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第6章 幂函数、指数函数和对数函数 章末检测试卷(含答案)-2021年高中数学苏教版(2019)必修第一册

1、第第 6 6 章章 幂函数、指数函数和对数函数幂函数、指数函数和对数函数 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1已知幂函数 f(x)的图象经过点 2,1 2 ,则 f(4)的值等于( ) A.1 2 B2 C4 D. 1 4 答案 D 解析 设幂函数 f(x)x,幂函数 f(x)的图象经过点 2,1 2 , 所以 f(2)21 2,解得 1 , 所以 f(x)x 1,则 f(4)411 4. 2函数 f(x)ln(x2x)的定义域为( ) A(0,1) B0,1 C(,0)(1,) D(,01,) 答案 C 解析 由 x

2、2x0,得 x1 或 x0),乙食堂的 营业额每月增加的百分率为 x.由题意,可得 m8am(1x)8,则 5 月份甲食堂的营业额 y1 m4a,乙食堂的营业额 y2m(1x)4 mm8a,因为 y21y22(m4a)2m(m8a) 16a20,所以 y1y2,故该年 5 月份甲食堂的营业额较高 4函数 y 1 1 3 x 的值域是( ) A(,0) B(0,1 C1,) D(,1 答案 B 解析 由题意得 x10,x1, 令 t x1,则 t0,y 1 3 t是减函数, 0bc Bbac Ccab Dbca 答案 D 解析 因为 a 11 33 log 4log 10,blog23log22

3、1, 0c2 0.3ca. 6 在同一直角坐标系中, 函数 f(x)2ax, g(x)loga(x2)(a0, 且 a1)的图象大致为( ) 答案 A 解析 由题意,若 a0,函数 f(x)2ax 为减函数,若 0a2,且函数 g(x)loga(x2)在(2,)上为减函数;若 a1,函数 f(x)2ax 与 x 轴的交点 x02 a1, 且 f(a)3,则 f(6a)等于( ) A7 4 B5 4 C3 4 D1 4 答案 A 解析 若 a1,f(a)2a 123,2a11(无解);若 a1,f(a)log 2(a1)3,解 得 a7. 所以 f(6a)f(1)2 221 42 7 4. 8已

4、知定义在 R 上的函数 f(x)2|x m|1(m 为实数)为偶函数,记 af(log 0.53),bf(log25), cf(2m),则 a,b,c 的大小关系为( ) Aabc Bcab Cacb Dcba 答案 B 解析 由 f(x)为偶函数,得 m0, 所以 af(log0.53) 0.5 log3 21 2 log 3 212. bf(log25) 2 log 5 214,cf(0)2|0|10, 所以 ca0 且 a1,则下列结论正确的是( ) A函数 f(x)是奇函数 B函数图象过原点 C函数 f(x)的图象过定点(0,1) D当 a1 时,函数 f(x)在其定义域上为增函数 答

5、案 ABD 解析 f(x)ax 1 a xaxax,定义域为 R, f(x)a xaxf(x),f(x)为奇函数, 且 f(0)0,故选项 A,B 正确,选项 C 错误; a1,01 a0 且 a1,f(logax) a a21 x1 x ,则( ) Af(x) a a21(a xax) Bf(x)在 R 上是增函数 Cf(x)在 R 上是减函数 D若当 x(1,1)时,有 f(1m)f(1m2)1 时,axa x 为增函数,又 a a210, f(x)为增函数; 当 0a1 时,axa x 为减函数,又 a a210, f(x)为增函数 函数 f(x)在 R 上为增函数 f(x) a a21

6、(a xax)f(x), 又 f(1m)f(1m2)0, f(1m)f(m21) f(x)在(1,1)上为增函数, 11m1, 1m211 1mm21 ,解得 1m0, 若方程 f(x)a 有四个不同的解 x1x2x3x4,则( ) Ax1x22 Bx1x21 Cx3x41 D.1 x3 1 x4 2,5 2 答案 ACD 解析 作出函数 f(x)的图象如图所示: 由图象可知 x1x22,1 2x310,且 a1)的图象过定点 P,则 P 点的坐标是_ 答案 (1,4) 解析 由于函数 yax恒过(0,1), 而 yax 13 的图象可看作是由 yax的图象向右平移 1 个 单位长度,再向上平

7、移 3 个单位长度得到的,则 P 点坐标为(1,4) 14若函数 f(x)满足:(1)对于任意实数 x1,x2,当 0 x1x2时,都有 f(x1)f(x2);(2)f x1 x2 f(x1) f(x2),则 f(x)_.(答案不唯一,写出满足这些条件的一个函数即可) 答案 log2x 解析 对于任意实数 x1,x2,当 0 x1x2时,都有 f(x1)1) 15 若指数函数f(x)ax(a1)在区间0,2上的最大值和最小值之和为10, 则a的值为_ 答案 3 解析 因为当 a1 时,指数函数 f(x)ax为增函数, 则在区间0,2上,f(x)maxa2,f(x)mina01, 又指数函数 f

8、(x)ax(a1)在区间0,2上的最大值和最小值之和为 10, 则 a2110,即 a29,又 a1,即 a3. 16已知函数 f(x)ln x2 2 1 2 log1x ,则满足不等式 1 3 logfx 1 的 x 的取值范围是 _ 答案 0,1 3 (3,) 解析 函数 f(x)ln x2 2 1 2 log1x 的定义域为x|x0, f(x)ln(x)2 2 1 2 log1x ln x2 2 1 2 log1x f(x),该函数为偶函数, 因为函数 y1ln x2在区间(0,)上为增函数, 函数 y 2 1 2 log1x 在区间(0,)上为减函数, 所以,函数 f(x)ln x2

9、2 1 2 log1x 在区间(0,)上为增函数,且 f(1)1, 若 1 3 logfx 1,即 1 3 logfx f(1), 即 1 3 logfx f(1),可得 1 3 log x1, 可得 1 3 log x1 或 1 3 log x1, 解得 0 x3. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17 (10 分)设函数 f(x)是定义在1,1上的偶函数, 且当 x0,1时, f(x)loga(2x)(a1) 求 f(x)的表达式 解 设1x0,则 0 x1, 则 f(x)loga(2x) 又f(x)f(x), f(x)loga(2x),1x0. f(x) loga2x,0

10、 x1, loga2x,1x0, 3x1 30, 得 03x1,即 0t1. 原函数 y 1 2 log1 tlog2 t1 3 log2(1t)log2 t1 3 log2 1t t1 3 log2 t1 3 24 9 . 又t(0,1),00, x10, 3x1x1, 解得 x0, 故 x 的取值范围为0,) 20(12 分)已知函数 g(x)是 f(x)ax(a0 且 a1)的反函数,且 g(x)的图象过点 2 2,3 2 . (1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)比较 f(0.3),g(0.2)与 g(1.5)的大小 解 (1)因为函数 g(x)是 f(x)ax(a0 且 a

11、1)的反函数,所以 g(x)logax(a0 且 a1) 因为 g(x)的图象过点 2 2,3 2 , 所以 loga2 23 2,所以 3 2 a2 2,解得 a2. 所以 f(x)2x,g(x)log2x. (2)因为 f(0.3)20.3201,g(0.2)log20.20, 又 g(1.5)log21.5log210, 所以 0g(1.5)g(1.5)g(0.2) 21(12 分)攀枝花是一座资源富集的城市,矿产资源储量巨大,已发现矿种 76 种,探明储量 39 种,其中钒、钛资源储量分别占全国的 63%和 93%,占全球的 11%和 35%,因此其素有 “钒钛之都”的美称攀枝花市某科

12、研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材 料,由大数据测得该产品的性能指标值 y(y 值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量 x(单位:克)的关系为:当 0 x7 时,y 是 x 的二次函数;当 x7 时,y 1 3 xm.测得部分数 据如表: x(单位:克) 0 2 6 10 y 4 8 8 1 9 (1)求 y 关于 x 的函数关系式 yf(x); (2)求该新合金材料的含量 x 为何值时产品的性能达到最佳 解 (1)当 0 x7 时,y 是 x 的二次函数, 可设 yax2bxc(a0), 由 x0,y4 可得 c4,由 x2,y8, 得 4a2b12, 由 x6,y8,可

13、得 36a6b12, 联立解得 a1,b8,即有 yx28x4; 当 x7 时,y 1 3 xm, 由 x10,y1 9,可得 m8,即有 y 1 3 x8. 综上可得 y x28x4,0 x7, 1 3 x8,x7. (2)当 0 x7 时,yx28x4(x4)212, 即有 x4 时,取得最大值 12; 当 x7 时,y 1 3 x8为减函数,可得 y3, 当 x7 时,取得最大值 3. 综上可得当 x4 时产品的性能达到最佳 22(12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)b2 x 2xa是奇函数 (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)在 R 上为减函数; (3)若对于任意 t

14、R,不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立,求 k 的取值范围 (1)解 因为 f(x)为 R 上的奇函数, 所以 f(0)0,得 b1. 又 f(1)f(1),得 a1. 经检验 a1,b1 符合题意 (2)证明 任取 x1,x2R,且 x1x2, 则 f(x1)f(x2) 12 12 1 21 2 2121 xx xx 1221 12 1 2211 221 21 21 xxxx xx 21 12 2 22 . 21 21 xx xx 因为 x10. 又因为 12 2121 xx 0, 所以 f(x1)f(x2),所以 f(x)为 R 上的减函数 (3)解 因为 tR,不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立, 所以 f(t22t)f(2t2k) 因为 f(x)为奇函数,所以 f(t22t)k2t2, 即 k3t22t 恒成立, 而 3t22t3 t1 3 21 3 1 3. 所以 k 的取值范围是 k1 3.