1、第第 7 7 章章 三角函数三角函数 章末复习课章末复习课 一、三角函数式的化简、求值 1(1)两个基本关系式 sin2cos21 及sin cos tan . (2)诱导公式：可概括为 k 2 (kZ)的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变， 符号看象限 2化简三角函数式的常用方法有：直接应用公式；切化弦；异角化同角；特殊值与 特殊角的三角函数互化；通分、约分；配方去根号 3求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角 4通过三角函数中公式的正用、逆用及变形应用，提升逻辑推理和数学运算素养 例 1 已知 f()sin 2 cos2 tan sin tan3 . (1)
2、化简 f()； (2)若 f()1 8，且 4 2，求 cos sin 的值； (3)若 47 4 ，求 f()的值 解 (1)f() sin2 cos tan sin tan sin cos . (2)由 f()sin cos 1 8可知， (cos sin )2cos22sin cos sin2 12sin cos 121 8 3 4. 又 4 2，cos sin ，即 cos sin 0，0)的函数的单调区间可以通过 解不等式方法去解答，即把 x 视为一个“整体”，分别与正弦函数 ysin x，余弦函数 ycos x 的增(减)区间对应解出 x，即得所求的增(减)区间 (2)周期性：函数
3、 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2 |，ytan(x)的最小 正周期为 |. (3)奇偶性： 三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x 的形式， 而偶函数一般可 化为 yAcos xB 的形式 跟踪训练 2 把函数 f(x)2cos(x)(0,0)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，然后再向左平移 6个单位长度，得到一个最小正周期为 2 的奇函数 g(x)， 则 和 的值分别为( ) A1， 3 B2， 3 C. 1 2， 6 D. 1 2， 3 答案 B 解析 依题意得 f(x)第一次变换得到的函数解析式为 m(x)2cos 2x
4、 ，则函数 g(x) 2cos x 2 12 . 因为函数 g(x)的最小正周期为 2，所以 2， 则 g(x)2cos x 6 .又因为函数 g(x)为奇函数，所以 6k 2，kZ，又 00，00，所以 1 2，又 A5，x 4时，sin 1 2 4 1 3 8 ， 故函数 f(x)5sin 1 2x 3 8 ， 频率 f1 T 1 4；x0 时，初相 3 8 ， 图象应用五点作图法分别取 x0， 4， 5 4 ，9 4 ，13 4 ，4， 求出对应的函数值，并描点和绘制，如图所示 (2)求海水水深持续加大的时间区间， 即求 f(x)的增区间， 令 z1 2x 3 8 ， 函数 y5sin
5、z 的增区间为 22k， 22k ，kZ， 即 22k 1 2x 3 8 22k 7 8 2k1 2x 82k，kZ， 即7 4 4kx 44k(kZ) 反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤 跟踪训练 3 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生 产中使用 假设在水流量稳定的情况下， 筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动 现 将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆 O 的半径为 4 米，P0在水平面上，盛水筒 M 从 点 P0处开始运动，OP0与水平面的所成角为 30 ，且 2 分钟恰好转动 1 圈，则盛水筒 M 距离 水面的高度 H(单位：m)与时间 t(
6、单位：s)之间的函数关系式是( ) AH4sin 30t 3 2 BH4sin 30t 6 2 CH4sin 60t 3 2 DH4sin 60t 6 2 答案 D 解析 设距离水面的高度 H 与时间 t 的函数关系式为 HAsin(t)B， 周期为 120 s，2 T 2 120 60， 最高高度为 44sin 30 6，最低高度为44sin 30 2， 所以 AB6，AB2， A4，B2. 当 t0 时，H0,4sin 20，sin 1 2， 6， 所以 H4sin 60t 6 2. 1 (多选)(2020 新高考全国)如图是函数 ysin(x)的部分图象， 则 sin(x)等于( ) A
7、sin x 3 Bsin 32x Ccos 2x 6 Dcos 5 6 2x 答案 BC 解析 由图象知T 2 2 3 6 2，得 T， 所以 2 T 2.又图象过点 6，0 ， 由“五点法”，结合图象可得 3，即 2 3 ， 所以 sin(x)sin 2x2 3 ，故 A 错误； 由 sin 2x2 3 sin 32x sin 32x 知 B 正确； 由 sin 2x2 3 sin 2x 2 6 cos 2x 6 知 C 正确； 由 sin 2x2 3 cos 2x 6 cos 2x5 6 cos 5 6 2x 知 D 错误 2(2020 天津)已知函数 f(x)sin x 3 .给出下列结
8、论： f(x)的最小正周期为 2； f 2 是 f(x)的最大值； 把函数 ysin x 的图象上所有点向左平移 3个单位长度，可得到函数 yf(x)的图象 其中所有正确结论的序号是( ) A B C D 答案 B 解析 T2 1 2，故正确当 x 3 22k(kZ)， 即 x 62k(kZ)时，f(x)取得最大值，故错误 ysin x 的图象 向左平移 3个单位长度 ysin x 3 的图象，故正确 3(2019 全国)下列函数中，以 2为周期且在区间 4， 2 上为增函数的是( ) Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x| Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x| 答案
9、 A 解析 A 中， 函数 f(x)|cos 2x|的周期为 2， 当 x 4， 2 时， 2x 2， ， 函数 f(x)为增函数， 故 A 正确；B 中，函数 f(x)|sin 2x|的周期为 2，当 x 4， 2 时，2x 2， ，函数 f(x)为减 函数，故 B 不正确；C 中，函数 f(x)cos|x|cos x 的周期为 2，故 C 不正确；D 中，f(x) sin|x| sin x，x0， sin x，x0， 由正弦函数图象知，f(x)不是周期函数，故 D 不正确故选 A. 4(2017 全国)函数 f(x)1 5sin x 3 cos x 6 的最大值为( ) A.6 5 B1
10、C. 3 5 D. 1 5 答案 A 解析 x 3 6x 2， f(x)1 5sin x 3 cos x 6 1 5sin x 3 cos 6x 1 5sin x 3 sin x 3 6 5sin x 3 6 5. f(x)max6 5. 故选 A. 5(2016 全国)若将函数 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对称轴 为( ) Axk 2 6(kZ) Bxk 2 6(kZ) Cxk 2 12(kZ) Dxk 2 12(kZ) 答案 B 解析 由题意将函数 y2sin 2x 的图象向左平移 12个单位长度后得到函数的解析式为 y 2sin 2x 6 ，由 2x 6k 2(kZ)，得函数的对称轴为 x k 2 6(kZ)，故选 B.