1、第二章第二章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式 章末复习提升章末复习提升 要点一 不等关系与不等式 不等关系与不等式是高考重点考查的内容之一， 在试题中多以选择题或填空题的 形式考查，有时也渗透到解答题中，主要考查不等式的性质及运用. 【例 1】 (1)如果 a，b，c 满足 cba 且 acac B.c(ba)0 C.cb2ab2 D.ac(ac)0 答案 C 解析 因为 ca，且 ac0，所以 c0. A 成立，因为 cb，所以 acac. B 成立，因为 ba，ba0. C 不一定成立，当 b0 时，cb2ab2不成立. D 成立，因为 c0，所以 ac(ac)0.
2、(2)已知 2a3，2b1，求 ab，b 2 a 的取值范围. 解 因为2b1，所以 1b2. 又因为 2a3，所以 2ab6， 所以6ab2. 因为2b1，所以 1b24. 因为 2a3，所以1 3 1 a 1 2， 所以1 3 b2 a 0，b0，且 ab，比较a 2 b b 2 a 与 ab 的大小. 解 因为 a2 b b 2 a (ab) a 2 b bb 2 a aa 2b2 b b 2a2 a (a2b2) 1 b 1 a (a2b2)ab ab （ab） 2（ab） ab ， 因为 a0，b0，且 ab， 所以(ab)20，ab0，ab0， 所以 a2 b b 2 a (ab)
3、0，即a 2 b b 2 a ab. 要点二 基本不等式的应用 基本不等式： abab 2 (a0，b0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不 等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基 本不等式的使用条件上设置一些问题， 实际上是考查学生恒等变形的技巧， 另外， 基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 【例 2】 设 a0，b0，2ab1，则1 a 2 b的最小值为_. 答案 8 解析 a0，b0，且 2ab1， 1 a 2 b 1 a 2 b (2ab) 4b a 4a b 42 b a 4a b 8， 当且仅当 2ab1， b a 4a b ， 即 a
4、1 4， b1 2 时等号成立. 1 a 2 b的最小值为 8. 【训练 2】 已知 x0，y0，且 x3y1，则xy xy 的最小值是_. 答案 2 34 解析 xy xy 1 y 1 x 1 y 1 x (x3y)43y x x y42 3， 当且仅当 3y x x y， x3y1， 即 x 31 2 ， y3 3 6 时取“”号. 要点三 恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种 (1)变更主元法： 根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元. (2)分离参数法： 将参数分离转化为求解最值问题. (3)数形结合法： 利用不等式与函数的关系
5、将恒成立问题通过函数图象直观化. 【例 3】 已知 yx2mx6，当 1m3 时，y0 恒成立，那么实数 x 的取值 范围是_. 答案 3x3 33 2 解析 1m3，y0， 当 m3 时，x23x60， 由 yx23x60， 得3 33 2 x3 33 2 ； 当 m1 时，x2x60， 由 yx2x60，得3x2. 实数 x 的取值范围为3x0，1a1 恒成立的 x 的取值 范围. 解 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x3)ax26x90.设关于 a 的一次函数为 y(x3)ax26x9. 因为 y0，当1a1 时恒成立，所以 (1)若 x3，则 y0，不符合题意，应舍去. (2)若 x3，则由一次函数的图象， 可得 x 27x120， x25x60， 解得 x4. 所以 x 的取值范围是x|x4.