1、第第 2 2 章章 常用逻辑用语常用逻辑用语 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1已知命题“若 p，则 q”，假设“若 q，则 p”为真，则 p 是 q 的( ) A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 B 解析 “若 q，则 p”为真，即 qp，所以 p 是 q 的必要条件 2已知命题 p：x0，使 x22x10 成立，则 p 的否定是( ) Ax0，使 x22x10 不成立 Bx0，使 x22x10 不成立 Cx0，使 x22x10 不成立 Dx0，使 x22x10 不成立 答案 C 解析
2、 “”改为“”，“成立”改为“不成立” 3已知命题 p：“某班所有的男生都爱踢足球”，则命题 p 的否定为( ) A某班至多有一个男生爱踢足球 B某班至少有一个男生不爱踢足球 C某班所有的男生都不爱踢足球 D某班所有的女生都爱踢足球 答案 B 解析 命题 p：“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在 量词命题，即命题 p 的否定为“某班至少有一个男生不爱踢足球” 4下列命题中，与其他命题不同的命题是( ) A存在一个平行四边形是矩形 B任何一个平行四边形是矩形 C有些平行四边形是矩形 D有一个平行四边形是矩形 答案 B 解析 A，C，D 都是含有存在量词的存在量词命题
3、，B 是含有全称量词的全称量词命题 5设 P(x，y)，则“x2 且 y1”是“点 P 在一次函数 yx1 的图象上”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 答案 A 解析 P(2，1)满足 xy10，故 P(2，1)在一次函数的图象上，但图象上除 P 点外， 还有无穷多个点 6下列全称量词命题中真命题的个数为( ) 末位是 0 的整数可以被 2 整除； 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 正方形中任意两条边都相等 A1 B2 C3 D0 答案 C 解析 要判断全称量词命题“xM，P(x)”为真命题，要对集合 M 中的每一个元素 x，证 明 P(
4、x)成立， 如果在 M 中找到一个元素 x， 使 P(x)不成立， 那么这个全称量词命题为假命题， 故正确，正确，正确 7下列结论中正确的是( ) AnN*,2n25n2 能被 2 整除是真命题 BnN*,2n25n2 不能被 2 整除是真命题 CnN*,2n25n2 不能被 2 整除是真命题 DnN*,2n25n2 能被 2 整除是假命题 答案 C 解析 当 n1 时，2n25n2 不能被 2 整除， 当 n2 时，2n25n2 能被 2 整除 所以 A，B，D 错误，C 项正确，故选 C. 8一次函数 ym nx 1 n的图象同时经过第一、三、四象限的一个必要不充分条件是( ) Am1，且
5、 n1 Bmn0，且 n0 Dm0，且 n0， 1 n0，n0，此为充要条件，因此，其中一个必要不充分条件为 mn0 Bx1，1,0,2x10 CxN，使 xx DxN*，使 x 为 29 的约数 答案 ACD 解析 对于 A， 这是全称量词命题， 由于 (3)24240 恒成立， 故 A 为真命题； 对于 B，这是全称量词命题，由于当 x1 时，2x10 不成立，故 B 为假命题； 对于 C，这是存在量词命题，当 x0 时，有 xx 成立，故 C 为真命题； 对于 D，这是存在量词命题，当 x1 时，x 为 29 的约数成立，所以 D 为真命题 10下列条件中，2x2 的必要不充分条件是(
6、) A2x2 B2x3 C0 x2 D1x3 答案 AB 解析 由2x2，得必要不充分条件的 x 的范围包含x|2x0 答案 BD 解析 A该命题的否定：有的四边形的内角和不是 360 ，是假命题； B该命题的否定：xR，x22x20，真命题，这是由于xR，x22x2(x1)2 110 恒成立 C该命题的否定：xx|x 是无理数，x2不是无理数，假命题； D该命题的否定：存在实数 a，有|a|0，真命题 12若 p：x2x60 是 q：ax10 的必要不充分条件，则实数 a 的值为( ) A2 B1 2 C. 1 3 D3 答案 BC 解析 由 x2x60，可得 x2 或 x3. 对于 ax1
7、0，当 a0 时，方程无解； 当 a0 时，x1 a. 由题意知 pq，qp，则可得 a0，此时应有1 a2 或 1 a3，解得 a 1 2或 a 1 3. 综上可得，a1 2或 a 1 3. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13“x0，x1 x”的否定是_，此否定是_命题(第二空填“真”或 “假”) 答案 x0，使 x1 x 假 解析 命题的否定：x0，使 x1 x.易知此否定为假命题 14给出下列命题： (1)所有的合数都是偶数； (2)xR，x2x10； (3)aRQ，bRQ，使得 abQ. 其中真命题为_(填序号) 答案 (3) 解析 (1)9 是合数，
8、但它不是偶数，是假命题； (2)x2x1 x1 2 23 4 3 40，是假命题； (3)当 a2 2，b3 2时，ab5，是真命题 15已知集合 Ax|1x2，Bx|1x1 解析 由 xA 是 xB 成立的一个充分不必要条件， 得 AB，即 m11， m12， 即 m1. 16若存在实数 m，使得命题“对任意的 xR，都有 m2x2x1”是真命题，则 m 的取值 范围为_ 答案 3 2 ， 3 2 解析 由于对任意的 xR，都有 m2x2x1 成立， 而 x2x1 x1 2 23 4 3 4， 因此只需 m23 4，即 3 2 m0. 解 (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量
9、词命题；又由于“任意的”的否 定为“存在一个”， 因此，綈 p：存在一个 xR，使 x2x10 成立， 即“xR，使 x2x10 成立” (2)由于“xR”表示存在一个实数 x，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因而是存在量词命题； 又由于“存在一个”的否定为“任意一个”， 因此，綈 p：对任意一个 x 都有 x22x50， 即“xR，x22x50” 18(12 分)判断下列命题的真假，并写出它们的否定： (1)x，yZ,3x4y20； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身 解 (1)真命题命题的否定：x，yZ,3x4y20. (2)真命题命题的否定：在实数
10、范围内，所有的一元二次方程都有解 (3)省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，且为真命题命题的否定：有的正数的 绝对值不是它本身 19(12 分)已知 p：实数 x 满足 ax0)，q：实数 x 满足 2x5. (1)若 a1，且 p 与 q 都为真命题，求实数 x 的取值范围； (2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a1 时，p：实数 x 满足 1x4，q：实数 x 满足 2x5， 因为 p 与 q 都为真命题，所以 1x4， 2x5， 解得 2x4，即 x(2,4) (2)记 Ax|ax0，Bx|2x5，因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以
11、 BA， 所以 a2， 4a5， 等号不能同时取到，解得5 4a2， 所以实数 a 的取值范围是 a 5 4a2 . 20(12 分)已知 p：xR，使 mx24x20 为假命题 (1)求实数 m 的取值集合 B； (2)设 Ax|3axa2为非空集合若 xA 是 xB 成立的充分不必要条件，求实数 a 的取 值范围 解 (1)p 等价于 mx24x20 无实根， 当 m0 时，x1 2，有实根，不符合题意； 当 m0 时，由已知得 1642m2. Bm|m2 (2)Ax|3ax3a， a1，若 xA 是 xB 成立的充分不必要条件，则 AB. 3a2，此时2 3a1， 故 a 的取值范围为
12、a 2 3a1 . 21(12 分)已知 mZ，关于 x 的一元二次方程mx24x40 和x24mx4m24m5 0.求方程和的根都是整数的充要条件 解 由方程都是一元二次方程，知 m0. 方程有实数根的充要条件是 m0， 164m 40， 解得 m1，且 m0. 方程有实数根的充要条件是 m0， 16m244m24m50， 解得 m5 4，且 m0. 所以5 4m0 或 0m1， 而 mZ，故 m1 或 m1. 当 m1 时，方程为 x24x40，无整数根； 当 m1 时，方程为 x24x40， 方程为 x24x50，均有整数根 从而，方程和的根都是整数m1； 反之，m1方程和的根都是整数
13、故方程和的根都是整数的充要条件为 m1. 22(12 分)设集合 Ax|1x2，集合 Bx|2mx1 (1)若“xA”是“xB”成立的必要条件，求实数 m 的取值范围； (2)若 B(RA)中只有一个整数，求实数 m 的取值范围 解 (1)若“xA”是“xB”成立的必要条件，则 BA， Ax|1x2， 当 B时，有 2m1，解得 m1 2， 当 B时，有 2m1， 2m1， 解得1 2m 1 2， 综上所述，实数 m 的取值范围是 1 2， . (2)Ax|1x2， RAx|x2， 当 m1 2时，Bx|2mx1， 若(RA)B 中只有一个整数，则32m2， 得3 2m1； 当 m1 2时，不符合题意， 综上，实数 m 的取值范围是 3 2，1 .