1、第第 5 5 章章 函数概念与性质函数概念与性质 章末复习课章末复习课 一、求函数的定义域 1求函数定义域的常用依据是分母不为 0，偶次根式中被开方数大于或等于 0 等；由几个式 子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集 2通过基本的集合交并补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数学抽象素养 例 1 (1)函数 f(x) 2x2 1x(2x1) 0的定义域为( ) A. ，1 2 B. 1 2，1 C. 1 2， 1 2 D. ，1 2 1 2，1 答案 D 解析 由题意知 1x0， 2x10， 解得 x0 时，f(x) x1，则 f(x)的解析式为_ 答案 f(x) 1 x，x0，
2、 0，x0， x1，x0 解析 设 x0，f(x) x1. f(x)是奇函数，f(x)f(x)， 即f(x) x1，f(x) x1. f(x)是奇函数，f(0)0， f(x) 1 x，x0， 0，x0， x1，x0，且4acb 2 4a 0，即 b24ac， 由以上可求得 a1 4，b 1 2，c 1 4， 所以 f(x)1 4x 21 2x 1 4. 三、函数性质的综合应用 1函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比 较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意勿漏定义域的影响 2借助单调性和奇偶性的判断和证明及简单的综合运用，提升数学
3、抽象、逻辑推理和直观想 象素养 例3 已知函数f(x)是定义在区间1,1上的奇函数， 且f(1)1， 若对于任意的m， n1,1， mn0，有fmfn mn 0. (1)判断函数的单调性(不要求证明)； (2)解不等式 f x1 2 f(1x)； (3)若 f(x)2at2 对于任意的 x1,1，a1,1恒成立，求实数 t 的取值范围 解 (1)函数 f(x)在区间1,1上是增函数 (2)由(1)知函数 f(x)在区间1,1上是增函数， 由 f x1 2 f(1x)， 得 1x1 21， 11x1， x1 21x， 解得 0 x1 4. 所以不等式 f x1 2 f(1x)的解集为 x 0 x
4、1 4 . (3)因为函数 f(x)在区间1,1上是增函数，且 f(1)1， 要使得对于任意的 x1,1，a1,1都有 f(x)2at2 恒成立， 只需对任意的 a1,1，2at21 恒成立 令 y2at1，当 t0 时 y 可以看作 a 的一次函数，且在 a1,1时，y0 恒成立 因此只需 2t10， 2t10， 解得1 2t 1 2，且 t0. 当 t0 时，y1，满足 y0 恒成立 所以实数 t 的取值范围为 1 2， 1 2 . 反思感悟 (1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出 图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值 (2)研究抽象函数的性
5、质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给 x 灵活赋值 跟踪训练 3 已知函数 f(x)mx 22 3xn 是奇函数，且 f(2)5 3. (1)求实数 m 和 n 的值； (2)求函数 f(x)在区间2，1上的最值 解 (1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)， mx22 3xn mx22 3xn mx22 3xn. 比较得 nn，n0. 又 f(2)5 3， 4m2 6 5 3，解得 m2. 实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0. (2)由(1)知 f(x)2x 22 3x 2x 3 2 3x. 任取 x1，x22，1，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)2 3(x1x2) 1 1
6、 x1x2 2 3(x1x2) x1x21 x1x2 . 2x1x21， x1x21，x1x210， f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 函数 f(x)在2，1上是增函数 f(x)maxf(1)4 3，f(x)minf(2) 5 3. 四、函数图象的画法及应用 1利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、 二次函数及反比例函数图象 2掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养 例 4 已知函数 f(x)|x22x3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合 Mm|使方程 f(x)m 有四个不相等的实根 解 (1)当x2
7、2x30 时，得1x3，函数 f(x)x22x3(x1)24， 当x22x30 时，得 x3，函数 f(x)x22x3(x1)24， 即 f(x) x124，1x3， x124，x3 的图象如图所示，增区间为1,1和3，)，减区 间为(，1)和(1,3) (2)由题意可知，函数 yf(x)与 ym 的图象有四个不同的交点，则 0m4. 故集合 Mm|0m0，k0) 对称：yf(x)yf(x)； yf(x)yf(x)； yf(x)yf(x) 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图 跟踪训练 4 已知函数 f(x) x，x0， x22x，x0， 方程 f2(x)bf(x)0，b(0,1)，
8、则方程的根 的个数是( ) A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 因为 f2(x)bf(x)0，所以 f(x)0 或 f(x)b，作函数 f(x) x，x0， x22x，x0 的图象如图， 结合图象可知， f(x)0 有 2 个不同的根， f(x)b(0b0 时，要满足 xf(x1)0，则 f(x1)0， 得 1x3. 故满足 xf(x1)0 的 x 的取值范围是1,01,3 2(2020 全国)设函数 f(x)x3 1 x3，则 f(x)( ) A是奇函数，且在(0，)单调递增 B是奇函数，且在(0，)单调递减 C是偶函数，且在(0，)单调递增 D是偶函数，且在(0，)单调递减 答案 A
9、解析 函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)， 且 f(x)(x)3 1 x3x 31 x3f(x)， 所以 f(x)是奇函数 又因为 yx3在(0，)上单调递增， 所以 y 1 x3在(0，)上也单调递增， 所以 f(x)在(0，)上单调递增 3(2019 江苏)函数 y 76xx2的定义域是_ 答案 1,7 解析 要使函数有意义，则 76xx20，解得1x7，则函数的定义域是1,7 4(2017 全国)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时，f(x)2x3x2， 则 f(2)_. 答案 12 解析 方法一 令 x0，则x0) f(2)2232212. 方法二 f(2)f(2) 2(2)3(2)212. 5(2017 北京)已知 x0，y0，且 xy1，则 x2y2的取值范围是_ 答案 1 2，1 解析 方法一 由 xy1，得 y1x. 又 x0，y0，所以 0 x1，x2y2x2(1x)22x22x12 x1 2 21 2. 由 0 x1，得 0 x1 2 21 4， 即1 2x 2y21.所以 x2y2 1 2，1 . 方法二 x2y2(xy)22xy， 已知 x0，y0，xy1，所以 x2y212xy. 因为 1xy2 xy，所以 0 xy1 4， 所以1 212xy1， 即 x2y2 1 2，1 .