1、第第 4 4 章章 指数与对数指数与对数 章末复习课章末复习课 一、根式的化简或求值 1根式的化简与求值要使用根式的运算性质： (1)当 n 为任意正整数时，(na)na； (2)当 n 为奇数时，nana； 当 n 为偶数时，nan|a| a，a0， a，a0. 2通过根式的化简或求值问题，认真领会运算性质，培养数学抽象和数学运算的核心素养 例 1 求值： 4 1a2 a213a 1a . 解 要使原式有意义，须使 1a20， a210， 1a0 成立， 所以 a1，原式 3 11 3 2. 反思感悟 根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然
2、后运用根式的性 质进行化简或求值 跟踪训练 1 (1)若 6a0，b0)； (2) 1 3 0.064 7 8 0 1 4 81 16 1 2 0.01. 解 (1)原式 3 1 3 1 1 11 1 5 3 2 62 3 6 ab 2 3 9a93a2. (2)原式 1 3 3 0.4 1 1 4 4 3 2 1 2 2 0.1 0.4 113 20.13.1. 反思感悟 利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧 (1)有括号先算括号里的 (2)无括号先做指数运算 (3)负指数幂化为正指数幂的倒数 (4)底数是负数， 先确定符号， 底数是小数， 先要化成分数， 底数是带分数， 先要化成假
3、分数， 然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数的运算性质 跟踪训练 2 (1)计算： 1 1 2 21 2 33 1 125343 16 ； (2)化简： 21 1 34 1 3 3 13 4 xy zx y z . 解 (1)原式 1 211 2 343 323 527 11 22 22 527366. (2)原式 21 1 33 1311 1 3 4433 yzx x1 y0 z 2xz2. 三、对数恒等式的应用 1对数恒等式的两点说明 (1)对数恒等式的证明依据：对数的定义 (2)对于对数恒等式 alogaNN 要注意格式： 它们是同底的；指数中含有对数式；其值为对数的真数 2对数的性质
4、与对数恒等式是对数化简求值的重要依据，要认真理解、掌握，提升数学运算 的核心素养 例 3 log5(log3(log2a)0，计算 36log6a 的值 解 因为 log5(log3(log2a)0， 所以 log3(log2a)1，即 log2a3. 所以 a238. 所以原式 2 6 6 log log2 66 a a a264. 反思感悟 性质 logaN aN 与 logaabb 的作用 (1) logaN aN 的作用在于能把任意一个正实数转化为以 a 为底的指数形式 (2)性质 logaabb 的作用在于把任意一个实数转化为以 a 为底的对数形式 跟踪训练 3 已知 1 2 log
5、 a3，求 36log36a 的值 解 因为 1 2 log a3，所以 a 1 2 31 8， 所以原式a1 8. 四、对数运算 1对数的运算性质是对数运算的依据，利用对数的运算性质时，要注意公式成立的前提条 件对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度 2通过对数的运算性质进行对数运算，提升数学运算的核心素养 例 4 计算：log2 7 48log212log2 42. 解 (1)方法一 原式1 2(log27log248)log232log22 1 2(log22log23log27) 1 2log27 1 2log23 1 2log216 1 2log2
6、32 1 2 1 2log27 1 2. 方法二 原式log2 7 4 312 1 76 1 2. 反思感悟 对数的运算性质在解题中的两种应用 跟踪训练 4 计算：log5352log57 3log57log51.8. 解 原式log5(57)2(log57log53)log57log59 5 log55log572log572log53log572log53log55 2log552. 1(2020 全国)设 alog342，则 4 a 等于( ) A. 1 16 B. 1 9 C. 1 8 D. 1 6 答案 B 解析 方法一 因为 alog342，所以 log34a2， 所以 4a329
7、，所以 4 a1 4a 1 9. 方法二 因为 alog342， 所以 a 2 log342log43log43 2log 49， 所以 4 a 1 44 log 9log 9 44 9 11 9. 2(2020 新高考全国)基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数基本 再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠 肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的 变化规律， 指数增长率 r 与 R0， T 近似满足 R01rT.有学者基于已有数据估计出 R03.28， T6.据此，在新冠
8、肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为(ln 20.69)( ) A1.2 天 B1.8 天 C2.5 天 D3.5 天 答案 B 解析 由 R01rT，R03.28，T6， 得 rR01 T 3.281 6 0.38. 由题意，累计感染病例数增加 1 倍， 则 I(t2)2I(t1)，即 21 0.380.38 e2e tt ， 所以 21 0.38() e tt 2， 即 0.38(t2t1)ln 2， 所以 t2t1ln 2 0.38 0.69 0.381.8. 3 (2019 全国)2019年1月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆， 我国航天事
9、业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面 与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地 月拉格朗日 L2点的轨道运行 L2点是平衡点， 位于地月连线的延长线上 设地球质量为 M1， 月球质量为 M2， 地月距离为 R， L2点到月球的距离为 r， 根据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满足方程： M1 Rr2 M2 r2 (Rr)M1 R3.设 r R.由于 的值很小， 因此在近似计算中 33345 12 33，则 r 的近似值为( ) A. M2 M1R B. M2 2M1R C. 3 3M2 M1 R D. 3 M2 3M1R
10、答案 D 解析 由 M1 Rr2 M2 r2 (Rr)M1 R3， 得 M1 1r R 2 M2 r R 2 1r R M1. 因为 r R，所以 M1 12 M2 2(1)M1， 得3 3345 12 M2 M1.由 33345 12 33， 得 33M2 M1，即 3 r R 3M2 M1， 所以 r 3 M2 3M1 R，故选 D. 4(2017 北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普 通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与M N最接近的是( ) (参考数据：lg 30.48) A1033 B1053 C1073 D1093 答案 D 解析 由题意知，lg M Nlg 3361 1080lg 3 361lg 1080 361lg 380lg 103610.4880193.28. 又 lg 103333，lg 105353，lg 107373，lg 109393， 所以与M N最接近的是 10 93.故选 D. 5(2015 安徽)lg 5 22lg 2 1 2 1_. 答案 1 解析 lg 5 22lg 2 1 2 1lg 5 2lg 2 22 lg 5 24 2121.