1、第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 章末复习课章末复习课 一、不等式及其性质 1不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于 考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解 2掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养 例 1 (1)若 Aa23ab，B4abb2，则 A，B 的大小关系是( ) AAB BAB CAB DAB 答案 B 解析 ABa23ab(4abb2) ab 2 23 4b 20， AB. (2)若 ab，xy，则下列不等式正确的是( ) Aaxby C|a|x|a|y D(ab)x0， 不等式两边同乘以
2、一个大于零的数， 不等号方向不变； 当 a0 时， |a|x|a|y， 故|a|x|a|y. 反思感悟 不等式及其性质的两个关注点 (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法 (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立 时，也常常选择特殊值法 跟踪训练 1 若 1a5，1b2，则 ab 的取值范围为_ 答案 ab|1ab6 解析 1b2， 2b1， 又 1a5， 1ab6. 二、利用基本不等式求最值 1基本不等式： abab 2 (a0，b0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明 以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本
3、不等式的使用条件 上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在 高考中也经常出现 2熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养 例 2 (1)若 0 x2，则 x(2x)的最大值是( ) A2 B.3 2 C1 D. 1 2 答案 C 解析 因为 0 x0，x(2x) x2x 2 21， 当且仅当 x2x，即 x1 时，等号成立 (2)若 x0，则 x 2 2x1 3 2的最小值是_ 答案 0 解析 x 2 2x1 3 2x 1 2 1 x1 2 20， 当且仅当 x1 2 1 x1 2 ，即 x1 2时等号成立， 故 x 2 2x1 3 2的
4、最小值是 0. 反思感悟 基本不等式的关注点 (1)前提：“一正”“二定”“三相等” (2)拼凑： 要根据式子的特征灵活变形， 配凑出积、 和为常数的形式， 然后再利用基本不等式 (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法 跟踪训练 2 已知函数 yx4 9 x1(x1)， 当 xa 时， y 取得最小值 b， 则 a_； b_. 答案 2 1 解析 yx4 9 x1(x1) 9 x15， 因为 x1，所以 x10， 所以 y2x1 9 x152351， 当且仅当 x1 9 x1，即 x2 时，等号成立， 此时 a2，b1. 三、一元二次不等式的解法 1对
5、于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能 分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集 2对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏 3掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养 例 3 若不等式 ax25x20 的解集是 x 1 2xa5 的解集 解 (1)依题意，可得方程 ax25x20 的两个实数根为1 2和 2，且 a3， 即12x x1 30， 整理得x2 x1 0，即(x1)(x2)0， 解得2x1， 则不等式的解集为x|2x1 反思感悟 (1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为 正
6、)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集 (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应一元二次函数的零点，也是一元二次方程的根 跟踪训练 3 解关于 x 的不等式 ax2(a1)x10. 解 当 a0 时，原不等式即为x11. 当 a0， 解得 x1. 当 a0 时，原不等式化为 x1 a (x1)1，即1 a1 时，解得 1 ax1； 若 0a1 时，解得 1x 1 a. 综上可知，当 a0 时，不等式的解集为 x x1 ； 当 a0 时，不等式的解集为x|x1； 当 0a1 时，不等式的解集为 x 1x1 时，不等式的解集为 x 1 ax0(a0)恒成立 a0， 0， ax
7、2bxc0(a0)恒成立 a0， 0， 0， ax2bxc0(a0)恒成立 a0，y0，且 2 x1 1 y2，若 x2ym 23m1 恒成立，则实数 m 的取值 范围是( ) Am1 或 m4 Bm4 或 m1 C1m4 D4mm23m1 恒成立，可化为 3m23m1，即 m23m40， 解得1m4. 五、通过构造数学模型解决生活中的问题 1不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要 涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键 2利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养 例 5 某商品的成本价为 80 元/
8、件，售价为 100 元/件，每天售出 100 件，若售价降低 x 成(1 成10%)，售出商品的数量就增加8 5x 成，要求售价不能低于成本价 (1)设该商品一天的营业额为 y，试求出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围 解 (1)依题意得 y100 1 x 10 100 1 8 50 x . 又售价不能低于成本价， 所以 100 1 x 10 800，解得 x2， 所以 y20(10 x)(508x)(0 x2) (2)20(10 x)(508x)10 260， 化简得 8x230 x130，解得1 2x 13 4 .
9、又 0 x2， 所以 x 的取值范围为 x 1 2x2 . 反思感悟 解决实际问题的关注点 (1)审题要准，初步建模 (2)设出变量，列出函数关系式 (3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题 跟踪训练5 某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的二级净水处理池(如图) 池 的深度一定，池的外围周壁建造单价为 400 元/m，中间的一条隔壁建造单价为 100 元/m，池 底建造单价为 60 元/m2，池壁厚度忽略不计问净水池的长为多少时，可使总造价最低？ 解 设水池的长为 x 米，则宽为200 x 米 总造价 y400 2x400 x 100 200 x 20060 800
10、 x225 x 12 0008002x 225 x 12 00036 000， 当且仅当 x225 x ，即 x15 时，等号成立，即取得最小值 36 000. 所以当净水池的长为 15 m 时，可使总造价最低 1下列命题中，正确的是( ) A若 acbc，则 ab，cd，则 acbd C若 ab0，则 a2b2 D若 ab，cd，则 acbd 答案 C 解析 由 ac0 时，ab；cb，所以 A 错误； 当 ab0，cd0 时，有 acbd，所以 B 错误； 当 ab0 时，有 a2b2，所以 C 正确； 由 ab，cd，得出dc，所以 ad 1 4，命题 q：xR，ax 2ax10，则 p
11、 成立是 q 成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 4某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车 辆数，单位：辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 l(单 位：米)的值有关，其公式为 F 76 000v v218v20l. (1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时； (2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时 答案 (1)1 900 (2)100 解析 (1)当 l6.05 时，F 76 000v v218v121 76 000 v121 v 18 76 000 2v 121 v 18 1 900(辆/时)当 且仅当 v121 v ，即 v11 时，等号成立 (2)当 l5 时，F 76 000v v218v100 76 000 v100 v 18 76 000 2v 100 v 18 2 000(辆/时) 当且仅当 v100 v ，即 v10 时，等号成立 最大车流量为 2 000(辆/时) 2 0001 900100(辆/时) 最大车流量比(1)中的最大车流量增加 100(辆/时)