1、第第 5 5 章章 函数概念与性质函数概念与性质 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1函数 y 2x1 34x的定义域为( ) A. 1 2， 3 4 B. 1 2， 3 4 C. ，1 2 D. 1 2，0 (0，) 答案 B 解析 由 2x10， 34x0， 解得1 2x 3 4， 所以函数 y 2x134x的定义域为 1 2， 3 4 . 2下列所示的图形中，可以作为函数 yf(x)的图象的是( ) 答案 D 解析 作直线 xa 与曲线相交， 由函数的概念可知， 定义域中任意一个自变量对应唯一的函 数值，y 是
2、x 的函数，那么直线 xa 移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除 A，B， C，只有 D 符合 3已知 f x 21 2x3，则 f(6)的值为( ) A15 B7 C31 D17 答案 C 解析 令x 21t，则 x2t2. 将 x2t2 代入 f x 21 2x3， 得 f(t)2(2t2)34t7. 所以 f(x)4x7，所以 f(6)46731. 4设函数 f(x) x，x0， x2，x0. 若 f(a)4，则实数 a 等于( ) A4 或2 B4 或 2 C2 或 4 D2 或 2 答案 B 解析 当 a0 时，f(a)a4，解得 a4； 当 a0 时，f(a)a24，解得 a2
3、 或 a2(舍) 综上，a4 或 a2. 5已知函数 f(x)ax3bx(a0)满足 f(3)3，则 f(3)等于( ) A2 B2 C3 D3 答案 C 解析 f(x)a(x)3b(x) (ax3bx)f(x)， f(x)为奇函数， f(3)f(3)3. 6若函数 f(x)x3(xR)，则函数 yf(x)在其定义域上是( ) A奇函数 B既不是奇函数也不是偶函数 C偶函数 D无法判断 答案 A 解析 因为 f(x)x3，所以 f(x)x3， 所以 yx3是奇函数 7 若函数 f(x)ax2(a2b)xa1 是定义在(a,0)(0,2a2)上的偶函数， 则 f a2b2 5 等 于( ) A1
4、 B3 C.5 2 D. 7 2 答案 B 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称， 则a2a20，解得 a2. 又偶函数不含奇次项， 所以 a2b0，即 b1，所以 f(x)2x21， 所以 f a2b2 5 f(1)3. 8.已知函数 f(x)是(，0)(0，)上的奇函数，且当 x0 时，函数的图象如图所示，则 不等式 xf(x)0 时，f(x)0，又图象关于原点对称， x(0,1)(2，)； 当 x0， x(，2)(1,0) 综上，不等式 xf(x)0 的解集是(，2)(1,0)(0,1)(2，) 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选
5、对的 得 2 分，有选错的得 0 分) 9若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列说法正确的有( ) Af(0)0 B若 f(x)在0，)上有最小值1，则 f(x)在(，0上有最大值 1 C若 f(x)在1，)上是增函数，则 f(x)在(，1上是减函数 DF(x)f(x)|f(x)|是偶函数 答案 AB 解析 A 中 f(0)0 正确；因为奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性，所以 B 正确；C 不正确；F(x)f(x)|f(x)|f(x)|f(x)|F(x)，所以 F(x)f(x)|f(x)|是奇函数 10由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 yax2bx
6、c 的图象 过点(1,0)，求证：这个二次函数的图象关于直线 x2 对称根据现有信息，题中的二次 函数可能具有的性质是( ) A在 x 轴上截得的线段的长度是 2 B与 y 轴交于点(0,3) C顶点是(2，2) D过点(3,0) 答案 ABD 解析 由已知得 abc0， b 2a2， 解得 b4a，c3a， 所以二次函数为 ya(x24x3)，其顶点的横坐标为 2， 所以顶点一定不是(2，2) 11若函数 f(x)同时满足： 对于定义域上的任意 x，恒有 f(x)f(x)0； 对于定义域上的任意 x1， x2， 当 x1x2时， 恒有fx1fx2 x1x2 0， 则称函数 f(x)为“理想函
7、数” 下列函数中的“理想函数”有( ) Af(x)1 x Bf(x)x2 Cf(x) x2，x0， x2，x0，则函数 f(x)的图象与函数 y2 的图象有两个交点 答案 AB 解析 对于选项 A，若 a2b0，则 f(x)|(xa)2ba2|(xa)2ba2在区间a，) 上是增函数，故 A 正确； 对于选项 B，当 a0 时， f(x)|x2b|显然是偶函数，故 B 正确； 对于选项 C，取 a0，b2，函数 f(x)|x22axb|化为 f(x)|x22|，满足 f(0)f(2)，但 f(x)的图象关于 x1 不对称，故 C 错误； 对于选项 D，如图所示，a2b20，即为 ba22， 则
8、函数 f(x)的图象与函数 y2 的图象有 4 个交点，故 D 错误 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13 已知函数 f(x)是奇函数， 当 x(， 0)时， f(x)x2mx， 则 x(0， )时， f(x)_. 若 f(2)3，则 m 的值为_ 答案 x2mx 1 2 解析 令 x0，则x0， f(x)(x)2m(x)x2mx，又函数 f(x)是奇函数， 所以 f(x)f(x)x2mx， 因为 f(2)3， 所以222m3，解得 m1 2. 14观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题： 梯形个数 1 2 3 4 5 图形周长 5 8 11 14 17 当梯
9、形个数为 n 时，这时图形的周长 l 与 n 的函数解析式为_ 答案 l3n2(nN*) 解析 由表格可推算出两变量的关系，或由图形观察知，周长与梯形个数关系为 l3n 2(nN*) 15在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y2a 与函数 y|xa|1 的图象只有一个交点，则 a 的值为_ 答案 1 2 解析 函数 y|xa|1 的图象如图所示， 因为直线 y2a 与函数 y|xa|1 的图象只有一个交点，故 2a1，解得 a1 2. 16若 f(x)是偶函数，其定义域为(，)，且在0，)上是减函数，设 f 3 2 m， f a22a5 2 n，则 m，n 的大小关系是_ 答案 mn 解析
10、因为 a22a5 2(a1) 23 2 3 2， 又 f(x)在0，)上是减函数， 所以 f a22a5 2 f 3 2 f 3 2 . 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知函数 f(x) x22，x1， x22，x1. (1)求 f(3)，f(1)的值； (2)若 f(x)16，求 x 的值 解 (1)f(3)(3)2211；f(1)(12)29. (2)若 x1，则(x2)216， 解得 x2 或 x6(舍去) 若 x1，则 x2216， 解得 x 14(舍去)或 x 14. 综上，可得 x2 或 x 14. 18(12 分)已知函数 f(x)|x1|x1|
11、(xR)， (1)证明：函数 f(x)是偶函数； (2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象； (3)写出函数的值域 (1)证明 由于函数定义域是 R， 且 f(x)|x1|x1| |x1|x1|f(x) f(x)是偶函数 (2)解 f(x) 2x，x1， 图象如图所示 (3)解 由函数图象知，函数的值域为2，) 19(12 分)已知一次函数 f(x)在 R 上是减函数，且 f(f(x)9x2. (1)求 f(x)； (2)求函数 yf(x)x2x 在 x1，a上的最大值 解 (1)由题意可设 f(x)kxb(k0)， 由于 f(f(x)9x2，则 k2xkbb
12、9x2， 故 k29， kbb2， 解得 k3， b1， 故 f(x)3x1. (2)由(1)知，函数 y3x1x2x x24x1(x2)23， 故函数 yx24x1 的图象开口向上，对称轴为 x2， 当15 时，y 的最大值是 a24a1， 综上，ymax 6，15. 20(12 分)已知函数 yf(x)(x0)对于任意的 x，yR 且 x，y0 都满足 f(xy)f(x)f(y) (1)求 f(1)，f(1)的值； (2)判断函数 yf(x)(x0)的奇偶性 解 (1)因为对于任意的 x，yR 且 x，y0 都满足 f(xy)f(x)f(y)， 所以令 xy1，得 f(1)f(1)f(1)
13、， 所以 f(1)0，令 xy1， 得 f(1)f(1)f(1)，所以 f(1)0. (2)由题意可知，函数 yf(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称， 令 y1，得 f(xy)f(x)f(x)f(1)， 因为 f(1)0，所以 f(x)f(x)， 所以 yf(x)(x0)为偶函数 21(12 分)已知函数 f(x)|xa|9 xa，x1,6，aR. (1)若 a1，试判断并用定义证明 f(x)的单调性； (2)若 a8，求 f(x)的值域 解 (1)当 a1 时，f(x)x9 x. 任取 x1，x21,6，且 x10， f(x2)f(x1)， f(x)在1,6上是增函数 (2)当
14、a8 时，f(x)|x8|9 x8 8x9 x816 x9 x . 令 tx9 x， x1,6，t6,10， f(x)16t6,10， f(x)的值域为6,10 22(12 分)在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种 消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙， 并约定该店经营的利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支 3 600 元后，逐步偿 还转让费(不计息)在甲提供的资料中有： 这种消费品的进价每件14 元； 该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示； 每月需各种开支 2 000 元 (1
15、)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为 L， 则由题意得 LQ(P14)1003 6002 000， 由销售图易得：Q 2P50，14P20， 3 2P40，20P26， 代入式得 L 2P50 P141005 600，14P20， 3 2P40 P141005 600，20P26. (1)当 14P20 时，Lmax450 元，这时 P19.5 元， 当 20P26 时，Lmax417 元 故当 P19.5 元时，月利润余额最大为 450 元 (2)设可在 n 年后脱贫， 依题意有 12n45050 00058 0000， 解得 n20. 即最早可望在 20 年后脱贫