 2 ，则点B的坐标为1,2， 故向量OB uuu r 对应的复数为12i . 故选：D. 7C 【解析】由题意可知 i
8、 e cosisin1 01 ， 故选：C. 8D 【解析】 1 2 2 cosisincosisin 122 3 616 z z cos()isin() 6 6 61212 6 44 (cosisin) 33i 故选：D. 二二、多多选题选题 9BD 【解析】由i 1 iz z ，可得 2i1i2i 1i 1i1i1i z ， 所以 1iz ，所以 A 不正确； 由 22 ( 1)12z ，所以 B 正确； 由z在复平面内对应点为 1,1 ，位于第二象限，所以 C 不正确； 由 2 2 ii12z ，则 2 z 为纯虚数，所以 D 正确 故选：BD. 10BD 【解析】设复数izxy，x、y
9、R， 由i2zz，得 22 (2i)ixyxy ， 即 22 i()2ixxyy； 所以 22 2 1 xxy y ，所以 1 3 4 y x ，所以 4 i 3 z 即z的虚部为 1 故选：BD 11AD 【解析】设 22 121 2 i, izab zab z zabR，所以 A 正确； 43 ii n ，所以 B 错； i 5 2 2i ，所以共轭复数为i2 ，所以 C 错； 复数i(3)(2)(2)ii3)(1mmm在复平面内对应的点位于第四象限的充要条件 是 320 10 m m ，即 2 1 3 m，所以 D 正确， 故选：AD 12AC 【解析】对于 A 选项，cossinzri
10、，则 22 cos2sin2zri，可得 222 cos2sin2zrir， 2 2 2 cossinzrir，A 选项正确； 对于 B 选项，当1r ， 3 时， 3 3 cossincos3sin3cossin1ziii ，B 选项错误； 对于 C 选项，当1r ， 3 时， 13 cosisini 3322 z ，则 13 i 22 z ， C 选项正确； 对于 D 选项，cosisincosisincosisin 44 n n nn znn ， 取4n，则n为偶数，则 4 cosisin1z 不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC. 三三、填空填空题题 132 【解析】由已知得： 13
11、 2 a ab ，解得： 4 2 a b . 故答案为：2. 14二 【解析】若复数 z(a23a4)(a4)i 是纯虚数， 则 2 340 40 aa a a1， 则复数 aai1i 对应的点的坐标为(1，1)，位于第二象限 故答案为：二 150 【解析】因为i是虚数单位， 所以 41n ii ， 42 i1 n ， 43 ii n ， 4 1 n i， 所以 4414243 iiii0 nnnn ， 所以 232020 iiiiL 2342017201820192020 iiiiiiiiL 0 故答案为：0 16 3 2 【解析】因为 2 2020 )i 13 i(i)(, 22 mnmn
12、 RR， 所以 13 ii 22 mn ， 所以i 13 22 z ， 所以复数z的虚部是 3 2 . 故答案为： 3 2 . 四四、解答解答题题 17解： 2 (1i )( 2i1)23izmm 22i 2 i23immmm 22 223 immmm (1)(2)(1)(3)immmm （1）由 (1)(3)0mm得1m或3m， 即1m或3时，z为实数 （2）由(1)(3)0mm得1m且3m， 即1m且3m时，z为虚数 （3）由 (1)(2)0 (1)(3)0 mm mm ， ， 得2m， 即2m时，z为纯虚数 18解： （1）根据复数的运算法则，可得 2 (12i)3(1i)34i33i
13、2i2i i2ii12 i 2i2i2i55 ； （2）根据复数的运算法则，可得 22 1i1i1i1i1i1i 1 (1i)(1i)2i2i22 ； （3）根据复数的运算法则，可得 22 13i( 3i) ( i)ii ( 3i) ( 3i)( 3i)3i( 3i)( 3i) 13i13 i 444 . 19解： （1）由复数 22 (4 )(6)zmmmmi在对应点的坐标为 22 (4 ,6)Z mm mm， 因为点 Z 在第三象限，可得 2 2 40 60 mm mm ，解得03m. （2）因为点 Z 在虚轴上，则 2 40mm，解得0m或4m . （3）因为点 Z 在直线30 xy上，
14、可得 22 (4 )(6)30mmmm， 整理得390m ，解得3m. 20解：在复平面中33i对应的坐标为(3,3)A，则 6 xOA ， 点A绕O逆时针旋转 3 后的对应的坐标为( , )33C ，其对应的复数为33i， 点A绕O顺时针旋转 3 后的对应的坐标为(0, 2 3)B，其对应的复数为2 3i. 21.解：由题意得z(m2m2)-(4m28m3)i(mR)，z对应的点位于第一象限， 所以 2 2 20, 4830, mm mm 所以 2 2 20, 4830, mm mm 所以 21 13 , 22 mm m 或 即 3 1 2 m，故所求实数 m 的取值范围为 3 (1, ) 2 . 22解： （1）化简得1i 1 i2 4i3(5)izaaa，所以z在复平面中所 对应的点的坐标为3,5a a，在直线0 xy上，所以3(5)0aa，得1a. （2） 222 1(2)(5)(2)(5)2629zaaiaaaa，因为aR， 且 2 49 2629 2 aa，所以 2 7 2 12629 2 zaa，所以 1z的取值范围为 7 2 , 2 .