1、第第 7 7 章章 三角函数三角函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1若扇形的面积为 16 cm2，圆心角为 2 rad，则该扇形的弧长为( ) A4 cm B8 cm C12 cm D16 cm 答案 B 解析 S1 2r 2r216，r4，lr248，故选 B. 2若 是第三象限角，则 2是( ) A第一或第二象限角 B第一或第三象限角 C第二或第三象限角 D第二或第四象限角 答案 B 解析 是第三象限角， 2k2k3 2 ，kZ， k 2 2k 3 4 ，kZ， k3 4 2k 2，kZ. k 4 20 时，
2、两函数图象如图所示， 两图象有 3 个公共点， 同理， 当 x0 时， 两图象也有 3 个公共点， 故两图象共有 6 个公共点， 从而方程有 6 个实数根，故选 C. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的 得 2 分，有选错的得 0 分) 9下列函数中最小正周期为 的是( ) Aycos|2x| By|cos x| Cycos 2x 6 Dytan 2x 4 答案 ABC 解析 A 中，ycos|2x|cos 2x，其最小正周期为 ；B 中，知 y|cos x|是 ycos x 将 x 轴下 方的部分向上翻折得到的，故周期减半，即 y
3、|cos x|的最小正周期为 ； C 中，ycos 2x 6 的最小正周期 T2 2 ； D 中，ytan 2x 4 的最小正周期 T 2. 10已知函数 f(x)2sin 2x 3 1，则下列说法正确的是( ) A函数 f(x)的图象关于点 3，0 对称 B函数 f(x)图象的一条对称轴是 x 12 C若 x 3， 2 ，则函数 f(x)的最小值为 31 D若 0 x1x2，则 f(x1)f(x2) 答案 BC 解析 A 项，令 2x 3k(kZ)知函数 f(x)关于点 6 k 2 ，1 (kZ)对称，所以 A 不成立； B 项，令 2x 3 2k(kZ)知函数 f(x)关于 x 5 12
4、k 2 (kZ)对称，所以 B 成立； C 项，若 x 3， 2 ，2x 3 3， 2 3 ， 则函数 f(x)的最小值为 31，C 成立； D 项，由于当 0 x1x2，f(x)不具有单调性，所以 D 不成立 11设 sin xsin y1 3，则 Msin xcos 2y 的( ) A最小值为4 9 B最小值为11 12 C最大值为4 9 D最大值为11 12 答案 BC 解析 由题意，得 sin x1 3sin y. 由 sin x1, 1， 得 11 3sin y1， 1sin y1， 解得2 3sin y1. M1 3sin ycos 2y sin2ysin y2 3 sin y1
5、2 211 12， 则当 sin y1 2时，Mmin 11 12； 当 sin y2 3时，Mmax 4 9. 12对于函数 f(x) sin x，sin xcos x， cos x，sin xcos x， 下列说法中不正确的是( ) A该函数的值域是1, 1 B当且仅当 x2k 2(kZ)时，函数取得最大值 1 C当且仅当 x2k 2(kZ)时，函数取得最小值1 D当且仅当 2kx2k3 2 (kZ)时，f(x)0 答案 ABC 解析 画出函数 f(x)的图象如图所示，由图象容易看出：该函数的值域是 2 2 ，1 ；当且仅 当 x2k 2或 x2k，kZ 时，函数取得最大值 1；当且仅当
6、x2k 5 4 ，kZ 时，函数 取得最小值 2 2 ；当且仅当 2kx2k3 2 ，kZ 时，f(x)0)的图象的相邻两支截直线y 4所得线段长为 4， 则_， f 4 _. 答案 4 0 解析 f(x)的图象的相邻两支截直线 y 4所得线段的长度即为 f(x)tan x 的一个周期， 4，4，因此 f 4 tan 4 4 tan 0. 15设定义在区间 0， 2 上的函数 ycos x 与 ytan x 的图象交于点 P，过点 P 作 x 轴的垂 线，垂足为 P1，直线 PP1与函数 ysin x 的图象交于点 P2，则线段 P1P2的长为_ 答案 51 2 解析 不妨设 P1坐标为(x0
7、, 0)， 则 P1P2的长为 sin x0. ycos x 与 ytan x 的图象交于点 P， 即 cos x0tan x0，cos x0sin x0 cos x0. 解得 sin x0 51 2 ， 则线段 P1P2的长为 51 2 . 16 函数 f(x)cos x 4 (xR， 0)的最小正周期为 ， 将 yf(x)的图象向左平移 00)的最小正周期为 ， 2 2，即 f(x)cos 2x 4 (xR)， 将 yf(x)的图象向左平移 0 2 个单位长度， 所得函数为 g(x)cos 2x 4 cos 2x2 4 ， 又所得图象关于原点对称， 2 4k 2，kZ， 即 k 2 8，k
8、Z，又 0 2， 8. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知 2，sin 4 5. 求 sin cos 2sin cos 的值 解 20，0，| 2 的图象过点 P 12，0 ，且图象上与点 P 最近的一个最低点是 Q 6，2 . (1)求 f(x)的解析式； (2)若 f 12 3 8，且 为第三象限角，求 cos 2 的值 解 (1)根据题意可知，A2，T 4 12 6 4， T2 ，解得 2. 又 f 12 0，sin 122 0，而| 2， 6. f(x)2sin 2x 6 . (2)由 f 12 3 8，可得 2sin 2 3 8， 即 sin 2 3
9、 16. 为第三象限角， 2k3 2 2k，kZ， 24k234k，kZ， 又 sin 2 3 161， 易知 2 为第一或第二象限角， 当 2k5 4 2k，kZ 时， 2 为第一象限角， cos 2 1sin22 247 16 . 当5 4 2k0， 又 4， 3 4 ， sin cos 0， b 5. (2)由(1)，得 sin cos 5 2 . 又 4， 3 4 ， sin cos ， sin cos sin cos 2 12sin cos 3 2 ， sin cos 1 1cos sin 5 2 1 1 3 2 2 5 2 3 42 52 3 15. 21(12 分)某同学在做研究
10、性学习时发现，在邢台大峡谷景区，每年到访的游客人数会发生 周期性的变化 现假设该风景区每年各个月份游客的人数(单位： 万人)(n)可近似地用函数 (n) 10Acosn2k 来刻画其中：正整数 n 表示月份且 n1, 12，例如 n2 时表示二 月份；A 和 k 是正整数；0.统计发现，风景区每年各个月份游客人数有以下规律： 每一年相同的月份，该风景区游客人数大致相同； 该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约 400 000 人； 二月份该风景区游客大约为 100 000 人，随后逐渐增加，八月份达到最多 (1)试根据已知信息，确定一个符合条件的 (n)的表达式； (2)一般地，当该地
11、区游客超过 400 000 人时，该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”那 么，一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”？请说明理由 解 (1)根据三条规律，可知该函数为周期函数且周期为 12，可得 T2 12，即 6， 由规律可知， 810Ak50， 210Ak10， 解得 A2，k3， 综上可得，(n)10 2cos n 6 2 3 . (2)由条件 (n)10 2cos n 6 2 3 40， 可得 cos n 6 2 1 2， 2k 3 6n22k 3，kZ， 即 12k212 n12k212 ，kZ， 又 n1, 12，nZ，所以 k1, 6.18n10.18， 故 n7, 8, 9,
12、 10， 即一年中的 7, 8, 9, 10 四个月是该风景区的旅游“旺季” 22(12 分)已知函数 f(x)2sin 2x 3 . (1)求函数 f(x)的最小值及 f(x)取到最小值时自变量 x 的集合； (2)指出函数 yf(x)的图象可以由函数 ysin x 的图象经过哪些变换得到； (3)当 x0，m时，函数 yf(x)的值域为 3，2，求实数 m 的取值范围 解 (1)f(x)min2，此时 2x 32k 2，kZ， 即 xk 12，kZ， 即此时自变量 x 的集合是 x xk 12，kZ . (2)把函数 ysin x 的图象向右平移 3个单位长度，得到函数 ysin x 3 的图象，再把函数 y sin x 3 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1 2，得到函数 ysin 2x 3 的 图象，最后再把函数 ysin 2x 3 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍， 得到函数 y2sin 2x 3 的图象 (3)如图，因为当 x0，m时，yf(x)取到最大值 2，所以 m5 12. 又函数 yf(x)在 5 12， 11 12 上是减函数，f(0) 3， 故 m 的最大值为 5 12， 11 12 内使函数值为 3的值， 令 2sin 2x 3 3，得 x5 6 ， 所以 m 的取值范围是 5 12， 5 6 .