1、周练周练 8 8 ( (范围范围 7.37.37.4)7.4) 一、基础达标 1.若函数 f(x)xsin x，xR，则 f(x)是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 答案 A 解析 f(x)xsin(x)xsin xf(x)，f(x)为奇函数. 2.要得到函数 g(x)sin 2x 3 的图象，只需将函数 f(x)sin 2x 的图象( ) A.向右平移 3个单位长度 B.向左平移 3个单位长度 C.向右平移 6个单位长度 D.向左平移 6个单位长度 答案 C 解析 g(x)sin 2x 3 sin 2 x 6 ， 因此将 f(x)sin 2x 的图象向右平移
2、 6个单位 长度，即可得到函数 g(x)sin 2x 3 的图象.故选 C. 3.已知函数 f(x)sin 2x 4 ，给出下列四个结论：函数 f(x)的最小正周期为 ， 函数 f(x)的图象关于 x 8对称，函数 f(x)的图象关于点 3 8 ，0 对称，函数 f(x)在 8， 3 8 上是单调递增函数，其中正确的结论个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 显然正确；由 f 8 0，知错误；当 x3 8 时，f 3 8 1，故错 误；当 x 8， 3 8 时，2x 4 2， 2 ，当 x 2， 2 时，sin x 为单调递 增函数，可知正确. 4.如图是函数 yAsin
3、(x)2(A0，0，|)的图象的一部分，则它的 振幅、周期、初相分别是( ) A.A3，T4 3 ， 6 B.A1，T4 3 ，3 4 C.A1，T4 3 ，3 4 D.A1，T4 3 ， 6 答案 C 解析 由图象，知 A31 2 1，T 2 5 6 6 2 3 ，则 T4 3 ，2 T 2 4 3 3 2.由 5 6 3 2 22k，kZ，得 3 4 2k，kZ.令 k0，得 3 4 .故选 C. 5.(多选题)关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论，其中正确的是( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间 2， 上单调递增 C.f(x)在，有 4 个零点 D.f(x
4、)的最大值为 2 答案 AD 解析 f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)， 又 f(x)的定义域为 R， f(x) 是偶函数，A 正确； 当 x 2， 时，f(x)sin xsin x2sin x，函数 f(x)在 2， 上单调递减，B 错误； 如图所示，由图可知函数 f(x)在，只有 3 个零点，故 C 不正确； ysin|x|与 y|sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到， f(x)可以取到最大值 2， 故 D 正确. 6.将函数 ycos 2x 6 的图象向左平移 (0)个单位长度后，所得函数图象关 于坐标原点对称，则 的最小值是_. 答案 6 解析
5、函数 ycos 2x 6 的图象向左平移 个单位长度后， 得到的图象所对应的 函数解析式为 ycos 2（x） 6 cos 2x2 6 ， 由题意得该函数是奇函数， 所以 2 6 2k，kZ，则 6 k 2 ，kZ.又 0，所以当 k0 时， 取得最小值 6. 7.函数 f(x)1 3tan x的单调递减区间为_. 答案 k 2，k 6 (kZ) 解析 f(x)1 3tan x， 1 3tan x0，即 tan x 3 3 ， k 2xk 6，kZ. 当 x k 2，k 6 (kZ)时， y3tan x 是增函数， y 13tan x是减函数， 即 f(x)1 3tan x的单调递减区间为 k
6、 2，k 6 (kZ). 8.已知函数 f(x)sin(x)(0)，若将 f(x)的图象向左平移 3个单位长度所得的 图象与将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度所得的图象重合，则 的最小值为 _. 答案 4 解析 将 f(x)的图象向左平移 3个单位长度，得函数 ysin x 3 的图象， 将 f(x)的图象向右平移 6个单位长度， 得函数 ysin x 6 的图象， 由题意， 得 3 62k，kZ，即 4k，kZ.因为 0，所以 的最小值 为 4. 9.已知函数 f(x) 3sin(x) 0， 2 2 的图象关于直线 x 3对称，且 图象上相邻最高点的距离为 . (1)求 f 4 的值；
7、 (2)将函数 yf(x)的图象向右平移 12个单位长度后，得到 yg(x)的图象，求 g(x) 的单调递减区间. 解 (1)因为 f(x)的图象上相邻最高点的距离为 ， 所以 f(x)的最小正周期 T，从而 2 T 2. 又 f(x)的图象关于直线 x 3对称. 所以 2 3k 2(kZ). 因为 2 2，所以 k0， 所以 2 2 3 6，所以 f(x) 3sin 2x 6 ， 则 f 4 3sin 2 4 6 3sin 3 3 2. (2)将 f(x)的图象向右平移 12个单位长度后， 得到 f x 12 的图象， 所以 g(x)f x 12 3sin 2 x 12 6 3sin 2x
8、3 . 由 2k 22x 32k 3 2 (kZ)， 得 k5 12xk 11 12 (kZ)， 因此 g(x)的单调递减区间为 k5 12，k 11 12 (kZ). 10.已知 f(x)sin 2x 3 . (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值； (2)若方程 f(x)2 3在(0，)上的解为 x1，x2，求 cos(x1x2)的值. 解 (1)当 2x 3 22k(kZ)， 即 x 5 12k(kZ)时， 函数 f(x)取最大值，且最大值为 1. (2)由(1)知，函数 f(x)图象的对称轴为 x 5 12k(kZ)， 当 x(0，)时，对称轴为 x 5 12. 又方程 f
9、(x)2 3在(0，)上的解为 x1，x2. x1x25 6，则 x1 5 6x2， cos(x1x2)cos 5 62x2 sin 2x2 3 ， 又 f(x2)sin 2x2 3 2 3. 故 cos(x1x2)2 3. 二、能力提升 11.若函数 f(x)cos2xasin xb 在 0， 2 上的最大值为 M，最小值为 m，则 M m 的值( ) A.与 a 有关，且与 b 有关 B.与 a 有关，但与 b 无关 C.与 a 无关，但与 b 有关 D.与 a 无关，且与 b 无关 答案 B 解析 f(x)cos2xasin xbsin2xasin xb1.因为 x 0， 2 ，令 t
10、sin x0，1，则 yt2atb1 ta 2 2 a 2 4 b1.因为 t0，1，所以 函数的对称轴 ta 2的位置对函数在给定区间的最值有影响.所以最大值 M 与最小 值 m 的差 Mm 的值与 a 有关，但与 b 无关，故选 B. 12.设函数 f(x)Asin(x) A0，0， 2 2 的图象关于直线 x2 3 对 称，它的最小正周期为 ，则下列说法一定正确的是( ) A.f(x)的图象过点 0，1 2 B.f(x)在 12， 2 3 上是减函数 C.f(x)的图象的一个对称中心是 5 12，0 D.f(x)的图象的一个对称中心是 6 ，0 答案 C 解析 由题意， T2 ， 得 2
11、.又 f(x)的图象关于直线 x 2 3 对称， 所以 22 3 k 2，kZ，则 k 5 6 ，kZ.又 2 2，所以 6，所以 f(x) Asin 2x 6 .f(0)A 2，故 A 错误；当 12x 2 3 时， 32x 6 3 2 ，f(x)在区间上 先增后减， 故 B 错误； f 5 12 0， 则点 5 12，0 是函数 f(x)的图象的一个对称中心， 故 C 正确；f 6 A，所以 D 错误.故选 C. 13.已知 f(x)Asin(x) A0，0，| 2 的图象过点 P 12，0 ，且图象上 与点 P 最近的一个最低点是 Q 6，2 . (1)求 f(x)的解析式； (2)若
12、f 12 3 8，且 为第三象限角，求 sin cos 的值. 解 (1)根据题意可知，A2，T 4 12 6 4， T2 ，解得 2. 又 f 12 0，sin 122 0， 而| 2， 6. f(x)2sin 2x 6 . (2)由 f 12 3 8可得，2sin 2 3 8， 即 sin 2 3 16. 为第三象限角， sin cos 1sin 21 3 16 19 4 . 三、创新拓展 14.已知函数 f(x) cos x 2 ，x0，）， log3x ，x，）， 若存在三个不同的实数 a，b，c，使 得 f(a)f(b)f(c)，则 abc 的取值范围为_. 答案 (2，4) 解析 当 x0，)时，f(x)cos x 2 sin x， f(x)在0， 上关于直线 x 2对称， 且 f(x)max1.又当 x， )时， f(x)log3 x 是增函数，作出函数 f(x)的图象，如图所示，令 log3x 1，解得 x3. f(a)f(b)f(c)，ab，c(，3)，abcc(2，4).