1、第第 6 6 章章 幂函数、指数函数和对数函数幂函数、指数函数和对数函数 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中只有一项符合题目要求) 1.下列函数中，在区间(0，1)上为增函数的是( ) A.y2x2x3 B.y 1 3 x C.yx 2 3 D.ylog1 2x 答案 C 解析 对于 yx，当 0 时，yx在(0，)上为增函数. 2.函数 y log3（2x1）的定义域为( ) A.1，) B.(1，) C. 1 2， D. 1 2，1 答案 A 解析 要使函数有意义，需满足 log 3（2x1
2、）0， 2x10， 2x11， 2x10， x1， 函数 y log3（2x1）的定义域为1，). 3.若 a20.2，blog43.2，clog20.5，则( ) A.abc B.bac C.cab D.bca 答案 A 解析 a20.21blog43.20c1，abc. 4.函数 f(x)lg1x 1x(1x1)的图象的对称点为( ) A.(1，1) B.(0，0) C.(1，1) D.(1，1) 答案 B 解析 f(x)lg1x 1xlg 1x 1xf(x)， 又1xf(2 3 2)f(2 2 3) B.f log31 4 f(2 2 3)f(2 3 2) C.f(2 3 2)f(2 2
3、 3)f log31 4 D.f(2 2 3)f(2 3 2)f log31 4 答案 C 解析 因为 f(x)是定义域为 R 的偶函数， 所以 f log31 4 f(log34)f(log34). 又因为 log3412 2 32 3 20，且函数 f(x)在(0，)单调递减， 所以 f(log34)f(2 2 3)1，则关于 x 的不等式 loga(x 1)loga(6x)的解集为( ) A. 7 2， B. ，7 2 C. 1，7 2 D. 7 2，6 答案 D 解析 y 1 a x 在 x(0，)时，有 y1， 1 a1，0a0， 6x0， 解得7 2x6， 原不等式的解集为 x|7
4、 2x1，若函数 f(x)loga(ax2x)在 1 2，4 上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(2，) B.2，) C.(4，) D.4，) 答案 A 解析 设 uax2x， 由题意知 uax2x在 1 2，4 上是增函数， 则有 1 2a 1 2， 即a1， 于是 a1. 又 ylogau 是对数函数，故 uax2x 在 1 2，4 上恒大于零，即 ax 2x0，a1 x 在 1 2，4 上恒成立，则 a2.综上知 a2. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2
5、分，有选错的不 得分) 9.若 loga2logb2，则下列结论可能成立的是( ) A.0ab1 B.0bab1 D.0a1b 答案 BCD 解析 若 loga2 与 logb2 同号，则由 loga2logb2 得 log2blog2a，ba.当 loga2 与 logb2 同为正时，1ba，故 C 正确；当 loga2 与 logb2 同为负时，0ba1，故 B 正确；若 loga20logb2，则 0a1，D 正确. 10.设函数 yln(x2x1)，则下列命题中正确的是( ) A.函数的定义域为 R B.函数是增函数 C.函数的图象关于直线 x1 2对称 D.函数的值域是 ln3 4，
6、 答案 ACD 解析 由 x2x1 x1 2 2 3 40 恒成立，故 A 正确； 函数在 ，1 2 上是减函数，在 1 2， 上是增函数，故 B 错误； 由 x2x1 x1 2 2 3 4 3 4，可知函数的值域为 ln3 4， ，且函数图象关于 x 1 2对称，故 C，D 正确. 11.已知函数 f(x)e xex 2 ，g(x)e xex 2 ，则 f(x)，g(x)满足( ) A.f(x)f(x)，g(x)g(x) B.f(2)f(3)，g(2)g(3) C.f(2x)2f(x)g(x) D.f(x)2g(x)21 答案 ABC 解析 f(x)e xex 2 e xex 2 f(x)，
7、g(x)e xex 2 g(x)，故 A 正确； 易知 f(x)为增函数， 则 f(2)g( 2)，故 B 正确； 2f(x)g(x)2e xex 2 exe x 2 2e 2xe2x 4 f(2x)，故 C 正确； f(x)2g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)ex(e x)1，故 D 错误. 12.给出下列结论，其中正确的是( ) A.函数 y 1 2 x21 的最大值为1 2 B.已知函数 yloga(2ax)(a0，a1)在(0，1)上是减函数，则实数 a 的取值范围 是(1，2) C.在同一平面直角坐标系中，函数 y2x与 ylog2x 的图象关于直线 yx 对称 D.函数 y
8、x 2 3在(，0)上是增函数 答案 CD 解析 A 中，x211，y 1 2 x21 的最小值为1 2.故 A 错误； 由 yloga(2ax)在(0，1)上是减函数，则 a1， 2a0，10，在(，0)上是增函数，所以三个 性质中有两个正确，符合条件；同理可判断中函数不符合条件. 14.设函数 f(x) 2 1x，x1， 1log2x，x1，则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是_. 答案 0，) 解析 当x1时， 由21 x2， 解得x0， 所以0 x1； 当x1时， 由1log 2x2， 解得 x1 2，所以 x1.综上可知 x0. 15.已知函数 f(x)lg(2xb)(b 为常数
9、)，若 x1，)时，f(x)0 恒成立，则实 数 b 的取值范围是_. 答案 (，1 解析 要使f(x)lg(2xb)在x1， )时， 恒有f(x)0， 则有2xb1在x1， )时恒成立，即 2xb1 在 x1，)上恒成立.又因为指数函数 g(x)2x 在定义域上是增函数.所以只需 2b1 成立即可，解得 b1. 16.已知函数 f(x) x2x，x1， log1 3x，x1， 则 f(f(3)_；若对任意的 xR，都 有 f(x)|k1|成立，则实数 k 的取值范围为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分). 答案 2 ，3 4 5 4， 解析 f(f(3)f(log1 33)f(1)(1)
10、 2(1)2.对任意 xR，都有 f(x)|k 1|成立， 即 f(x)max|k1|. 作出 f(x)的草图如图所示， 由图象可知，当 x1 2时，函数 f(x)max 1 4， 所以|k1|1 4，解得 k 3 4或 k 5 4. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x) log3（4x1） 162x的定义域为 A. (1)求集合 A； (2)若函数 g(x)(log2x)22log2x1，且 xA，求函数 g(x)的最大值、最小值和对 应的 x 值. 解 (1)要使 f(x)有意义，需满足
11、4x11， 162x0，所以 x1 2， x4， 所以1 2x4，所以集 合 A x 1 2x4 . (2)设 tlog2x，因为 x 1 2，4 ，所以 t1，2， 所以 yt22t1，t1，2. 因为 yt22t1(t1)22 的对称轴为 t11，2， 所以当 t1 时，y 有最小值2. 所以当 t1 时，y 有最大值 2. 所以当 x2 时，g(x)的最小值为2. 当 x1 2时，g(x)的最大值为 2. 18.(本小题满分 12 分)已知函数 g(x)是 f(x)ax(a0，a1)的反函数，且 g(x)的图 象过点 2 2，3 2 . (1)求 f(x)与 g(x)的解析式； (2)比
12、较 f(0.3)，g(0.2)与 g(1.5)的大小. 解 (1)因为函数 g(x)是 f(x)ax(a0，a1)的反函数，所以 g(x)logax，由 g(x) 过点 2 2，3 2 ， 所以 loga2 23 2，所以 a 3 22 2，解得 a2. 所以 f(x)2x，g(x)log2x. (2)因为 f(0.3)20.3201，g(0.2)log20.20， 又 g(1.5)log21.5log210， 所以 0g(1.5)g(1.5)g(0.2). 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)b ax(a，b 为常数，a0，a1)的图象经过点 A(1，6)，B(3，24). (1
13、)试确定函数 f(x)的解析式； (2)若关于 x 的不等式 1 a x 1 b x m0 在区间(，1上恒成立，求实数 m 的取 值范围. 解 (1)把(1，6)，(3，24)代入 f(x)b ax，得 6ab， 24b a3，结合 a0，且 a1，解得 a2， b3， f(x)32x. (2)要使 1 a x 1 b x m0 在区间(， 1上恒成立， 即 1 2 x 1 3 x m 在区间(， 1上恒成立，只需保证函数 y 1 2 x 1 3 x 在区间(，1上的最小值不小于 m 即 可. 函数 y 1 2 x 1 3 x 在区间(，1上单调递减， 当 x1 时，y 1 2 x 1 3
14、x 取得最小值5 6， 只需 m5 6即可. 故实数 m 的取值范围为 ，5 6 . 20.(本小题满分 12 分)函数 f(x)loga(1x)loga(x3)(0a0， x30， 解得3x1，yf(x)的定义域为(3，1). (2)函数可化为 f(x)loga(1x)(x3) loga(x22x3)loga(x1)24. 3x1，0(x1)244. 0a0，a1)是定义在 R 上的奇函 数. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的值域； (3)当 x(0，1时，t f(x)2x2 恒成立，求实数 t 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(0)2a4
15、2a 0，解得 a2. f(x)2 x1 2x1，经检验，f(x)为奇函数.a2. (2)由(1)得 f(x)2 x1 2x11 2 2x1. 又2x0，2x11，0 2 2x12， 11 2 2x11，函数 f(x)的值域为(1，1). (3)由(1)可得 f(x)2 x1 2x1，当 00， 当 0 x1 时，t f(x)2x2 恒成立等价于 t 2x2 f（x） （2x2）（2x1） 2x1 对 x(0，1恒成立. 令 m2x1，0m1，则 tm 2 m1 对 m(0，1恒成立. 易知 ym 2 m1 在 m(0，1上单调递增， 当 m1 时 y 有最大值 0，t0， 故 t 的取值范围
16、是0，). 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)lg(1x)lg(1x). (1)求函数 f(x)的定义域，并证明 f(x)是定义域上的奇函数； (2)用定义证明 f(x)在定义域上是增函数； (3)求不等式 f(2x5)f(2x)0， 1x0，得 x1， 即1x1， 函数 f(x)的定义域为(1，1). 又f(x)lg(1x)lg(1x)f(x)， f(x)是定义域上的奇函数. (2)证明 设任意1x1x21， 则f(x1) f(x2) lg(1 x1) lg(1 x1) lg(1 x2) lg(1 x2) lg（1x 1）（1x2） （1x2）（1x1）. 1x1x21，01x11x2， 01x21x1， 于是 01x 1 1x21，0 1x2 1x11， 则 0（1x 1）（1x2） （1x2）（1x1）1，lg （1x1）（1x2） （1x2）（1x1）0. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，故函数 f(x) 是(1，1)上的增函数. (3)解 f(x)在(1，1)上是增函数且为奇函数， 不等式 f(2x5)f(2x)0 可转化为 f(2x5)f(2x)f(x2)， 12x51， 1x21， 2x5x2， 解得 2x3.不等式的解集为x|2x3.