1、周练周练 9 (范围范围 8.18.2) 一、基础达标 1.已知随着宣传的扩大，世博会的参观人数第三个月的进园量比第一个月的进园 量增长 44%，若每个月的平均增长率相同(设为 x)，则以下结论正确的是( ) A.x22% B.x22% C.x22% D.x 的大小不确定 答案 B 解析 令(1x)2144%，解得 x0.20.22.故选 B. 2.下列函数图象与 x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) 答案 C 解析 能用二分法求零点的函数必须在含零点的区间(a， b)内连续， 并且有 f(a)f(b) 0，A，B，D 中函数图象不符合.故选 C. 3.在下列区间中，函数 f(x)
2、ex4x3 的零点所在的区间为( ) A. 1 4，0 B. 0，1 4 C. 1 4， 1 2 D. 1 2， 3 4 答案 C 解析 因为 f 1 4 e 1 420，f 1 2 e 1 210，所以 f 1 4 f 1 2 0.又因为 yex是增 函数，y4x3 也是增函数，所以 f(x)ex4x3 是增函数，所以函数 f(x)ex 4x3 的零点在区间 1 4， 1 2 内.故选 C. 4.函数 f(x) ln xx22x，x0， 4x1，x0 的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 当 x0 时，在同一平面直角坐标系中作出函数 y ln x 和 yx22x
3、 的图象如图，由图可知，x0 时，f(x)有 两个零点；当 x0 时，由 f(x)0 得 x1 4.综上，f(x)有三个零点. 5.(多选题)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( ) A.ln x1x B.ex1 x C.2x2lg|x| D.cos x|x|1 答案 ABD 解析 对于 A，设 f(x)ln xx1，易知 yf(x)为增函数，又 f(1)0，故 ln x 1x 有唯一解，符合； 对于 B，设 g(x)ex1 x，易知 yg(x)为增函数， 又 g 1 2 e20，g(1)e10，由函数零点存在定理可得 ex1 x有唯一解， 符合； 对于 C，设 h(x)x2lg x2，易知
4、yh(x)为增函数，由 h(1)120，h(2) 2lg 20，由函数零点存在定理可得 h(x)x2lg x2 有唯一零点，又 H(x) 2x2lg|x|为偶函数，则 2x2lg|x|有两个解，不符合； 对于 D，因为 cos x1，1，|x|11，当且仅当 x0 时 cos x|x|1，即 cos x|x|1 有唯一解，符合. 6.若函数 f(x)4x2xa，x1，1有零点，则实数 a 的取值范围为_. 答案 1 4，2 解析 令 2xt，t 1 2，2 ，则函数 f(x)在区间1，1上有零点，转化为方程 t 2 ta0 在 t 1 2，2 时有解，进而转化为求 at 2t，t 1 2，2
5、的值域问题. 易知 a t1 2 2 1 4，t 1 2，2 为增函数，当 t 1 2时，amin 1 4；当 t2 时，amax 2，所以实数 a 的取值范围是 1 4，2 . 7.某种纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质 20%，要 使水中杂质减少到原来的 10%以下， 则至少需过滤的次数为_(参考数据： lg 20.301 0). 答案 11 解析 设过滤次数为 x， 原有杂质为 a， 则 a(120%)xa 10%， 所以 x 1 lg 5lg 4 1 13lg 2，即 x10.31，即至少需要过滤 11 次. 8.已知函数 f(x) 1 x，x1， x3，x1.
6、若 f(x0)1， 则 x0_； 若关于 x 的方程 f(x) k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围为_. 答案 1 (0，1) 解析 解方程 f(x0)1， 得 x01， 1 x01 或 x 01， x301，解得x01.关于 x的方程f(x) k 有两个不同实根等价于 yf(x)的图象与直线 yk 有两个不同交点，观察图 象可知：当 0k1 时 yf(x)的图象与直线 yk 有两个不同交点，即 k(0，1). 9.定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(，0)上单调递增，函数 f(x)的一个零点为 1 2，求满足 f(log 1 4x)0 的 x 的取值范围. 解 因为函数 yf(x
7、)在(，0)上单调递增，函数 f(x)的一个零点为1 2，且 f(x) 是奇函数，所以作出 f(x)的大致图象如图所示. 由 f(log1 4x)0，得 1 2log 1 4x0 或 log 1 4x 1 2， 解得 1x2 或 0 x1 2， 所以 x 的取值范围是 0，1 2 1，2. 10.已知 a0， 函数 f(x) x 22axa，x0， x22ax2a，x0.若关于 x 的方程 f(x)ax 恰有 2 个 互异的实数解，求实数 a 的取值范围. 解 当 x0 时，由 x22axaax，得 ax2ax；当 x0 时，由x22ax2aax，得 2ax2ax. 令 g(x) x 2ax，
8、x0， x2ax，x0. 作出 ya(x0)， y2a(x0)， 函数 g(x)的图象如图所示，g(x)的最大值为a 2 4 a 2 2 a 2 4 ，由图象可知，若 f(x) ax 恰有 2 个互异的实数解，则 aa 2 4 2a，解得 4a8. 故 a 的取值范围为(4，8). 二、能力提升 11.已知 f(x)是奇函数且是 R 上的单调函数，若函数 yf(2x21)f(x)只有一 个零点，则实数 的值是( ) A.1 4 B.1 8 C.7 8 D.3 8 答案 C 解析 令 yf(2x21)f(x)0，则 f(2x21)f(x)f(x)，因为 f(x) 是 R 上的单调函数， 所以 2
9、x21x 只有一个实根，即 2x2x10 只有一个实根，则 1 8(1)0，解得 7 8. 12.已知函数 f(x) x3，x0， axb，x0 满足条件：x1R，存在唯一的 x2R 使得 f(x1)f(x2).当 f(2a)f(3b)成立时，实数 ab( ) A. 6 2 B. 6 2 C. 6 2 3 D. 6 2 3 答案 D 解析 由题设条件：x1R，存在唯一的 x2R，使得 f(x1)f(x2)，知 f(x)在 (， 0)和(0， )上单调， 则 b3， 且 a0.由 f(2a)f(3b)知 2a23 93， 解得 a 6 2 (正值舍去)，故 ab 6 2 3. 13.设函数 f(
10、x) 2 xa，x1， 4（xa）（x2a），x1. (1)若 a1，求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a1 时，f(x) 2 x1，x1， 4（x1）（x2），x1， 当 x1 时，f(x)2x1 为增函数，f(x)1， 当 x1 时，f(x)4(x1)(x2)4(x23x2) 4 x3 2 2 1， 当 1x3 2时，函数单调递减， 当 x3 2时，函数单调递增， 故当 x3 2时，f(x)minf 3 2 1. 综上，f(x)minf 3 2 1. (2)设 h(x)2xa，g(x)4(xa)(x2a). 若在 x1 时，
11、h(x)与 x 轴有一个交点， 则 a0，并且当 x1 时，h(1)2a0，所以 0a2. 此时函数 g(x)4(xa)(x2a)在 x1 时，与 x 轴有一个交点，所以 2a1，且 a 1， 所以1 2a1； 若函数 h(x)2xa 在 x1 时与 x 轴没有交点， 则函数 g(x)4(xa)(x2a)在 x1 时与 x 轴有两个交点. 当 a0 时， h(x)与 x 轴无交点， g(x)在 x1 时与 x 轴无交点， 所以不满足题意(舍 去)， 当 h(1)2a0，即 a2 时，g(x)在 x1 时与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1 a，x22a，都是满足题意的. 综上所述，a 的取值范
12、围是 1 2，1 2，). 三、创新拓展 14.已知函数 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x3)f(x)，当 x 0，3 2 时， f(x)lg(x2x1)，则 x 3 2，0 时，f(x)_，函数 f(x)在区间0，3上 的零点个数为_. 答案 lg(x2x1) 5 解析 设 x 3 2，0 ，可得x 0，3 2 ，f(x)lg(x2x1)， 由 f(x)为奇函数可得 f(x)f(x)，可得 f(x)lg(x2x1)； 当 x 0，3 2 时，令 f(x)lg(x2x1)0， 解得 x1，即 f(1)0； 当 x 3 2，0 时，令 f(x)lg(x 2x1)0，解得 x1，即 f(1)0. 又 f(0)0，f(x3)f(x)，故 f(3)f(0)0，f(2)f(1)0， f 3 23 f 3 2 f 3 2 ，可得 f 3 2 0， 所以 f(x)在区间0，3上有 0，1，3 2，2，3 共 5 个零点.