1、第第 8 8 章章 函数应用函数应用 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1若函数 yf(x)在区间(2,2)上的图象是一条不间断的曲线，且方程 f(x)0 在(2,2)上仅 有一个实数根，则 f(1) f(1)的值( ) A大于 0 B小于 0 C无法判断 D等于 0 答案 C 解析 由题意不能断定零点在区间(1,1)内部还是外部 2函数 f(x)2x3x 的零点所在的一个区间是( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 答案 B 解析 因为 f(1)1 230， 所以 f(x)在区间(1,0)上存
2、在零点 3以半径为 R 的半圆上任意一点 P 为顶点，直径 AB 为底边的PAB 的面积 S 与高 PDx 的函数关系式是( ) ASRx BS2Rx(x0) CSRx(0 xR) DSR2 答案 C 解析 SPAB1 2 AB PDRx， 又 0PDR，SRx(00)，则函数 yf(x)( ) A在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点 C在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点 答案 A 解析 f 1 e ln 1 e 1 2 1 e 210，f(2)ln 2210.且函数 f(x)在
3、(0，)上的图象是不间断的，所以函数 f(x)在区间(0,1)，(1,2)上均有零点 6若函数 f(x)的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)， 1，3 2 内，则与 f(0)符号相同的是( ) Af(4) Bf(2) Cf(1) Df 3 2 答案 C 解析 由函数零点的判断方法可知，f(2)，f(4)与 f(0)符号相反，f(1)与 f(2)符号相反，故 f(1) 与 f(0)符号相同 7 在物价飞速上涨的今天， 某商品 2020 年零售价比 2019 年上涨 25%， 欲控制 2021 年比 2019 年只上涨 10%，则 2021 年应比 2020 年降价( ) A15%
4、B12% C10% D8% 答案 B 解析 设 2021 年应比 2020 年降价 x%，则(125%)(1x%)110%，解得 x12. 8已知函数 f(x) 1 3 xlog 2x，若实数 x0是函数 f(x)的零点，且 0 x10， 而 0 x10. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的 得 2 分，有选错的得 0 分) 9. 函数 f(x)lg|x|的零点是( ) A(1,0) B(1,0) C1 D1 答案 CD 解析 由 f(x)0，得 lg|x|0， 所以|x|1，x 1. 10下列给出的四个函数 f(x)的图象中能使函
5、数 yf(x)1 有零点的是( ) 答案 ABD 解析 把 yf(x)的图象向下平移 1 个单位长度后，只有选项 C 中图象与 x 轴无交点 11甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程 fi(x)(i1,2,3,4)关于 时间 x(x0)的函数关系式分别为 f1(x)2x1，f2(x)x2，f3(x)x，f4(x)log2(x1) 以下四个结论正确的有( ) A当 x1 时，甲走在最前面 B当 0 x1 时，丁走在最后面 C丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 D如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 答案 BCD 解析 四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，B
6、CD 正确 12下列命题中正确的是( ) A函数 y 1 2 xx2在区间(0,1)上有且只有 1 个零点 B若函数 f(x)x2axb，则 f x1x2 2 fx1fx2 2 C如果函数 yx1 x在a，b上为增函数，那么它在b，a上为减函数 D若定义在 R 上的函数 yf(x)的图象关于点(a，b)对称，则函数 yf(xa)b 为奇函数 答案 ABD 解析 对于 A 选项，函数 y1 1 2 x在区间(0,1)上为减函数，函数 y 2x 2在区间(0,1)上为增函 数，所以，函数 y 1 2 xx2在区间(0,1)上为减函数， 因为 1 2 0020， 1 2 1120，f(1)0， 下一
7、步可断定方程的根所在的区间为 1 2，1 . 14已知函数 yf(x)是 R 上的奇函数，其零点为 x1，x2，x2 021，则 x1x2x2 021 _. 答案 0 解析 由于奇函数图象关于原点对称， 因此零点是对称的， 所以 x1x2x2 0210. 15某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该 生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)1 2n(n1)(2n1)吨， 但如果年产量超过 150 吨， 会给 环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_年 答案 7 解析 由已知可得第 n 年的年产量 y f1，n1， fnfn
8、1，nN*，n2. f(n)1 2n(n1)(2n1)，所以 f(1)3. 当 nN*，n2 时，f(n1)1 2n(n1)(2n1)， 所以 f(n)f(n1)3n2，n1 时，也满足上式 所以第 n 年的年产量为 y3n2，nN*. 令 3n2150，得 n250. 因为 nN*，所以 1n7，所以 nmax7. 16已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，2 是它的一个零点，且在(0，)上是增函数， 则该函数有_个零点，这几个零点的和等于_ 答案 3 0 解析 因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(0)0， 又因为 f(x)在(0，)上是增函数， 由奇函数的对称性可知，f(x)
9、在(，0)上也是增函数， 由 f(2)f(2)0.因此在(0，)，(，0)上都只有一个零点， 综上，函数 f(x)在 R 上共有 3 个零点，其和为2020. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)方程 x21 x0 在区间(，0)内是否存在实数解？并说明理由 解 不存在，因为当 x0 时，1 x0， x21 x0 恒成立，故不存在 x(，0)， 使 x21 x0. 18(12 分)m 为何值时，f(x)x22mx3m4. (1)有且仅有一个零点； (2)有两个零点且均比1 大 解 (1)f(x)x22mx3m4 有且仅有一个零点方程 f(x)0 有两个相等实根0，
10、即 4m24(3m4)0，即 m23m40， m4 或 m1. (2)由题意知 0， m1， f10， 即 m23m40， m0. 5m1，m 的取值范围为(5，1) 19(12 分)某公司对营销人员有如下规定：年销售额 x(万元)在 8 万元以下，没有奖金； 年销售额 x(万元)，x8,64时，奖金为 y 万元，且 ylogax，y3,6，且年销售额越大，奖 金越多；年销售额 x(万元)超过 64 万元，按年销售额的 10%发奖金 (1)求奖金 y 关于 x 的函数解析式； (2)某营销人员争取年奖金 y4,10(万元)，求年销售额 x 在什么范围内 解 (1)依题意知 ylogax 在 x
11、8,64上为增函数， 由题意得 loga83， loga646， 所以 a2， 所以 y 0，0 x8， log2x，8x64， 1 10 x，x64. (2)易知 x8.当 8x64 时，要使 y4,10， 则 4log2x10，所以 16x1 024， 所以 16x64. 当 x64 时，要使 y4,10，则 1 10 x4,10， 即 40 x100，所以 64x100. 综上，当年销售额 x 在16,100(万元)内时，年奖金 y4,10(万元) 20(12 分)定义在 R 上的偶函数 yf(x)在(，0上是增函数，函数 f(x)的一个零点为1 2， 求满足 1 4 logfx 0 的
12、 x 的取值集合 解 1 2是函数的一个零点，f 1 2 0. yf(x)是偶函数且在(，0上是增函数， f 1 2 0 且 yf(x)在0，)上是减函数， 又 1 4 logfx 0，1 2 1 4 log x1 2， 1 2x2， 综上所述，x 的取值范围为 1 2，2 . 21(12 分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近 20 天的销售量(件)与价格(元)均为 时间 t(天)的函数， 且销售量近似满足 g(t)802t(件)， 价格近似满足 f(t)201 2|t10| (元) (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0t20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额
13、y 的最大值与最小值 解 (1)yg(t) f(t)(802t) 201 2|t10| (40t)(40|t10|) 30t40t，0t10， 40t50t，10t20. (2)当 0t10 时， y(30t)(40t)(t5)21 225， y 的取值范围是1 200,1 225， 所以当 t5 时，y 取得最大值为 1 225； 当 10t20 时，y(40t)(50t)(t45)225， y 的取值范围是600,1 200， 所以当 t20 时，y 取得最小值为 600. 综上，第 5 天时日销售额 y 最大，最大为 1 225 元，第 20 天时日销售额 y 最小，最小为 600 元
14、22(12 分)小张周末自己驾车旅游，早上 8 点从家出发，驾车 3 h 后到达景区停车场，期间 由于交通等原因，小张的车所走的路程 s(单位：km)与离家的时间 t(单位：h)的函数关系式为 s(t)5t(t13) 由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场在景区玩到 16 点，小张开车从停车场以 60 km/h 的速度沿原路返回 (1)求这天小张的车所走的路程 s(单位：km)与离家时间 t(单位：h)的函数解析式； (2)在距离小张家 60 km 处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间 解 (1)依题意得，当 0t3 时，s(t)5t(t13)， s(3)53(313)150.
15、即小张家距离景点 150 km， 小张的车在景点逗留时间为 16835(h) 当 3t8 时，s(t)150， 小张从景点回家所花时间为150 60 2.5(h)， 故 s(10.5)2150300.当 8t10.5 时， s(t)15060(t8)60t330. 综上所述，这天小张的车所走的路程 s(t) 5tt13，0t3， 150，3t8， 60t330，8t10.5. (2)当 0t3 时，令5t(t13)60 得 t213t120， 解得 t1 或 t12(舍去)，当 8t10.5 时， 令 60t330215060240，解得 t19 2 . 小张这天途经该加油站的时间分别为 9 点和 17 时 30 分