1、第三章第三章 函数的概念与性质函数的概念与性质 章末复习提升章末复习提升 要点一 求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有 意义. (3)复合函数问题： 若 f(x)的定义域为a，b，f(g(x)的定义域应由 ag(x)b 解出； 若 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为 g(x)在a，b上的值域. 注意：a.f(x)中的 x 与 f(g(x)中的 g(x)地位相同； b.定义域是指 x 的范围. 【例 1】 (1)函数 f(x)
2、2x2 1x(2x1) 0 的定义域为( ) A. ，1 2 B. 1 2，1 C. 1 2， 1 2 D. ，1 2 1 2，1 (2)已知函数 yf(x1)的定义域是1，2，则 yf(13x)的定义域为( ) A. 1 3，0 B. 1 3，3 C.0，1 D. 1 3，1 答案 (1)D (2)C 解析 (1)由题意知 1x0， 2x10，解得 x1 且 x 1 2，即 f(x)的定义域是 ，1 2 1 2，1 . (2)由 yf(x1)的定义域是1， 2， 则 x12， 1， 即 f(x)的定义域是2， 1，令213x1，解得 0 x1，即 yf(13x)的定义域为0，1. 【训练 1
3、】 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这 些函数为“同族函数” ，那么函数解析式为 yx2，值域为1，4的“同族函数” 共有( ) A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.10 个 答案 C 解析 由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数.函数解析式为 yx2， 值域为1，4， 当 x 1 时，y1；当 x 2 时，y4， 则定义域可以为1，2，1，2，1，2，1，2，1，1，2，1， 1，2，1，2，2，1，2，2，1，1，2，2，因此“同族函 数”共有 9 个. 要点二 求函数的解析式 求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如 f(g(x)的解析式求 f(x
4、)的解析式，使用换元法或配凑法. (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法). (3)含 f(x)与 f(x)或 f(x)与 f 1 x ，使用解方程组法. (4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法. 【例 2】 (1)已知 f(x1)2x5，则 f(x)的解析式为_. (2)设 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(0)1，并且x，yR，都有 f(xy) f(x)y(2xy1)，则 f(x)_. 答案 (1)f(x)2x7 (2)x2x1 解析 (1)法一(换元法) 设 x1t，则 xt1， f(t)2(t1)52t7，f(x)2x7.
5、法二(配凑法) f(x1)2x52(x1)7，所以 f(x)2x7，即函数的解析式 为 f(x)2x7. (2)法一 由已知条件得 f(0)1， 又 f(xy)f(x)y(2xy1)， 设 yx，则 f(xy)f(0)f(x)x(2xx1)1， 所以 f(x)x2x1. 法二 令 x0，得 f(0y)f(0)y(y1)， 即 f(y)1y(y1)， 将y 用 x 代换得 f(x)x2x1. 【训练 2】 根据如图所示的函数 f(x)的图象，写出函数的解析式. 解 当3x1 时，函数 f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设 f(x)ax b(a0)，将点(3，1)，(1，2)代入，可得 f(
6、x)3 2x 7 2； 当1x1 时，同理，可设 f(x)cxd(c0)，将点(1，2)，(1，1)代入， 可得 f(x)3 2x 1 2； 当 1x2 时，f(x)1. 综上所述，f(x) 3 2x 7 2，3x1， 3 2x 1 2，1x1， 1，1x2. 要点三 分段函数 1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间， 然后代入该段的解析式求值.当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值. 2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数 定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验. 3.在分段函数的前提下，求某条件下自变量
7、的取值范围的方法：先假设自变量的 值在分段函数定义域的各段上， 然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围， 再求它们的并集即可. 【例 3】 已知函数 f(x) 1 2x，0 x1， 3 4 x 4，1x2， 5 4 1 2x，2x1 4. 解 (1)f(x)的定义域为 (0，1)1，2) 2，5 2 0，5 2 . 易知 f(x)在(0，1)上为增函数，0f(x)1 2， f(x)在 1，5 2 上为减函数，01 4等价于 0 x1 1 4 或 1x1 1 4 或 2x1 1 4. 解得1 2x0，解得 0 x1 4的解集为 1 2，0 0，1) 1 2，1 . 【训练 3】 (1)已知
8、f(x) 2x，x0， f（x1），x0，则 f 4 3 f 4 3 等于( ) A.2 B.4 C.2 D.4 (2)函数 f(x) x，x2， x1，2x4， 3x，x4， 若 f(a)0， f（x1），x0， f 4 3 f 4 31 f 1 3 f 1 31 f 2 3 2 32 4 3，f 4 3 24 3 8 3， f 4 3 f 4 3 4 3 8 34. (2)当 a2 时，f(a)a3，此时不等式的解集是(，3)； 当2a4 时，f(a)a13，此时不等式无解； 当 a4 时，f(a)3a3，此时不等式无解. 故 a 的取值范围是(，3). 要点四 函数的概念与性质 函数单调
9、性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性. (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间. (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小、解不等式. (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围. 【例 4】 已知函数 f(x)mx 22 3xn 是奇函数，且 f(2)5 3. (1)求实数 m 和 n 的值； (2)求函数 f(x)在区间2，1上的最值. 解 (1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)， mx22 3xn mx22 3xn mx22 3xn. 比较得 nn，n0. 又 f(2)5 3， 4m2 6 5 3，解得 m2. 因此，实数 m 和 n 的值分别是 2
10、 和 0. (2)由(1)知 f(x)2x 22 3x 2x 3 2 3x. 任取 x1，x22，1，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)2 3(x1x2) 1 1 x1x2 2 3(x1x2) x1x21 x1x2 . 2x1x21，x1x21，x1x210， f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0， 0，x0， x2mx，x0 是奇函数. (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数 a 的取值范围. 解 (1)设 x0， 所以 f(x)(x)22(x)x22x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)， 所以 x1， a21， 所以 10，
11、k0). 对称：yf(x) 关于 y 轴对称 yf(x)； yf(x) 关于 x 轴对称 yf(x)； yf(x) 关于原点对称 yf(x). 特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图. 【例 5】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)x22x. (1)现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示，请把函数 f(x)的图象补充完 整，并根据图象写出函数 f(x)的增区间； (2)写出函数 f(x)的值域. 解 (1)由 f(x)为偶函数可知，其图象关于 y 轴对称，如图所示，作出已知图象关 于 y 轴对称的图象，即得该函数的完整图象. 由图可知，函
12、数 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，0)上单调递增，在(0， 1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 所以函数 f(x)的增区间是(1，0)，(1，). (2)由题意知，当 x0 时，f(x)的最小值为 f(1)(1)22(1)1.由偶函 数的性质可得 f(x)1，即函数的值域为1，). 【训练 5】 对于任意 xR，函数 f(x)表示x3，3 2x 1 2，x 24x3 中的较大 者，则 f(x)的最小值是_. 答案 2 解析 首先应理解题意， “函数 f(x)表示x3， 3 2x 1 2， x 24x3 中的较大者” 是指对某个区间而言，函数 f(x)表示x3，3 2x 1 2，x
13、24x3 中最大的一个. 如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点 A(0，3)，B(1，2)，C(5，8). 从图象观察可得函数 f(x)的表达式：f(x) x 24x3 （x0或x5）， x3 （0 x1）， 3 2x 1 2 （10 时， 图象都通过点(0，0)，(1，1)； 在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大； 在第一象限内，1 时，图象是向下凸上升的；01 时，图象是向上凸上升 的； 在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展. (2)当 0 时， 图象都通过点(1，1)； 在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，图象是向下凸的； 在第一象限内，图象向上与 y 轴
14、无限接近，向右与 x 轴无限接近； 在第一象限内，过点(1，1)后，|越大，图象下降的速度越快. 【例 6】 已知幂函数 f(x)x1 2p 2p3 2(pN)在(0，)上是增函数，且在 定义域上是偶函数. (1)求 p 的值，并写出相应的函数 f(x)的解析式； (2)对于(1)中求得的函数 f(x)，设函数 g(x)qf(f(x)(2q1)f(x)1，问是否存 在实数 q(q0，解得1p2 对任意 xR 恒成立，求实数 c 的取 值范围. 解 (1)幂函数 f(x)xm22m3(mZ)为偶函数， 且在(0， )上是增函数， 则m22m3 为偶数，且m22m30，得1m2 恒成立， 则 c1
15、2， 即 c3. 故实数 c 的取值范围为(3，). 要点七 函数的应用 【例 7】 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众 的健康带来了一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农业合作社每年投 入 200 万元， 搭建了甲、 乙两个无公害蔬菜大棚， 每个大棚至少要投入 20 万元， 其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往种菜经验，发现种西红柿的年收 入 P(单位：万元)、种黄瓜的年收入 Q(单位：万元)与投入 a(单位：万元)满足 P 804 2a，Q1 4a120，设甲大棚投入为 x(单位：万元)，每年两大棚的收益 为 f(x)(单位：万元). (1)f(50)
16、的值； (2)试问如何安排甲乙两个大棚的投入，才能使总收益 f(x)最大？ 解 (1)因为甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元， 所以 f(50)804 2501 4150120277.5. (2)f(x)804 2x1 4(200 x)120 1 4x4 2x250， 依题意得 x20， 200 x2020 x180， 故 f(x)1 4x4 2x250(20 x180). 令 t x2 5，6 5， 则 f(t)1 4t 24 2t2501 4(t8 2) 2282， 当 t8 2，即 x128 时，f(x)max282， 所以投入甲大棚 128 万元，乙大棚 72 万元时，
17、总收益最大，且最大收益为 282 万元. 【训练 7】 为纪念重庆黑山谷晋升国家 5A 级景区五周年，特发行黑山谷纪念 邮票，从 2017 年 11 月 1 日起开始上市.通过市场调查，得到该纪念邮票在一周 内每 1 张的市场价 y(单位：元)与上市时间 x(单位：天)的数据如下： 上市时间 x 天 1 2 6 市场价 y 元 5 2 10 (1)分析上表数据， 说明黑山谷纪念邮票的市场价 y(单位： 元)与上市时间 x(单位： 天)的变化关系，并判断 y 与 x 满足下列哪种函数关系：一次函数；二次函 数；幂函数，并求出函数的解析式； (2)利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价 格. 解 (1)由于市场价 y 随上市时间 x 的增大先减小后增大， 而模型均为单调函 数，不符合题意， 故选择二次函数模型， 设 f(x)ax2bxc(a0)由表中数据可知 abc5， 4a2bc2， 36a6bc10， 解得 a1， b6， c10， f(x)x26x10(x0)， (2)由(1)知 f(x)x26x10(x3)21， 当 x3 时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为 1 元， 故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数为第 3 天，最低的价格为 1 元.