1、第第 6 6 章章 幂函数、指数函数和对数函数幂函数、指数函数和对数函数 章末复习课章末复习课 一、幂函数 幂函数的图象及应用是考查重点， 主要应用有两方面： 一是识图或用图， 二是单调性的应用， 渗透直观想象与逻辑推理的核心素养 例 1 (1)若函数 y 2 23mm x (mZ)的图象如图所示，则 m 的值为_ 答案 1 解析 由图象可知，m22m3 为负偶数，且 mZ，所以 m1. (2)实数 1 2 1.7， 1 2 0.7 ， 1 2 0.7的大小关系是_ 答案 111 222 0.70.71.7 解析 y 1 2 x在其定义域内是增函数， 而 1 2 0.7 1 2 10 7 ，0
2、.710 7 0 时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；a0 时，图象不过原点， 在第一象限的图象下降，反之也成立 (2)比较大小的基本题型， 关键在于构造适当的函数， 若指数相同而底数不同， 则考虑幂函数； 若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，则需引入中间量可以 利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象进行判断 跟踪训练 1 已知函数 f(x) 1 3 a x 在(，0)上是增函数，在(0，)上是减函数，则最小 的正整数 a_. 答案 3 解析 f(x)在(0，)上是减函数， 1a 3 1. 又f(x)在(， 0)上是增函数， 且在(
3、0， )上是减函数， f(x)为偶函数， 1a 为偶数， a 为奇数， 最小的正整数 a3. 二、指数函数、对数函数的图象及其应用 1 指数函数、 对数函数的图象及应用有两个方面： 一是已知函数解析式求作函数图象， 即“知 式求图”；二是判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对 数函数等图象的交点个数问题 2掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑 推理素养 例 2 已知 a0 且 a1，则函数 f(x)ax和 g(x)loga 1 x 的图象只可能是( ) 答案 C 解析 函数 g(x)的定义域是(，0)，排除 A，B， 若 0
4、a1，则 f(x)ax是增函数， 此时 g(x)loga 1 x 是增函数，C 满足 反思感悟 指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解 不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换 跟踪训练 2 对数函数 ylogax(a0 且 a1)与二次函数 y(a1)x2x 在同一坐标系内的图 象可能是( ) 答案 A 解析 若 0a1，则 ylogax 在(0，)上是增函数， 函数 y(a1)x2x 图象开口向上，且对称轴 x 1 2a1在 y 轴右侧， 因此 B 项不正确，只有选项 A 满足 三、指数函数、对数函数的性质及其应用 1以函
5、数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程 和不等式求解等在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于 0，以免出 现增根或扩大范围 2掌握指数函数、对数函数的图象及性质，重点提升数学运算和逻辑推理素养 例 3 (1)设 alog2，b 1 2 log ，c 2，则( ) Aabc Bbac Cacb Dcba 答案 C 解析 alog2log221，b 1 2 log 1 2 log 10， c 21 2，即 0ccb. (2)已知 a0，a1 且 loga3loga2，若函数 f(x)logax 在区间a,3a上的最大值与最小值之差 为 1. 求
6、a 的值； 若 1x3，求函数 y(logax)2logax2 的值域 解 因为 loga3loga2， 所以 f(x)logax 在a,3a上为增函数 又 f(x)在a,3a上的最大值与最小值之差为 1， 所以 loga(3a)logaa1，即 loga31，所以 a3. 函数 y(log3x)2log3x2 (log3x)21 2log3x2 log3x1 4 231 16. 令 tlog3x， 因为 1x3，所以 0log3x1，即 0t1. 所以 y t1 4 231 16 31 16， 5 2 ， 所以所求函数的值域为 31 16， 5 2 . 反思感悟 要熟练掌握指数函数、对数函数
7、的图象和性质方程、不等式的求解可利用单调 性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现 增根；大小比较问题可直接利用单调性和中间值解决 跟踪训练 3 若 0 xy1，则( ) A3y3x Blogx3logy3 Clog4xlog4y D. 1 4 x 1 4 y 答案 C 解析 因为 0 xy1，则 对于 A，函数 y3x在 R 上为增函数，故 3x3y，A 错误 对于 B，根据底数 a 对对数函数 ylogax 的影响：当 0a1 时，在 x(1，)上“底小图 高”因为 0 xylogy3，B 错误 对于 C，函数 ylog4x 在(0，)上为增函数，故
8、 log4x 1 4 y，D 错误 1(2020 全国)设 alog32，blog53，c2 3，则( ) Aacb Babc Cbca Dcab 答案 A 解析 3log32log382， log322 3，即 a2， log532 3，即 bc. ac0，得 x5. 令 tx24x5，则函数 tx24x5 在(，1)上为减函数，在(5，)上为增函数， 函数 ylg t 为增函数，故要使函数 f(x)lg(x24x5)在(a，)上为增函数，则有(a，) (5，)，即 a5. 3(2019 全国)若 ab，则( ) Aln(ab)0 B3a0 D|a|b| 答案 C 解析 由函数 yln x
9、的图象(图略)知，当 0ab1 时，ln(ab)b 时，3a3b，故 B 不正确；因为函数 yx3在 R 上为增函 数，所以当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 正确；当 ba0 时，|a|0 时，f(x) 2x3 2x2 x0 恒成立，排除 D； 因为 f(4) 264 242 4 128 16 1 16 12816 257 7.97，排除 A. 5(2019 北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度 满足 m2m15 2lg E1 E2，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k1,2)已知太阳的星等是26.7， 天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A1010.1 B10.1 Clg 10.1 D10 10.1 答案 A 解析 由题意可设太阳的星等为 m2，太阳的亮度为 E2，天狼星的星等为 m1，天狼星的亮度 为 E1， 则由 m2m15 2lg E1 E2，得26.71.45 5 2lg E1 E2， 则5 2lg E1 E225.25，lg E1 E210.1，lg E2 E110.1， E2 E110 10.1.