1、第第 6 6 章章 幂函数、指数函数和对数函数幂函数、指数函数和对数函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1已知幂函数 f(x)的图象经过点 2，1 2 ，则 f(4)的值等于( ) A.1 2 B2 C4 D. 1 4 答案 D 解析 设幂函数 f(x)x，幂函数 f(x)的图象经过点 2，1 2 ， 所以 f(2)21 2，解得 1 ， 所以 f(x)x 1，则 f(4)411 4. 2函数 f(x)ln(x2x)的定义域为( ) A(0,1) B0,1 C(，0)(1，) D(，01，) 答案 C 解析 由 x
2、2x0，得 x1 或 x0)，乙食堂的 营业额每月增加的百分率为 x.由题意，可得 m8am(1x)8，则 5 月份甲食堂的营业额 y1 m4a，乙食堂的营业额 y2m(1x)4 mm8a，因为 y21y22(m4a)2m(m8a) 16a20，所以 y1y2，故该年 5 月份甲食堂的营业额较高 4函数 y 1 1 3 x 的值域是( ) A(，0) B(0,1 C1，) D(，1 答案 B 解析 由题意得 x10，x1， 令 t x1，则 t0，y 1 3 t是减函数， 0bc Bbac Ccab Dbca 答案 D 解析 因为 a 11 33 log 4log 10，blog23log22
3、1， 0c2 0.3ca. 6 在同一直角坐标系中， 函数 f(x)2ax， g(x)loga(x2)(a0， 且 a1)的图象大致为( ) 答案 A 解析 由题意，若 a0，函数 f(x)2ax 为减函数，若 0a2，且函数 g(x)loga(x2)在(2，)上为减函数；若 a1，函数 f(x)2ax 与 x 轴的交点 x02 a1， 且 f(a)3，则 f(6a)等于( ) A7 4 B5 4 C3 4 D1 4 答案 A 解析 若 a1，f(a)2a 123,2a11(无解)；若 a1，f(a)log 2(a1)3，解 得 a7. 所以 f(6a)f(1)2 221 42 7 4. 8已
4、知定义在 R 上的函数 f(x)2|x m|1(m 为实数)为偶函数，记 af(log 0.53)，bf(log25)， cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为( ) Aabc Bcab Cacb Dcba 答案 B 解析 由 f(x)为偶函数，得 m0， 所以 af(log0.53) 0.5 log3 21 2 log 3 212. bf(log25) 2 log 5 214，cf(0)2|0|10， 所以 ca0 且 a1，则下列结论正确的是( ) A函数 f(x)是奇函数 B函数图象过原点 C函数 f(x)的图象过定点(0,1) D当 a1 时，函数 f(x)在其定义域上为增函数 答
5、案 ABD 解析 f(x)ax 1 a xaxax，定义域为 R， f(x)a xaxf(x)，f(x)为奇函数， 且 f(0)0，故选项 A，B 正确，选项 C 错误； a1,01 a0 且 a1，f(logax) a a21 x1 x ，则( ) Af(x) a a21(a xax) Bf(x)在 R 上是增函数 Cf(x)在 R 上是减函数 D若当 x(1,1)时，有 f(1m)f(1m2)1 时，axa x 为增函数，又 a a210， f(x)为增函数； 当 0a1 时，axa x 为减函数，又 a a210， f(x)为增函数 函数 f(x)在 R 上为增函数 f(x) a a21
6、(a xax)f(x)， 又 f(1m)f(1m2)0， f(1m)f(m21) f(x)在(1,1)上为增函数， 11m1， 1m211 1mm21 ，解得 1m0， 若方程 f(x)a 有四个不同的解 x1x2x3x4，则( ) Ax1x22 Bx1x21 Cx3x41 D.1 x3 1 x4 2，5 2 答案 ACD 解析 作出函数 f(x)的图象如图所示： 由图象可知 x1x22，1 2x310，且 a1)的图象过定点 P，则 P 点的坐标是_ 答案 (1,4) 解析 由于函数 yax恒过(0,1)， 而 yax 13 的图象可看作是由 yax的图象向右平移 1 个 单位长度，再向上平
7、移 3 个单位长度得到的，则 P 点坐标为(1,4) 14若函数 f(x)满足：(1)对于任意实数 x1，x2，当 0 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)；(2)f x1 x2 f(x1) f(x2)，则 f(x)_.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可) 答案 log2x 解析 对于任意实数 x1，x2，当 0 x1x2时，都有 f(x1)1) 15 若指数函数f(x)ax(a1)在区间0,2上的最大值和最小值之和为10， 则a的值为_ 答案 3 解析 因为当 a1 时，指数函数 f(x)ax为增函数， 则在区间0,2上，f(x)maxa2，f(x)mina01， 又指数函数 f
8、(x)ax(a1)在区间0,2上的最大值和最小值之和为 10， 则 a2110，即 a29，又 a1，即 a3. 16已知函数 f(x)ln x2 2 1 2 log1x ，则满足不等式 1 3 logfx 1 的 x 的取值范围是 _ 答案 0，1 3 (3，) 解析 函数 f(x)ln x2 2 1 2 log1x 的定义域为x|x0， f(x)ln(x)2 2 1 2 log1x ln x2 2 1 2 log1x f(x)，该函数为偶函数， 因为函数 y1ln x2在区间(0，)上为增函数， 函数 y 2 1 2 log1x 在区间(0，)上为减函数， 所以，函数 f(x)ln x2
9、2 1 2 log1x 在区间(0，)上为增函数，且 f(1)1， 若 1 3 logfx 1，即 1 3 logfx f(1)， 即 1 3 logfx f(1)，可得 1 3 log x1， 可得 1 3 log x1 或 1 3 log x1， 解得 0 x3. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17 (10 分)设函数 f(x)是定义在1,1上的偶函数， 且当 x0,1时， f(x)loga(2x)(a1) 求 f(x)的表达式 解 设1x0，则 0 x1， 则 f(x)loga(2x) 又f(x)f(x)， f(x)loga(2x)，1x0. f(x) loga2x，0
10、 x1， loga2x，1x0， 3x1 30， 得 03x1，即 0t1. 原函数 y 1 2 log1 tlog2 t1 3 log2(1t)log2 t1 3 log2 1t t1 3 log2 t1 3 24 9 . 又t(0,1)，00， x10， 3x1x1， 解得 x0， 故 x 的取值范围为0，) 20(12 分)已知函数 g(x)是 f(x)ax(a0 且 a1)的反函数，且 g(x)的图象过点 2 2，3 2 . (1)求 f(x)与 g(x)的解析式； (2)比较 f(0.3)，g(0.2)与 g(1.5)的大小 解 (1)因为函数 g(x)是 f(x)ax(a0 且 a
11、1)的反函数，所以 g(x)logax(a0 且 a1) 因为 g(x)的图象过点 2 2，3 2 ， 所以 loga2 23 2，所以 3 2 a2 2，解得 a2. 所以 f(x)2x，g(x)log2x. (2)因为 f(0.3)20.3201，g(0.2)log20.20， 又 g(1.5)log21.5log210， 所以 0g(1.5)g(1.5)g(0.2) 21(12 分)攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种 76 种，探明储量 39 种，其中钒、钛资源储量分别占全国的 63%和 93%，占全球的 11%和 35%，因此其素有 “钒钛之都”的美称攀枝花市某科
12、研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材 料，由大数据测得该产品的性能指标值 y(y 值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量 x(单位：克)的关系为：当 0 x7 时，y 是 x 的二次函数；当 x7 时，y 1 3 xm.测得部分数 据如表： x(单位：克) 0 2 6 10 y 4 8 8 1 9 (1)求 y 关于 x 的函数关系式 yf(x)； (2)求该新合金材料的含量 x 为何值时产品的性能达到最佳 解 (1)当 0 x7 时，y 是 x 的二次函数， 可设 yax2bxc(a0)， 由 x0，y4 可得 c4，由 x2，y8， 得 4a2b12， 由 x6，y8，可
13、得 36a6b12， 联立解得 a1，b8，即有 yx28x4； 当 x7 时，y 1 3 xm， 由 x10，y1 9，可得 m8，即有 y 1 3 x8. 综上可得 y x28x4，0 x7， 1 3 x8，x7. (2)当 0 x7 时，yx28x4(x4)212， 即有 x4 时，取得最大值 12； 当 x7 时，y 1 3 x8为减函数，可得 y3， 当 x7 时，取得最大值 3. 综上可得当 x4 时产品的性能达到最佳 22(12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)b2 x 2xa是奇函数 (1)求 a，b 的值； (2)证明：f(x)在 R 上为减函数； (3)若对于任意 t
14、R，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k 的取值范围 (1)解 因为 f(x)为 R 上的奇函数， 所以 f(0)0，得 b1. 又 f(1)f(1)，得 a1. 经检验 a1，b1 符合题意 (2)证明 任取 x1，x2R，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) 12 12 1 21 2 2121 xx xx 1221 12 1 2211 221 21 21 xxxx xx 21 12 2 22 . 21 21 xx xx 因为 x10. 又因为 12 2121 xx 0， 所以 f(x1)f(x2)，所以 f(x)为 R 上的减函数 (3)解 因为 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立， 所以 f(t22t)f(2t2k) 因为 f(x)为奇函数，所以 f(t22t)k2t2， 即 k3t22t 恒成立， 而 3t22t3 t1 3 21 3 1 3. 所以 k 的取值范围是 k1 3.